Concours Général des Lycées 1996 — Matematica

Cyclic points and triangle type from six special points

In the plane, consider a triangle $ABC$ and its six points $D,E,F,G,H,I$ such that $ABED$, $BCGF$, and $ACHI$ are squares constructed on the sides of triangle $ABC$.

Show that the points $D,E,F,G,H,I$ are concyclic if and only if at least one of the following holds:

• Triangle $ABC$ is equilateral;
• Triangle $ABC$ is right-angled and isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti ciclici e tipo triangolo da sei punti speciali

Nel piano, considerate un triangolo $ABC$ e i suoi sei punti $D,E,F,G,H,I$ in modo tale che $ABED$, $BCGF$ e $ACHI$ siano quadrati costruiti sui lati del triangolo $ABC$.

Indicare che i punti $D,E,F,G,H,I$ sono conciclici se e solo se almeno uno dei seguenti punti è valido: - il triangolo $ABC$ è equilaterale; - il triangolo $ABC$ è rettangolare e uguale.

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Periodic real sequence defined by piecewise recurrence

Let $a$ be a positive integer and $b$ a strictly positive integer. Consider the real sequence $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ defined as follows: $\{\begin{array}{ll}{u}_0=b& \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n& \text{if }{u}_n\text{ is an even integer,}\\ u_{n+1}=a+u_n& \text{otherwise.}\end{array}$

1. Show that one can find a positive integer $n$ such that $u_n\le a$.
2. Show that the sequence is eventually periodic.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Ricorsione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza reale periodica definita da ricorrenza a pezzi

$a$ sia un intero positivo e $b$ un intero strettamente positivo. Considera la sequenza reale $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definita come segue: $\{\begin{array}{ll}{u}_0=b& \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n& \text{if }{u}_n\text{ is an even integer,}\\ u_{n+1}=a+u_n& \text{otherwise.}\end{array}$

1. Mostrare che si può trovare un intero positivo $n$ tale che $u_n\le a$. 2. Mostrare che la sequenza è alla fine periodica.

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Rectangular parallelepiped, tetrahedra with right-triangle faces, and isosceles tetrahedra

1. Let $ABCDEFGH$ be a rectangular parallelepiped (cuboid). Show that one can choose four of its vertices in such a way that the four faces of the resulting tetrahedron are right triangles.

2. Conversely, show that every tetrahedron whose four faces are right triangles can be obtained by choosing four vertices of a rectangular parallelepiped.

3. Among the tetrahedra that also have at least two isosceles faces, find those whose face lengths (as a function of the side length $a$ of the smallest edge) minimise the largest edge.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallepiped rettangolari, tetraedri con facce triangolari rettangolari e tetraedri a stampo uguale

1. Il $ABCDEFGH$ deve essere un parallelepiped rectangulare (cuboide). Mostrate che si possono scegliere quattro dei suoi vertici in modo tale che le quattro facce del tetraedro risultante siano triangoli rettangolari.

2. Al contrario, mostrare che ogni tetraedro le cui quattro facce sono triangoli rettangolari può essere ottenuto scegliendo quattro vertici di un parallelepiped rettangolare.

3. Tra i tetraedri che hanno anche almeno due facce isosceles, trovate quelli le cui lunghezze facciali (come funzione della lunghezza laterale $a$ del bordo più piccolo) riducono al minimo il bordo più grande.

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Minimum of $f(x)=x^x$ on positive reals; prove $x^y+y^x>1$

1. Let $f$ be the function defined for every strictly positive real $x$ by $f(x)=x^x.$ Determine the minimum value attained by this function as $x$ ranges over all strictly positive reals.

2. Let $x$ and $y$ be two strictly positive reals. Show that $x^y+y^x>1$.

Topic: Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di $f(x)=x^x$ su valori positivi; prova $x^y+y^x>1$

1. Che $f$ sia la funzione definita per ogni reale $x$ strettamente positivo da $f(x)=x^x.$ Determina il valore minimo raggiunto da questa funzione come $x$ si estende su tutti i reali strettamente positivi.

2. Lasciate che $x$ e $y$ siano due valori rigorosamente positivi. Mostra che $x^y+y^x>1$.

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Integers with $k$ distinct terms summing to distinct values below $n$

Let $n$ be a nonzero natural number. We say that a nonzero natural number $k$ satisfies condition $C_n$ if there exist $2k$ natural numbers $a_1,b_1,\dots ,a_k,b_k$, all distinct, such that the sums $a_1+b_1,\dots ,a_k+b_k$ are pairwise distinct and all strictly less than $n$.

1. Show that if $k$ satisfies condition $C_n$, then $k\le \frac{2n-3}{5}$.
2. Show that $5$ satisfies condition $C_{14}$.
3. Suppose that $\frac{2n-3}{5}$ is an integer. Show that $\frac{2n-3}{5}$ satisfies condition $C_n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integri con $k$ termini distinti che si sommano a valori distinti inferiori a $n$

Che $n$ sia un numero naturale non zero. Diciamo che un numero naturale non zero $k$ soddisfa la condizione $C_n$ se esistono $2k$ numeri naturali $a_1,b_1,\dots ,a_k,b_k$, tutti distinti, in modo tale che le somme $a_1+b_1,\dots ,a_k+b_k$ siano in coppia distinte e tutte strettamente inferiori a $n$.

1. Indicare che se $k$ soddisfa la condizione $C_n$, allora $k\le \frac{2n-3}{5}$. 2. Indicare che $5$ soddisfa la condizione $C_{14}$. 3. Supponiamo che $\frac{2n-3}{5}$ sia un intero. Indicare che $\frac{2n-3}{5}$ soddisfa la condizione $C_n$.

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