Concours Général des Lycées 1997 — Matematica

Tokens at vertices of a regular 1997-gon carry integers with strictly positive total; can a start vertex let you collect all tokens keeping the running sum positive, and how many such vertices?

On each vertex of a regular polygon with $1997$ sides a token has been placed. On each of these tokens is written an integer, and the sum of these integers is strictly positive. One chooses a starting vertex and goes around the polygon in the trigonometric (counterclockwise) direction, collecting the tokens one after another, in such a way that the sum of the integers written on the tokens already collected stays strictly positive throughout.

Can one choose the starting vertex so as to collect all the tokens? If so, how many possible choices are there?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I token in vertici di un normale 1997-gon portano integri con totale strettamente positivo; un vertice di partenza può permetterti di raccogliere tutti i token mantenendo la somma corrente positiva, e quanti vertici?

Su ciascun vertice di un poligono regolare con i lati $1997$ è stato posizionato un token. Su ciascuno di questi token è scritto un numero intero, e la somma di questi numeri interi è strettamente positiva. Si sceglie un vertice di partenza e si gira intorno al poligono nella direzione trigonometrica (in senso antiorario), raccogliendo i token uno dopo l’altro, in modo tale che la somma dei numeri interi scritti sui token già raccolti rimanga strettamente positiva durante tutto.

Si può scegliere il vertice di partenza per raccogliere tutti i token? Se sì, quante possibili scelte ci sono?

src_cgen_1997__Q01

Maximize the volume of a right cylinder inscribed in a capsule formed by a sphere and a cone sharing the same axis

A space capsule has the shape of the solid of revolution bounded by a sphere of center $O$ and radius $R$, and a cone with apex $O$ which meets this sphere along a circle of radius $r$.

What is the maximal volume of a right cylinder contained in this capsule, the cylinder and the capsule having the same axis of revolution?

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Maximizzare il volume di un cilindro destro inserito in una capsula formata da una sfera e da un cono che condividono lo stesso asse

Una capsula spaziale ha la forma di un solido di rivoluzione limitato da una sfera di centro $O$ e di raggio $R$, e da un cono con apice $O$ che incontra questa sfera lungo un cerchio di raggio $r$.

Qual è il volume massimo di un cilindro destro contenuto in questa capsula, il cilindro e la capsula avendo lo stesso asse di rotazione?

src_cgen_1997__Q02

Find the maximal area of the orthogonal projection of a unit cube onto a plane

$C$ is a cube of edge $1$ and $p$ is the orthogonal projection onto a plane. What is the maximal value of the area of $p(C)$?

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’area massima della proiezione ortogonale di un cubo unitario su un piano

$C$ è un cubo di bordo $1$ e $p$ è la proiezione ortogonale su un piano. Qual è il valore massimo della superficie di $p(C)$?

src_cgen_1997__Q03

Define lambda(alpha) by a relation between the alpha-th powers of the side lengths and the medians of a triangle; compute lambda(2), the limit as alpha tends to 0, and the condition for independence of alpha

Given a triangle $ABC$, denote by $a,b,c$ the lengths of its sides and by $m,n,p$ the lengths of its medians.

For every strictly positive real $\alpha$, the real number $\lambda (\alpha )$ is defined by the relation: $a^{\alpha }+b^{\alpha }+c^{\alpha }=[\lambda (\alpha )](m^{\alpha }+n^{\alpha }+p^{\alpha })$ \textbf{1.} Compute $\lambda (2)$. \textbf{2.} Compute the limit of $\lambda (\alpha )$ as $\alpha$ tends to $0$. \textbf{3.} Under what condition on $a,b,c$ is $\lambda (\alpha )$ independent of $\alpha$?

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Definire lambda(alpha) per un rapporto tra le potenze alfa delle lunghezze laterali e le medie di un triangolo; calcolare lambda(2), il limite come alfa tende a 0, e la condizione per l’indipendenza di alpha

In un triangolo $ABC$, indicare con $a,b,c$ le lunghezze dei suoi lati e con $m,n,p$ le lunghezze dei suoi mediani.

Per ogni reale $\alpha$ rigorosamente positivo, il numero reale $\lambda (\alpha )$ è definito dalla relazione: $a^{\alpha }+b^{\alpha }+c^{\alpha }=[\lambda (\alpha )](m^{\alpha }+n^{\alpha }+p^{\alpha })$ \textbf{1.} Calcola $\lambda (2)$. \textbf{2.} Calcolare il limite di $\lambda (\alpha )$ come $\alpha$ tende a $0$. In quale condizione su $a,b,c$ $\lambda (\alpha )$ è indipendente da $\alpha$?

src_cgen_1997__Q04

For a fixed oriented angle alpha, find the locus Gamma of point C seeing AB under that angle, show the centroid G and incenter I describe arcs, then choose C minimizing GI and maximize that minimum over alpha

In the plane, let $A$ and $B$ be two distinct points. For every point $C$ exterior to the line $(AB)$, denote by $G$ the isobarycenter (centroid) of triangle $ABC$ and by $I$ the center of its inscribed circle. \textbf{1.} Let $\alpha$ be a real number such that $0<\alpha <\pi$. What is the set $\Gamma$ of points $C$ such that $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\alpha +2k\pi ,$ $k$ being an integer? When $C$ describes $\Gamma$, show that $G$ and $I$ describe two arcs of a circle, which you will specify. \textbf{2.} Suppose now that $\frac{\pi }{3}<\alpha <\pi$. How must $C$ be chosen in $\Gamma$ so that the distance $GI$ is minimal? \textbf{3.} Denote by $f(\alpha )$ the minimal distance $GI$ of the previous question. Express $f(\alpha )$ in terms of $a=AB$ and $\alpha$. Determine the maximal value of $f(\alpha )$ when $\alpha$ describes $\left]\frac{\pi }{3};\pi \right[$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Per un angolo alfa orientato fisso, trovare il locus Gamma del punto C vedendo AB sotto quell’angolo, mostrare il centroid G e incenter descrivo archi, quindi scegliere C minimizzando GI e massimizzare quel minimo su alfa

Nel piano, $A$ e $B$ siano due punti distinti. Per ogni punto $C$ esterno alla linea $(AB)$, indicare con $G$ l’isobaricentro (centroid) del triangolo $ABC$ e con $I$ il centro del suo cerchio inciso. \textbf{1.} $\alpha$ sia un numero reale tale che $0<\alpha <\pi$. Qual è l’insieme $\Gamma$ dei punti $C$ in modo che $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\alpha +2k\pi ,$ $k$ sia un numero intero? Quando $C$ descrive $\Gamma$, mostrare che $G$ e $I$ descrivono due archi di un cerchio, che si specificherà. \textbf{2.} Supponiamo ora che $\frac{\pi }{3}<\alpha <\pi$. Come si deve scegliere $C$ in $\Gamma$ in modo che la distanza $GI$ sia minima? \textbf{3.} Denotare con $f(\alpha )$ la distanza minima $GI$ della domanda precedente. Esprimere $f(\alpha )$ in termini di $a=AB$ e $\alpha$. Determinare il valore massimo di $f(\alpha )$ quando $\alpha$ descrive $\left]\frac{\pi }{3};\pi \right[$.

src_cgen_1997__Q05