Concours Général des Lycées 2002 — Matematica

Premiere partie: characterizations of a pseudo-rectangle triangle and complex-plane loci.

Let $ABC$ be a triangle. Denote by $P$ the orthogonal projection of the point $A$ onto the line $(BC)$, and by $D$ the reflection of the point $C$ across the line $(AP)$.

This triangle is said to be pseudo-rectangle at $A$ if $|\hat{B}-\hat{C}|=\frac{\pi }{2}$. We specify that it is pseudo-rectangle at $A$, obtuse at $B$ in the case where $\hat{B}-\hat{C}=\frac{\pi }{2}$.

1. Show that the triangle $ABC$ is pseudo-rectangle at $A$ if and only if the triangle $ABD$ is right-angled at $A$.

2. Show that $P{A}^2=PB\cdot PC$ if and only if the triangle $ABC$ is right-angled at $A$ or pseudo-rectangle at $A$.

3. Show that the triangle $ABC$ is pseudo-rectangle at $A$ if and only if its orthocentre is the reflection of the point $A$ across the line $(BC)$.

4. Let $R$ be the radius of the circumscribed circle of the triangle $ABC$. Show that $PB+PC=2R$ if and only if $ABC$ is right-angled at $A$ or pseudo-rectangle at $A$.

5. Show that the triangle $ABC$ is pseudo-rectangle at $A$ if and only if the line $(AP)$ is tangent to the circle circumscribed to the triangle $ABC$.

6. In the complex plane associated with the direct orthonormal frame $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$, let $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ be the affixes of the non-collinear points $A$, $B$, $C$. a. Give a necessary and sufficient condition on $\frac{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}{(\beta -\gamma {)}^2}$ for the triangle $ABC$ to be pseudo-rectangle at $A$. b. Suppose $\beta =-\gamma =e^{i\frac{\pi }{4}}$. Determine the set $(E_1)$ of points $A$ of the plane such that the triangle $ABC$ is pseudo-rectangle at $A$. c. Suppose $\beta =-\gamma =1$. Determine the set $(E_2)$ of points $A$ of the plane such that the triangle $ABC$ is pseudo-rectangle at $A$. d. By which simple geometric transformation does one pass from $(E_2)$ to $(E_1)$?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Premiere partie: caratteristiche di un triangolo pseudo rettangolare e di loci di piano complesso.

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Indicare con $P$ la proiezione ortogonale del punto $A$ sulla linea $(BC)$ e con $D$ il riflesso del punto $C$ sulla linea $(AP)$.

Questo triangolo è detto di essere pseudo-retangolo a $A$ se $|\hat{B}-\hat{C}|=\frac{\pi }{2}$. Specifichiamo che è pseudo rettangolo a $A$, obtuso a $B$ nel caso in cui $\hat{B}-\hat{C}=\frac{\pi }{2}$.

1. Indicare che il triangolo $ABC$ è pseudo rettangolo a $A$ se e solo se il triangolo $ABD$ è rettangolo a $A$.

2. Indicare che $P{A}^2=PB\cdot PC$ se e solo se il triangolo $ABC$ è rettangolare a $A$ o pseudo rettangolare a $A$.

3. Indicare che il triangolo $ABC$ è pseudo rettangolo a $A$ se e solo se il suo ortocentro è il riflesso del punto $A$ lungo la linea $(BC)$.

4. $R$ deve essere il raggio del cerchio circumscritto del triangolo $ABC$. Indicare che $PB+PC=2R$ se e solo se $ABC$ è rettangolare a $A$ o pseudo rettangolare a $A$.

5. Mostra che il triangolo $ABC$ è pseudo rettangolo a $A$ se e solo se la linea $(AP)$ è tangente al cerchio circoscritto al triangolo $ABC$.

6. Nel piano complesso associato alla cornice ortonormale diretta $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ siano gli affissi dei punti non collineari $A$, $B$, $C$. a. Indicare una condizione necessaria e sufficiente su $\frac{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}{(\beta -\gamma {)}^2}$ affinché il triangolo $ABC$ sia pseudo rettangolo a $A$. b. Supponiamo $\beta =-\gamma =e^{i\frac{\pi }{4}}$. Determinare l’insieme $(E_1)$ dei punti $A$ del piano in modo tale che il triangolo $ABC$ sia pseudo rettangolo a $A$. c. Supponiamo $\beta =-\gamma =1$. Determinare l’insieme $(E_2)$ dei punti $A$ del piano in modo tale che il triangolo $ABC$ sia pseudo rettangolo a $A$. d. Con quale semplice trasformazione geometrica si passa da $(E_2)$ a $(E_1)$?

