Concours Général des Lycées 2001 — Matematica

Single problem (Exercice 1) in four parts on ‘trios’ (a,b,c) with ab+bc+ca=0: geometric loci, integer/primitive trios and counting, a star-product of trios via complex numbers, and the arithmetic of integers represented by u^2+3v^2.

A \textbf{trio} is any triple of real numbers $(a,b,c)$, not all zero, satisfying the relation $ab+bc+ca=0.$ When $a+b+c=1$, the trio $(a,b,c)$ is said to be \textbf{reduced}. Coordinates are referred to a direct orthonormal frame $\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ of space.

\textbf{First part} Let $\mathcal{C}$ be the set of points with coordinates $(a,b,c)$ where $(a,b,c)$ is a trio. Let $\Gamma$ be the set of points with coordinates $(a,b,c)$ where $(a,b,c)$ is a reduced trio. Let $\mathcal{P}$ be the plane with equation $x+y+z=1$.

1. Do there exist trios $(a,b,c)$ such that $a+b+c=0$?
2. Show that $\mathcal{C}$ is a union of lines passing through $O$ and deprived of that point.
3. Show that $\Gamma$ is the intersection of a plane and a sphere of center $O$. What is the geometric nature of $\Gamma$?
4. Give the geometric nature of $\mathcal{C}$ and illustrate it with a sketch.
5. Let $L$ be a point fixed on $\Gamma$. Show that the volume $V$ of the tetrahedron $OL{L}^{\prime }{L}^{\prime \prime }$, where $L^{\prime }$ and $L^{\prime \prime }$ are two distinct points of $\Gamma$ different from $L$, is maximal when the edges issuing from $O$ are pairwise orthogonal, and then determine the coordinates of $L^{\prime }$ and $L^{\prime \prime }$ as functions of those of $L$.
6. Show that the product $abc$ admits a maximum and a minimum as the point of coordinates $(a,b,c)$ ranges over $\Gamma$. State the reduced trios realizing these extrema.

\textbf{Second part} In this part and the following ones, a trio $(a,b,c)$ is said \textbf{rational} when $a$, $b$ and $c$ are rational numbers (elements of $\mathbb{Q}$); it is said \textbf{integer} when $a$, $b$ and $c$ are relative integers (elements of $\mathbb{Z}$); finally an integer trio is said \textbf{primitive} if $a$, $b$ and $c$ admit only $1$ and $-1$ as common divisors.

1. Determine the nature of the set $H_1$ of points of coordinates $(x,y,1)$ such that $(x,y,1)$ is a trio. Show that the point ${\Omega }_1$ of coordinates $(-1,-1,1)$ is a center of symmetry of $H_1$. What are the points of $H_1$ with integer coordinates?
2. For a given nonzero natural integer $h$, let $Z_h$ be the set of integer trios $(a,b,c)$ such that $c=h$. Determine $Z_h$ for $h=1$ and $h=2$.
3. Show that $Z_h$ is a finite set and express the number $N(h)$ of its elements as a function of the number of divisors of $h^2$ in $\mathbb{Z}$. Show that $4$ divides $N(h)-2$.
4. For every nonzero natural integer $h$, let $N^{\prime }(h)$ be the number of integer trios $(a,b,c)$ such that at least one of the integers $a$, $b$ or $c$ is equal to $h$. Express $N^{\prime }(h)$ as a function of $N(h)$ according to the parity of $h$.
5. Show that to every integer trio $(a,b,c)$ one can associate a triplet $(r,s,t)$ of integers such that $r$ and $s$ are coprime, $s$ is nonnegative, and such that $a=r(r+s)t$, $b=s(r+s)t$, $c=-rst$. State and prove a converse. For which trios $(a,b,c)$ is the triplet $(r,s,t)$ not unique?
6. Determine the triplets $(r,s,t)$ thus associated to the primitive trios. Deduce that if $(a,b,c)$ is a primitive trio, then $|abc|$, $|a+b|$, $|b+c|$ and $|c+a|$ are perfect squares of integers.
7. For every nonzero natural integer $h$, let $P(h)$ be the number of primitive trios $(a,b,c)$ such that $c=h$. Show that $P(h)$ is a power of $2$. For which integers $h$ does one have $P(h)=N(h)$? Make explicit a sequence of integers $(h_n)$ such that the sequence $\left(\frac{P(h_n)}{N(h_n)}\right)$ converges to zero.
8. Let $(a,b,1)$ be a trio. Show that there exist two sequences $(x_n)$ and $(y_n)$ converging respectively to $a$ and $b$ and such that for every $n$, $(x_n,y_n,1)$ is a rational trio.
9. Let $(a,b,c)$ be a reduced trio. Show that there exist three sequences $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$ converging respectively to $a$, $b$, $c$ and such that for every $n$, $(x_n,y_n,z_n)$ is a rational reduced trio.

