Concours Général des Lycées 2000 — Matematica

Distribute b white and n black balls into two urns to maximize the probability of drawing a white ball

We have $b$ white balls and $n$ black balls — at least one of each — which we distribute between two urns so that neither of them is empty; we denote by $s$ the number of balls in the first urn, and by $r$ the number of those balls that are white. The event considered is the drawing of one ball at random from one of the two urns, the urn itself being chosen at random; the aim of the exercise is to determine the distributions that make the probability $p$ of drawing a white ball maximal.

1. Express $p$ as a function of $b$, $n$, $r$ and $s$.
2. In this question, the value of $s$ is fixed; how should $r$ be chosen in order to increase $p$?
3. Solve the exercise.
4. What generalizations do you propose by increasing the number of colours and of urns?

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Distribuire le palline bianche e nere in due urne per massimizzare la probabilità di disegnare una pallina bianca

Abbiamo $b$ palle bianche e $n$ palle nere — almeno una di ciascuna — che distribuiamo tra due urne in modo che nessuna di esse sia vuota; indichiamo con $s$ il numero di palle nella prima urna, e con $r$ il numero di quelle palle bianche. L’evento considerato è il disegno casuale di una palla da una delle due urne, mentre l’urna stessa viene scelta casuale; lo scopo dell’esercizio è quello di determinare le distribuzioni che rendono la probabilità $p$ di disegnare una palla bianca massima.

1. Esprimere $p$ come funzione di $b$, $n$, $r$ e $s$. 2. In questa domanda, il valore di $s$ è fissato; come si deve scegliere $r$ per aumentare $p$? 3. Risolvi l’esercizio. 4. Quali generalizzazioni proponi aumentando il numero dei colori e delle urne?

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Triangles ABC (called Cartesian) with integer sides and angle A = 2pi/3: rational lengths, incircle/excircle, and number-theoretic characterization

This problem deals with triangles $ABC$ said to be Cartesian, that is to say with integer sides $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ and angle at $A$ measuring $\frac{2\pi }{3}$ radians. Unless otherwise stated, $ABC$ is not assumed to be Cartesian.

1. Denoting by $H$ its orthocenter, projected orthogonally at $(U,V,W)$ onto the three sides, determine which of the following are rational numbers: $AU$, $BV$, $CW$, $HA$, $HB$, $HC$, $HU$, $HV$, $HW$, $AW$, $AV$, $BU$, $BW$, $CV$ and $CU$.
2. Denoting by $I$ its incircle centre, $J$ the intersection of the interior bisector at $A$ with the exterior bisectors at the other vertices, and $P$, $Q$ the intersections of the line $BC$ with the two bisectors at $A$, determine which of the following are rational numbers: $PB$, $PC$, $QB$, $QC$, $AI$, $AJ$, $AP$ and $AQ$.
3. We now suppose $b$ and $c$ are coprime. Show that, up to exchanging $b$ and $c$, $a+b-c$ is a multiple of $3$ and $a-b+c$ is not.
4. We set $\frac{a+b-c}{3c}=\frac{p}{q}$ where $p$ and $q$ are strictly positive coprime integers. Denoting by $d$ the GCD of $p(3p+2q)$ and of $q(2p+q)$, calculate $a$, $b$, $c$ as a function of $p$, $q$ and $d$.
5. Show that $q$ is not a multiple of $3$, then that $d=1$.
6. Deduce a necessary and sufficient condition for a triangle to be Cartesian with coprime sides, then, by geometric remarks, an analogous characterization of triangles with coprime integer sides $BC=a$, $CA=b$ and $AB=c$ whose angle at $A$ measures $\frac{\pi }{3}$ radians.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri, Trigonometria Metodo: Coordinate, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triangoli ABC (chiamati cartesiani) con lati interi e angolo A = 2pi/3: lunghezze razionali, incircolo/escircolo e caratterizzazione numerologica

Questo problema riguarda i triangoli $ABC$ che si dice siano cartesiani, cioè con lati interi $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ e angolo a $A$ che misurano i radiani $\frac{2\pi }{3}$. Salvo indicazione contraria, $ABC$ non è presunto essere cartesiano.