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Deuxieme partie: equivalent conditions for a pseudo-rectangle triangle, rational/integer side triples, and related Diophantine equations.

Throughout this part, $a$, $b$, $c$ are strictly positive reals.

1. Let $(a,b,c)$ be a triple of strictly positive reals. Establish the equivalence of the following conditions: i. there exists a triangle $ABC$ pseudo-rectangle at $A$ and obtuse at $B$ such that $AB=c$, $BC=a$ and $CA=b$; ii. $b^2-c^2=a\sqrt{b^2+c^2}$; iii. there exist two reals $\rho >0$ and $\theta$ with $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ such that $a=\rho \cos 2\theta$, $b=\rho \cos \theta$ and $c=\rho \sin \theta$.

These conditions being satisfied, show that $\theta$ measures one of the angles of the triangle $ABC$. How can one interpret $\rho$ geometrically?

2. Let $ABC$ be a triangle pseudo-rectangle at $A$, obtuse at $B$, whose side lengths are rational numbers; let $\rho$ and $\theta$ be the two reals defined in 1.iii. In this question, one may use without justification the following trigonometric formulas, valid for every real $\phi$ for which $\tan \phi$ is defined: $\cos 2\phi =\frac{1-{\tan }^2\phi }{1+{\tan }^2\phi },\sin 2\phi =\frac{2\tan \phi }{1+{\tan }^2\phi }.$ a. Show that $\rho$ is rational, and deduce that $\tan \frac{\theta }{2}$ is rational. Let $p$ and $q$ be the strictly positive coprime integers such that $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{p}{q}$. b. Verify that $0<p<q(\sqrt{2}-1)$ and establish the existence of a strictly positive rational $r$ such that: $a=r(p^4-6p^2{q}^2+q^4)$ $b=r(q^4-p^4)$ $c=2pqr(p^2+q^2).$

3. Show conversely that the formulas of 2.b. define the side lengths of a triangle pseudo-rectangle at $A$, obtuse at $B$, whose side lengths are rational.

4. a. Let $p$ and $q$ be two strictly positive coprime integers. Determine the greatest common divisor of the three integers $p^4-6p^2{q}^2+q^4$, $q^4-p^4$, $2pq(p^2+q^2)$ (one will discuss according to the parity of $p$ and $q$). b. Describe the triples of integers $(a,b,c)$ such that there exists a triangle $ABC$, pseudo-rectangle at $A$, obtuse at $B$, such that $AB=c$, $BC=a$ and $CA=b$.

5. Solve in ${\mathbb{N}}^{\ast }$ the equation $x^2(y^2+z^2)=(y^2-z^2{)}^2$.

6. Solve in ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ the equation $x^2(y^2+z^2)=(y^2-z^2{)}^2$.

7. Solve in ${\mathbb{N}}^{\ast }$ the equation $x^2(y^2-z^2{)}^2=(y^2+z^2{)}^3$.

Topic: Teoria dei Numeri, Trigonometria, Geometria piana, Algebra Metodo: Trigonometria, Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Deuxieme partie: condizioni equivalenti per un triangolo pseudo rettangolare, tripli laterali razionali/inti e le relative equazioni diofantine.

In tutta questa parte, $a$, $b$, $c$ sono valori rigorosamente positivi.

**1. ** $(a,b,c)$ deve essere il triplo dei valori rigorosamente positivi. stabilire l’equivalenza delle seguenti condizioni: i. esiste un triangolo $ABC$ pseudo rettangolo a $A$ e un triangolo obtuso a $B$ in modo tale che $AB=c$, $BC=a$ e $CA=b$; $b^2-c^2=a\sqrt{b^2+c^2}$; iii. esistono due valori reali $\rho >0$ e $\theta$ con $0<\theta <\frac{\pi }{4}$, quali $a=\rho \cos 2\theta$, $b=\rho \cos \theta$ e $c=\rho \sin \theta$.