\textbf{Third part} Let $j$ be the complex number $e^{\frac{2i\pi }{3}}$, that is $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$. For every trio $T=(a,b,c)$, write $\tilde{T}=(a,c,b)$, $S(T)=a+b+c$ and $z(T)=a+bj+c{j}^2$.

1. Compute the modulus of $z(T)$ as a function of $S(T)$. Can one have $z(T)=0$? Compute the cosine and the sine of an argument $\theta$ of $z(T)$ as functions of $a$, $b$ and $c$.
2. Let $z_0$ be a nonzero complex number. Determine the trios $T=(a,b,c)$ such that $z(T)=z_0$.
3. Given two trios $T_1$ and $T_2$, show that there exists a unique trio, denoted $T_1\ast T_2$, verifying $S(T_1\ast T_2)=S(T_1)S(T_2)$ and $z(T_1\ast T_2)=z(T_1)z(T_2)$. Compute $T_1\ast T_2$ as a function of $T_1$ and $T_2$. What can be said about an argument of $z(T_1\ast T_2)$? What can be said about an argument of $z(T_1\ast \widetilde{T_1})$?
4. If $T_1$ and $T_2$ are reduced, is $T_1\ast T_2$ reduced? If $T_1$ and $T_2$ are integer trios, is $T_1\ast T_2$ an integer trio? If $T_1$ and $T_2$ are primitive, is $T_1\ast T_2$ primitive?
5. Compare the trios $T_1\ast T_2$ and $T_2\ast T_1$; $(T_1\ast T_2)\ast T_3$ and $T_1\ast (T_2\ast T_3)$; $T_1$ and $T_1\ast (1,0,0)$.
6. Given two trios $T_1$ and $T_2$, solve the equation $T_1\ast T=T_2$ with the trio $T$ as unknown.
7. Let $T$ be a trio. Define a sequence of trios $(T_n)$ by $T_0=(1,0,0)$ and $T_{n+1}=T\ast T_n$. Compute $S(T_n)$. Given a natural integer $p$, solve the equation $T_p=T_0$ where the trio $T$ is the unknown.

\textbf{Fourth part} Let $A$ be the set of nonzero integers $m$ such that there exist two integers $u$, $v$ with $m=u^2+3v^2$. Let $A^{\prime }$ be the set of complex numbers $z$ such that there exist two integers $u$, $v$ with $z=u+iv\sqrt{3}$ (one remarks that $|z{|}^2=u^2+3v^2$). Let $B$ be the set of nonzero integers $n$ such that there exist two integers $r$, $s$ with $n=r^2+rs+s^2$.

1. Show that the product of two elements of $A^{\prime }$ belongs to $A^{\prime }$, then that the product of two elements of $A$ belongs to $A$.
2. Show that if $p$ is a prime number that is an element of $A$, then $p=3$ or $4$ divides $p-1$.
3. Show that $A=B$ (one may notably remark that $r^2+rs+s^2=(r+s{)}^2-s(r+s)$).
4. Show that $4$ divides the elements $a$ of $A$ whose quotients belong to $A$, then that every odd element of $A$ [is a divisor of an element of $A$ multiplied by a power of $4$]. (a) Let $m=u^2+3v^2$ be an odd integer such that the integers $u$ and $v$ are coprime and which admits a prime divisor $p$ not belonging to $A$. Show that there then exists a smallest strictly positive integer $n_0$ such that $n_{0}p$ belongs to $A$. Show that $n_0$ is odd. (b) Establish the existence of two integers $u^{\prime }$ and $v^{\prime }$ of absolute value less than $\frac{p}{2}$ such that $p$ divides $u^{\prime }-u$ and $v^{\prime }-v$. Show that $p$ divides the nonzero integer $u^{\prime 2}+3v^{\prime 2}$ and that $n_0<p$. (c) Establish the existence of two nonzero coprime integers $u_0$ and $v_0$ such that $n_{0}p=u_0^2+3v_0^2$. (d) Establish the existence of two integers $u_1$ and $v_1$ of absolute value less than $\frac{n_0}{2}$ such that $n_0$ divides $u_1-u_0$ and $v_1-v_0$. Show that $n_0$ divides the nonzero integer $u_1^2+3v_1^2$, which we denote $n_0{n}_1$. (e) Deduce that such an integer $m$ cannot exist (one may consider the integer $n_0^2(n_{0}p)$).
5. Show that every element of $A$ is written $m=C^2{p}_1\cdots p_k$, where $C$ is a nonzero natural integer and the $p_i$ are distinct prime numbers that are elements of $A$. (a) Let $p$ be a prime number such that $3$ divides $p-1$ and let $K$ be the set of triplets $(x,y,z)$ where the integers $x$, $y$ and $z$ are strictly between $0$ and $p$, and such that $p$ divides $(xyz-1)$. Show that $K$ has $(p-1{)}^2$ elements, and that $3$ divides the number of elements of $K$ that do not satisfy $x=y=z$. (b) Deduce that there exists an integer $x$ strictly between $1$ and $p$ such that $p$ divides $x^2+x+1$, then that $p$ belongs to $A$. Describe the elements of $A$.
6. Let $D$ be the set of integers $d$ such that there exists an integer trio $(a,b,c)$ verifying $a+b+c=d$ and $abc\ne 0$. Show, thanks to question 5 of the second part, that every element of $D$ possesses a prime divisor that is an element of $A$. Conversely, what can be said about a nonzero integer admitting a prime divisor that is an element of $A$?
7. Deduce the elements of $D$ comprised, in the broad sense, between $2001$ and $2010$.

