Concours Général des Lycées 1998 — Matematica

Tetrahedron with two pairs of orthogonal edges; minimize a degree-6 expression

A tetrahedron $ABCD$ satisfies the following conditions:

1. The edges $AB$, $AC$, and $AD$ are pairwise orthogonal (each pair of these three edges is orthogonal to the other).
2. $AB=3$ and $CD=\sqrt{2}$.

Determine the minimum value of $B{C}^6+B{D}^6-A{C}^6-A{D}^6$.

Topic: Geometria solida, Algebra Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tetraedro con due coppie di bordi ortogonali; ridurre al minimo un’espressione di grado-6

Un tetraedro $ABCD$ soddisfa le seguenti condizioni: 1. I bordi $AB$, $AC$ e $AD$ sono ortogonali in coppia (ogni coppia di questi tre bordi è ortogonale all’altra). 2. $AB=3$ e $CD=\sqrt{2}$.

Determinare il valore minimo di $B{C}^6+B{D}^6-A{C}^6-A{D}^6$.

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Real sequence with floor recurrence; prove periodicity

Let $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ be a real sequence satisfying, for every integer $n$, the relation: $u_{n+2}=\lfloor u_{n+1}\rfloor -u_n,$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

Show that there exists a nonzero integer $p$ such that the relation $u_n=u_{n+p}$ holds for every natural number $n$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Ricorsione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Reale sequenza con ricorrenza del pavimento; prova di periodicità

Che $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sia una sequenza reale che soddisfi, per ogni numero intero $n$, la relazione: $u_{n+2}=\lfloor u_{n+1}\rfloor -u_n,$ dove $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.

Mostra che esiste un numero intero non zero $p$ tale che la relazione $u_n=u_{n+p}$ si applique a ogni numero naturale $n$.

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Find the range of a function defined by a nested-radical floor expression

For every real $x$, let $E(x)$ denote the greatest integer less than or equal to $x$. Let $k$ be a fixed integer greater than or equal to $2$. Consider the function $f$ from $\mathbb{N}$ to $\mathbb{N}$ defined by: $f(n)=n+E\left(\sqrt[k]{n+\sqrt{n}}\right).$

Determine the set of values taken by the function $f$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca l’intervallo di una funzione definita da un’espressione del pavimento radicale-nido

Per ogni $x$ reale, $E(x)$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Il $k$ deve essere un numero intero fisso superiore o uguale a $2$. Considera la funzione $f$ da $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ definita da: $f(n)=n+E\left(\sqrt[k]{n+\sqrt{n}}\right).$

Determinare l’insieme dei valori presi dalla funzione $f$.

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Point on segment between two lines through O; minimize area then perimeter

Consider two lines $D_1$ and $D_2$ intersecting at $O$, and a point $M$ belonging to neither line. Consider two variable points $A$ on $D_1$ and $B$ on $D_2$ such that $M$ belongs to the segment $[A,B]$. (Questions 1 and 2 are independent.)

(1) Show that there exists a position of points $A$ and $B$ for which the area of triangle $OAB$ is minimal. Construct the points $A$ and $B$ thus determined.

(2) Show that there exists a position of points $A$ and $B$ for which the perimeter of triangle $OAB$ is minimal, and that in this case the perimeters of triangles $OAM$ and $OBM$ are equal, and moreover the following relation holds: $\frac{AM}{\tan \frac{\widehat{OAM}}{2}}=\frac{BM}{\tan \frac{\widehat{OBM}}{2}}.$ Construct the points $A$ and $B$ thus determined.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Estremalità, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto su segmento tra due linee attraverso O; ridurre al minimo la superficie e quindi il perimetro

Considera due linee $D_1$ e $D_2$ che si incrociano a $O$ e un punto $M$ che non appartiene a nessuna delle due linee. Considerare due punti variabili $A$ su $D_1$ e $B$ su $D_2$ in modo tale che $M$ appartenga al segmento $[A,B]$. (Le domande 1 e 2 sono indipendenti.)

(1) Indicare che esiste una posizione dei punti $A$ e $B$ per il quale l’area del triangolo $OAB$ è minima. Costruire i punti $A$ e $B$ così determinati.

(2) Indicare che esiste una posizione dei punti $A$ e $B$ per il quale il perimetro del triangolo $OAB$ è minimo, e che in questo caso i perimetri dei triangoli $OAM$ e $OBM$ sono uguali, e che inoltre si mantiene la seguente relazione: $\frac{AM}{\tan \frac{\widehat{OAM}}{2}}=\frac{BM}{\tan \frac{\widehat{OBM}}{2}}.$ Costruire i punti $A$ e $B$ così determinati.

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Prove existence of a 2n-5 point set piercing all triangles from an n-point set

Let $n$ be an integer greater than or equal to $3$. Consider a set $A$ of $n$ points in the plane such that no three points of $A$ are collinear.

Show that there exists a set $S$ of $2n-5$ points in the plane such that for every triangle whose vertices are points of $A$, there exists at least one point of $S$ that lies strictly inside it.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Prove l’esistenza di un insieme di punti 2n-5 che attraversa tutti i triangoli da un insieme di punti n

$n$ deve essere un numero intero superiore o uguale a $3$. Considera un insieme $A$ di punti $n$ nel piano in modo tale che non ci siano tre punti $A$ collineari.

Mostrare che nel piano esiste un insieme $S$ di punti $2n-5$ in modo tale che per ogni triangolo le cui vertici sono punti $A$, esista almeno un punto $S$ che si trova rigorosamente all’interno.

src_cgen_1998__Q05