Se queste condizioni sono soddisfatte, si dimostra che $\theta$ misura uno degli angoli del triangolo $ABC$. Come si può interpretare $\rho$ geometricamente?

2. $ABC$ sia un triangolo pseudo rettangolo a $A$, obtuso a $B$, le cui lunghezze laterali sono numeri razionali; $\rho$ e $\theta$ siano i due reali definiti a 1.iii. In questa domanda si possono usare senza giustificazione le seguenti formule trigonometriche, valide per ogni reale $\phi$ per il quale $\tan \phi$ è definito: $\cos 2\phi =\frac{1-{\tan }^2\phi }{1+{\tan }^2\phi },\sin 2\phi =\frac{2\tan \phi }{1+{\tan }^2\phi }.$ a. Mostrare che $\rho$ è razionale e dedurre che $\tan \frac{\theta }{2}$ è razionale. $p$ e $q$ siano gli integri copriemi rigorosamente positivi, come $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{p}{q}$. b. Verificare che $0<p<q(\sqrt{2}-1)$ e stabilire l’esistenza di un $r$ razionale strettamente positivo tale che: $a=r(p^4-6p^2{q}^2+q^4)$ $b=r(q^4-p^4)$ $c=2pqr(p^2+q^2).$

3. Mostra invece che le formule di 2.b. definiscono le lunghezze laterali di un triangolo pseudo rettangolo a $A$, obtuso a $B$, le cui lunghezze laterali sono razionali.

4. a. Che $p$ e $q$ siano due integri coprimi rigorosamente positivi. Determinare il più grande divisore comune dei tre integri $p^4-6p^2{q}^2+q^4$, $q^4-p^4$, $2pq(p^2+q^2)$ (si discuterà in base alla parità di $p$ e $q$). b. Descrivere i triples di numeri interi $(a,b,c)$ in modo tale che esista un triangolo $ABC$, un pseudo rettangolo a $A$, obtuso a $B$, in modo tale che $AB=c$, $BC=a$ e $CA=b$.

5. Risolvi in ${\mathbb{N}}^{\ast }$ l’equazione $x^2(y^2+z^2)=(y^2-z^2{)}^2$.

6. Risolvere in ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ l’equazione $x^2(y^2+z^2)=(y^2-z^2{)}^2$.

7. Risolvi in ${\mathbb{N}}^{\ast }$ l’equazione $x^2(y^2-z^2{)}^2=(y^2+z^2{)}^3$.

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Troisieme partie: area under the hyperbola branch y=sqrt(x^2-1) via a Fermat-style trapezoid decomposition, and a limiting area ratio.

Let $\mathcal{H}$ be the curve defined by $x\ge 1$ and $y=\sqrt{x^2-1}$. Let $A$ be a point of $\mathcal{H}$ and $(r,s)$ the couple of its coordinates. Denote by $\mathcal{A}$ the area of the part of the plane defined by the relations $1\le x\le r$ and $y^2\le x^2-1$.

1. Compute $\mathcal{A}$ as a function of $r$ and $s$ (one may, for example, perform a rotation of the frame by angle $-\pi /4$).

2. The aim of this question is to recover the previous result using a method whose principle goes back to Fermat, doubtless shortly after 1658 (“De aequationum localium transmutatione et emendatione ad ultimodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usu”, Oeuvres completes, Tome I, pages 225-285).

Let $n$ be a non-zero natural integer and $u$ a positive real such that $u^n=r+s$. For every integer $k$ between $1$ and $n$, consider the right trapezoid $T_k$ (possibly reduced to a triangle) whose oblique side is the segment with endpoints the points of coordinates $(u^{k-1},0)$ and $(u^k,0)$, whose bases have slope $-1$, and one of whose right angles has for vertex the point of $\mathcal{H}$ with abscissa $\frac{u^{k-1}+u^{1-k}}{2}$. a. One thus defines, for each value of $k$, a unique trapezoid $T_k$ (reduced to a triangle when $k=1$): illustrate with a sketch. b. Why can one conjecture that the sum of the areas of these trapezoids admits $\frac{\mathcal{A}+s^2}{2}$ as a limit when $n$ tends to infinity? c. Prove the preceding conjecture using another sequence of trapezoids combined with the first. d. Recover the value of $\mathcal{A}$.