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria analitica, Geometria solida, Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Coordinate, Congruenze, Fattorizzazione, Conteggio, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Problema singolo (esercizio 1) in quattro parti su ‘trios’ (a,b,c) con ab+bc+ca=0: loci geometrici, trios interi/primitivi e conteggio, un prodotto stellare dei trios attraverso numeri complessi, e l’aritmetica dei numeri interi rappresentati da u^2+3v^2.

Un \textbf{trio} è qualsiasi triplo dei numeri reali $(a,b,c)$, non tutti zero, che soddisfa la relazione $ab+bc+ca=0.$ Quando $a+b+c=1$, il trio $(a,b,c)$ è detto di essere \textbf{ridotto}. Le coordinate si riferiscono a un quadro ortonormale diretto $\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ dello spazio.

\textbf{Prima parte} $\mathcal{C}$ sia l’insieme di punti con coordinate $(a,b,c)$ dove $(a,b,c)$ è un trio. $\Gamma$ sia l’insieme di punti con le coordinate $(a,b,c)$ in cui $(a,b,c)$ è un trio ridotto. $\mathcal{P}$ sia il piano con l’equazione $x+y+z=1$. 1. Esistono trio $(a,b,c)$ tali da $a+b+c=0$? 2. Indicare che $\mathcal{C}$ è un’unione di linee che attraversano $O$ e che è priva di tale punto. 3. Indicare che $\Gamma$ è l’intersezione di un piano e di una sfera di centro $O$. Qual è la natura geometrica di $\Gamma$? 4. Indicare la natura geometrica di $\mathcal{C}$ e illustrarla con uno schema. 5. Il $L$ deve essere un punto fissato su $\Gamma$. Indicare che il volume $V$ del tetraedro $OL{L}^{\prime }{L}^{\prime \prime }$, dove $L^{\prime }$ e $L^{\prime \prime }$ sono due punti distinti di $\Gamma$ diversi da $L$, è massimo quando i bordi emessi da $O$ sono ortogonali in coppia, e quindi determinare le coordinate di $L^{\prime }$ e $L^{\prime \prime }$ come funzioni di quelle di $L$. 6. Indicare che il prodotto $abc$ ammette un massimo e un minimo poiché il punto delle coordinate $(a,b,c)$ va oltre $\Gamma$. Indicate i trio ridotti che realizzano questi estremi.