1. Indicando con $H$ il suo centro ortogonale, proiettato ortogonalmente a $(U,V,W)$ sui tre lati, si determina quale dei seguenti numeri razionali sia: $AU$, $BV$, $CW$, $HA$, $HB$, $HC$, $HU$, $HV$, $HW$, $AW$, $AV$, $BU$, $BW$, $CV$ e $CU$. 2. Indicando con $I$ il suo centro incircolare, $J$ l’intersezione del bisettore interno a $A$ con i bisettori esterni agli altri vertici, e $P$, $Q$ le intersezioni della linea $BC$ con i due bisettori a $A$, determinare quali dei seguenti numeri razionali sono: $PB$, $PC$, $QB$, $QC$, $AI$, $AJ$, $AP$ e $AQ$. 3. Ora supponiamo che $b$ e $c$ siano coprime. Indicare che, fino a scambiare $b$ e $c$, $a+b-c$ è un multiple di $3$ e $a-b+c$ non lo è. 4. Abbiamo impostato $\frac{a+b-c}{3c}=\frac{p}{q}$ dove $p$ e $q$ sono numeri interi di copriamo rigorosamente positivi. Indicando con $d$ il GCD di $p(3p+2q)$ e di $q(2p+q)$, calcolare $a$, $b$, $c$ come funzioni di $p$, $q$ e $d$. 5. Indicare che $q$ non è un multiple di $3$, quindi che $d=1$. 6. Deduci una condizione necessaria e sufficiente per un triangolo di essere cartesiano con lati copriemi, quindi, con osservazioni geometriche, una caratterizzazione analogica dei triangoli con lati interi copriemi $BC=a$, $CA=b$ e $AB=c$ il cui angolo a $A$ misura $\frac{\pi }{3}$ radiani.

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Set E of radii R of spheres (H) keeping points B,C strictly outside while sphere (A) lies strictly inside; non-emptiness and least upper bound

Let $A$, $B$, $C$ be three pairwise distinct points in space, $(A)$ a sphere of centre $A$ and radius $r$, and $E$ the set of numbers $R>0$ such that there exists a sphere $(H)$ of centre $H$ and radius $R$ with respect to which the points $B$ and $C$ are strictly exterior (that is, for example, such that $HB>R$), and the points of $(A)$ are strictly interior.

1. In this question, $B$ and $C$ are aligned and strictly exterior to $(A)$. Show that $E$ is non-empty and bounded above. Calculate the smallest of its upper bounds as a function of the data.
2. Determine a necessary and sufficient condition for $E$ to be non-empty and bounded above.
3. Calculate, when it exists, the smallest of the upper bounds of $E$.

Topic: Geometria solida, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Set E di raggio R delle sfere (H) mantenendo i punti B,C strettamente all’esterno mentre la sfera (A) si trova strettamente all’interno; non vuoto e il limite superiore minimo

Che $A$, $B$, $C$ siano tre punti spaziali separati in coppia, $(A)$ una sfera di centro $A$ e di raggio $r$, e $E$ l’insieme di numeri $R>0$ in modo tale che esista una sfera $(H)$ del centro $H$ e di raggio $R$ in relazione alla quale i punti $B$ e $C$ sono strettamente esterni (cioè, ad esempio, tali che $HB>R$), e i punti di $(A)$ sono strettamente interni.

1. In questa domanda, $B$ e $C$ sono allineati e strettamente esterni a $(A)$. Indicare che $E$ non è vuoto e che è limitato sopra. Calcolare il più piccolo dei suoi limiti superiori come funzione dei dati. 2. Determinare una condizione necessaria e sufficiente affinché il $E$ non sia vuoto e sia limitato sopra. 3. Calcolare, quando esiste, il minimo dei limiti superiori di $E$.

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