3. Let $B$ and $C$ be the points of respective coordinates $(1,0)$ and $(-1,0)$ and $A$ a point of coordinates $(x,y)$ with $x\ge 0$ and $y\ge 0$ such that the triangle $ABC$ is pseudo-rectangle at $A$. Denote by $S$ the area of the triangle $ABC$ and by $S^{\prime }$ the area of the part of the plane consisting of the points of the triangular plate defined by the triangle $ABC$ whose coordinates $(X,Y)$ satisfy $Y^2\le X^2-1$. Study the possible limit, as $x$ tends to infinity, of the ratio $\frac{S^{\prime }}{S}$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Troisieme partie: superficie sotto il ramo dell’iperbola y=sqrt(x^2-1) attraverso una decomposizione trapezoide di stile Fermat, e un rapporto di superficie limitante.

$\mathcal{H}$ è la curva definita da $x\ge 1$ e $y=\sqrt{x^2-1}$. Il punto $A$ è un punto di $\mathcal{H}$ e $(r,s)$ delle sue coordinate. Denotare con $\mathcal{A}$ l’area della parte del piano definita dalle relazioni $1\le x\le r$ e $y^2\le x^2-1$.

1. Calcolare $\mathcal{A}$ come funzione di $r$ e $s$ (si può, ad esempio, eseguire una rotazione del telaio per angolo $-\pi /4$).

L’obiettivo di questa domanda è quello di recuperare il risultato precedente utilizzando un metodo il cui principio risale senza dubbio a Fermat, poco dopo il 1658 (“De aequationum localium transmutatione et emendationone ad ultimodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usu”, Oeuvres completa, volume I, pagine 225-285).

Che $n$ sia un intero naturale non zero e $u$ un reale positivo tale che $u^n=r+s$. Per ogni numero intero $k$ tra $1$ e $n$, si considera il trapezoide destro $T_k$ (possibilmente ridotto a triangolo) il cui lato oblico è il segmento con punti terminali i punti delle coordinate $(u^{k-1},0)$ e $(u^k,0)$, le cui basi hanno pendenza $-1$, e uno dei cui angoli retti ha per vertice il punto di $\mathcal{H}$ con abscissa $\frac{u^{k-1}+u^{1-k}}{2}$. a. Si definisce così, per ogni valore di $k$, un trapezoide unico $T_k$ (ridotto a triangolo quando $k=1$): illustrare con uno schizzo. b. Perché si può ipotizzare che la somma delle aree di questi trapeziosi ammetta $\frac{\mathcal{A}+s^2}{2}$ come limite quando $n$ tende all’infinito? c. Prove la conjectura precedente utilizzando un’altra sequenza di trapezoi combinata con la prima. d. Recuperare il valore di $\mathcal{A}$.

3. $B$ e $C$ siano i punti delle rispettive coordinate $(1,0)$ e $(-1,0)$ e $A$ un punto delle coordinate $(x,y)$ con $x\ge 0$ e $y\ge 0$ in modo tale che il triangolo $ABC$ sia pseudo rettangolo a $A$. Indicare con $S$ la superficie del triangolo $ABC$ e con $S^{\prime }$ la superficie della parte del piano costituita dai punti della piastra triangolare definiti dal triangolo $ABC$ le cui coordinate $(X,Y)$ soddisfano $Y^2\le X^2-1$. Studiare il limite possibile, poiché $x$ tende all’ infinito, del rapporto $\frac{S^{\prime }}{S}$.

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Quatrieme partie: 3D construction of pseudo-rectangle triangles giving the surface x^2+y^2=z^2+1, and integer points on it.

This part takes place in space referred to a direct orthonormal frame $(O;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ associated with coordinates $(x,y,z)$.

In the plane of equation $z=0$, let $(C)$ be the circle of center $O$ and radius $1$, and let $T$ and $P$ be two distinct points such that the line $(TP)$ is tangent to the circle $(C)$ at $T$. Let $B$ and $C$ be the intersections of the line $(OP)$ with the circle $(C)$, and let $(D)$ be the line perpendicular to the plane of equation $z=0$ passing through $P$.