\textbf{Seconda parte} In questa parte e nelle seguenti, un trio $(a,b,c)$ è detto \textbf{razionale} quando $a$, $b$ e $c$ sono numeri razionali (elementi di $\mathbb{Q}$); si dice \textbf{integer} quando $a$, $b$ e $c$ sono integri relativi (elementi di $\mathbb{Z}$); infine un trio di numeri interi è detto \textbf{primitivo} se $a$, $b$ e $c$ ammette solo $1$ e $-1$ come divisori comuni. 1. Determinare la natura dell’insieme $H_1$ di punti di coordinate $(x,y,1)$ in modo tale che $(x,y,1)$ sia un trio. Indicare che il punto ${\Omega }_1$ delle coordinate $(-1,-1,1)$ è un centro di simmetria di $H_1$. Quali sono i punti di $H_1$ con coordinate interi? 2. Per un dato numero intero naturale non zero $h$, $Z_h$ sia l’insieme di trio di numeri interi $(a,b,c)$ tale che $c=h$. Determinare $Z_h$ per $h=1$ e $h=2$. 3. Indicare che $Z_h$ è un insieme finito e esprimere il numero $N(h)$ dei suoi elementi come funzione del numero di divisori di $h^2$ in $\mathbb{Z}$. Indicare che $4$ divide $N(h)-2$. 4. Per ogni integro naturale non zero $h$, $N^{\prime }(h)$ deve essere il numero di trio di integri $(a,b,c)$ in modo tale che almeno uno degli integri $a$, $b$ o $c$ sia uguale a $h$. Esprimere $N^{\prime }(h)$ come funzione di $N(h)$ secondo la parità di $h$. 5. Mostrare che a ogni trio di enti $(a,b,c)$ si può associare un triplo $(r,s,t)$ di numeri interi in modo tale che $r$ e $s$ siano coprimi, $s$ non sia negativo e in modo tale che $a=r(r+s)t$, $b=s(r+s)t$, $c=-rst$. Dichiara e dimostra il contrario. Per quali trio $(a,b,c)$ non è unico il triplo $(r,s,t)$? 6. Determinare i triplici $(r,s,t)$ così associati ai trio primitivi. Deduci che se $(a,b,c)$ è un trio primitivo, allora $|abc|$, $|a+b|$, $|b+c|$ e $|c+a|$ sono quadrati perfetti di interi. 7. Per ogni intero naturale non zero $h$, $P(h)$ sia il numero di trio primitivi $(a,b,c)$ tale che $c=h$. Indicare che $P(h)$ è una potenza di $2$. Per quali integri $h$ si dispone di $P(h)=N(h)$? Esprimere esplicitamente una sequenza di enti $(h_n)$ in modo tale che la sequenza $\left(\frac{P(h_n)}{N(h_n)}\right)$ converga a zero. 8. Lasciate che $(a,b,1)$ sia un trio. Indicare che esistono due sequenze $(x_n)$ e $(y_n)$ convergenti rispettivamente a $a$ e $b$ e tale che per ogni $n$, $(x_n,y_n,1)$ sia un trio razionale. 9. Che il $(a,b,c)$ sia un trio ridotto. Indicare che esistono tre sequenze $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$ convergenti rispettivamente a $a$, $b$, $c$ e tale che per ogni $n$, $(x_n,y_n,z_n)$ sia un trio ridotto razionale.

\textbf{Terza parte} $j$ sia il numero complesso $e^{\frac{2i\pi }{3}}$, cioè $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Per ogni trio $T=(a,b,c)$, scrivere $\tilde{T}=(a,c,b)$, $S(T)=a+b+c$ e $z(T)=a+bj+c{j}^2$. 1. Calcolare il modulo di $z(T)$ come funzione di $S(T)$. Si può avere $z(T)=0$? Calcolare il cosino e il seno di un argomento $\theta$ di $z(T)$ come funzioni di $a$, $b$ e $c$. 2. $z_0$ sia un numero complesso non zero. Determinare i trio $T=(a,b,c)$ in modo tale che $z(T)=z_0$. 3. Date due trio $T_1$ e $T_2$, indicare che esiste un trio unico, denotato $T_1\ast T_2$, verificando $S(T_1\ast T_2)=S(T_1)S(T_2)$ e $z(T_1\ast T_2)=z(T_1)z(T_2)$. Calcolare $T_1\ast T_2$ come funzione di $T_1$ e $T_2$. Cosa si può dire di un argomento di $z(T_1\ast T_2)$? Cosa si può dire di un argomento di $z(T_1\ast \widetilde{T_1})$? 4. Se $T_1$ e $T_2$ sono ridotti, $T_1\ast T_2$ è ridotto? Se $T_1$ e $T_2$ sono trio interi, è $T_1\ast T_2$ un trio interi? Se $T_1$ e $T_2$ sono primitivi, è $T_1\ast T_2$ primitivo? 5. Confrontare i trio $T_1\ast T_2$ e $T_2\ast T_1$; $(T_1\ast T_2)\ast T_3$ e $T_1\ast (T_2\ast T_3)$; $T_1$ e $T_1\ast (1,0,0)$. 6. Date due trio $T_1$ e $T_2$, risolvere l’equazione $T_1\ast T=T_2$ con il trio $T$ come sconosciuto. 7. Lasciate che $T$ sia un trio. Definire una sequenza di trio $(T_n)$ da $T_0=(1,0,0)$ e $T_{n+1}=T\ast T_n$. Calcolare $S(T_n)$. Dato un intero naturale $p$, risolvere l’equazione $T_p=T_0$ dove il trio $T$ è l’ignoto.

\textbf{Quarta parte} $A$ sia l’insieme di enti interi non zero $m$ in modo tale che esistano due enti $u$, $v$ con $m=u^2+3v^2$. Che $A^{\prime }$ sia l’insieme dei numeri complessi $z$ in modo tale che esistano due integri $u$, $v$ con $z=u+iv\sqrt{3}$ (una osservazione che $|z{|}^2=u^2+3v^2$). $B$ sia l’insieme di numeri interi non zero $n$ in modo tale che esistano due numeri interi $r$, $s$ e $n=r^2+rs+s^2$. 1. Indicare che il prodotto di due elementi di $A^{\prime }$ appartiene a $A^{\prime }$, quindi che il prodotto di due elementi di $A$ appartiene a $A$. 2. Indicare che se $p$ è un numero primo che è un elemento di $A$, allora $p=3$ o $4$ divide $p-1$. 3. Indicare che $A=B$ (si può notare in particolare che $r^2+rs+s^2=(r+s{)}^2-s(r+s)$). 4. Indicare che $4$ divide gli elementi $a$ di $A$ i cui quotienti appartengono a $A$, quindi che ogni elemento odd di $A$ [è un divisore di un elemento di $A$ moltiplicato per una potenza di $4$]. (a) Il $m=u^2+3v^2$ deve essere un numero intero parziale tale che i numeri interi $u$ e $v$ siano copriemi e che ammetta un divisore primo $p$ non appartenente a $A$. Mostrare che allora esiste un numero intero rigorosamente positivo $n_0$ in modo tale che $n_{0}p$ appartiene a $A$. Mostrare che $n_0$ è strano. b) stabilire l’esistenza di due integri $u^{\prime }$ e $v^{\prime }$ di valore assoluto inferiore a $\frac{p}{2}$ in modo tale che $p$ divida $u^{\prime }-u$ e $v^{\prime }-v$. Indicare che $p$ divide il numero intero non zero $u^{\prime 2}+3v^{\prime 2}$ e che $n_0<p$. c) stabilire l’esistenza di due integri non zero $u_0$ e $v_0$ in modo tale che $n_{0}p=u_0^2+3v_0^2$. d) stabilire l’esistenza di due integri $u_1$ e $v_1$ di valore assoluto inferiore a $\frac{n_0}{2}$ in modo tale che $n_0$ divida $u_1-u_0$ e $v_1-v_0$. Mostrare che $n_0$ divide il numero intero non zero $u_1^2+3v_1^2$, che denotamo $n_0{n}_1$. (e) Deduzione che tale numero intero $m$ non può esistere (si può considerare il numero intero $n_0^2(n_{0}p)$). 5. Mostra che ogni elemento di $A$ è scritto $m=C^2{p}_1\cdots p_k$, dove $C$ è un intero naturale non zero e $p_i$ sono numeri primi distinti che sono elementi di $A$. (a) Che $p$ sia un numero primo tale che $3$ divida $p-1$ e che $K$ sia l’insieme dei tripli $(x,y,z)$ dove gli enti $x$, $y$ e $z$ sono strettamente tra $0$ e $p$, e tale che $p$ divida $(xyz-1)$. Indicare che $K$ ha elementi $(p-1{)}^2$ e che $3$ divide il numero di elementi di $K$ che non soddisfano $x=y=z$. b) Deduzione che esiste un numero intero $x$ strettamente tra $1$ e $p$ tale che $p$ divida $x^2+x+1$, quindi che $p$ appartiene a $A$. Descrivere gli elementi di $A$. 6. $D$ sia l’insieme di enti $d$ in modo tale che esista un trio di enti $(a,b,c)$ che verifica $a+b+c=d$ e $abc\ne 0$. Mostra, grazie alla domanda 5 della seconda parte, che ogni elemento di $D$ possiede un divisore primo che è un elemento di $A$. Al contrario, cosa si può dire di un numero intero non zero che ammette un divisore primo che è un elemento di $A$? 7. Riduzione degli elementi di $D$ compresi, in senso lato, tra $2001$ e $2010$.

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