1. a. Show that there exist two points $A$ and $A^{\prime }$ belonging to the line $(D)$ such that the triangles $ABC$ and $A^{\prime }BC$ are pseudo-rectangle respectively at $A$ and $A^{\prime }$; give a simple construction of these two points. b. Show that the coordinates of these two points satisfy the equality $x^2+y^2=z^2+1$.

2. Let $(H)$ be the set of the points $A$ and $A^{\prime }$ as $T$ and $P$ vary. a. What is the intersection of the set $(H)$ with a plane orthogonal to $\vec{w}$? b. What is the intersection of the set $(H)$ with a plane containing the line $(O;\vec{w})$? c. Show that the set $(H)$ is contained in a union of lines that one will specify.

3. This last question deals with the integer points of the set $(H)$, that is, the elements of $(H)$ whose three coordinates are integers. a. Let $(x,y,z)$ be the triple of coordinates of such a point. Show that $x$ or $y$ is odd. From now on, denote by $\mathcal{S}$ the set of triples $(x,y,z)$ of strictly positive natural integers such that $x$ is odd and $x^2+y^2=z^2+1$. b. Let $d$ be a fixed strictly positive integer. Prove that the set of elements $(x,y,z)$ of $\mathcal{S}$ such that $\gcd (x+1,y+z)=d$ is empty if $d$ is odd, and an infinite set if $d$ is even. c. Let $m$ be an odd natural integer greater than or equal to $3$. How many elements $(x,y,z)$ of $\mathcal{S}$ are there such that $x=m$? Determine these elements when $m=3,5,7,9$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Congruenze, Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quatrieme partie: costruzione 3D di triangoli pseudo rettangolari che danno la superficie x^2+y^2=z^2+1, e punti interi su di essa.

Questa parte si svolge nello spazio indicato in un quadro orthonormale diretto $(O;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ associato alle coordinate $(x,y,z)$.

Nel piano dell’equazione $z=0$, $(C)$ sia il cerchio del centro $O$ e il raggio $1$, e $T$ e $P$ siano due punti distinti in modo tale che la linea $(TP)$ sia tangente al cerchio $(C)$ a $T$. Che $B$ e $C$ siano le intersezioni della linea $(OP)$ con il cerchio $(C)$, e che $(D)$ sia la linea perpendicolare al piano dell’equazione $z=0$ che attraversa $P$.

1. a. Indicare che esistono due punti $A$ e $A^{\prime }$ appartenenti alla linea $(D)$ in modo tale che i triangoli $ABC$ e $A^{\prime }BC$ siano pseudo rettangolari rispettivamente a $A$ e $A^{\prime }$; fornire una semplice costruzione di questi due punti. b. Mostrare che le coordinate di questi due punti soddisfano l’uguaglianza $x^2+y^2=z^2+1$.

2. $(H)$ deve essere l’insieme dei punti $A$ e $A^{\prime }$ in quanto $T$ e $P$ variano. a. Qual è l’intersezione dell’insieme $(H)$ con un piano ortogonale a $\vec{w}$? b. Qual è l’intersezione dell’insieme $(H)$ con un piano contenente la linea $(O;\vec{w})$? c. Mostra che l’insieme $(H)$ è contenuto in un’unione di linee che si specificherà.

3. Quest’ultima domanda riguarda i punti interi dell’insieme $(H)$, cioè gli elementi di $(H)$ le cui tre coordinate sono interi. a. Che $(x,y,z)$ sia il triplo delle coordinate di tale punto. Indicare che $x$ o $y$ è strano. Da ora in poi, indicare con $\mathcal{S}$ l’insieme di triples $(x,y,z)$ di enti interi naturali rigorosamente positivi in modo tale che $x$ sia impar e $x^2+y^2=z^2+1$. b. Che $d$ sia un numero intero rigorosamente positivo fisso. Prova che l’insieme di elementi $(x,y,z)$ di $\mathcal{S}$ in modo tale che $\gcd (x+1,y+z)=d$ sia vuoto se $d$ è pari, e un insieme infinito se $d$ è pari. c. Il $m$ deve essere un intero naturale parziale superiore o uguale a $3$. Quanti elementi $(x,y,z)$ di $\mathcal{S}$ sono tali da $x=m$? Determinare questi elementi quando $m=3,5,7,9$.

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