Concours Général des Lycées 2003 — Matematica

Preliminary questions: a vector identity, concurrency of altitudes (orthocentre), and a characterization of the orthocentre via the circumcentre.

Questions preliminaires.

1. Let $ABC$ be a triangle and $M$ an arbitrary point of the plane. Show that: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{AB}=0.$ Deduce that the three altitudes of triangle $ABC$ are concurrent at a point $H$ called the orthocentre of the triangle.

2. Let $ABC$ be a triangle, $\Omega$ the centre of its circumscribed circle and $H$ the point such that $\overrightarrow{\Omega H}=\overrightarrow{\Omega A}+\overrightarrow{\Omega B}+\overrightarrow{\Omega C}$. Show that $H$ is the orthocentre of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Questioni preliminari: un’identità vettoriale, la concomitanza delle altitudini (ortocentro) e una caratterizzazione dell’ortocentro attraverso il circoncentro.

Domande preliminari.

1. Che $ABC$ sia un triangolo e $M$ un punto arbitrario del piano. Mostrare che: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{AB}=0.$ Deduzione che le tre altitudini del triangolo $ABC$ sono simultanee in un punto $H$ chiamato ortocentro del triangolo.

2. Il $ABC$ è un triangolo, il $\Omega$ è il centro del suo cerchio circoscritto e il $H$ è il punto tale che $\overrightarrow{\Omega H}=\overrightarrow{\Omega A}+\overrightarrow{\Omega B}+\overrightarrow{\Omega C}$. Indicare che $H$ è l’ortocentro del triangolo $ABC$.

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First part: determine orthocentric sets with 3 and 4 elements, study the orthocentric set generated by 4 concyclic points, and find the orthocentre set of a circle and of a disc.

Premiere partie.

1. Determine the orthocentric subsets with 3 elements.

2. Determine the orthocentric subsets with 4 elements.

3. Let $X$ be a set of four points on a circle and $Y=\mathcal{H}(X)$. a. Show that $Y$ is obtained from $X$ by a simple transformation. b. Determine $\mathcal{H}(Y)$.

4. a. Let $\Gamma$ be a circle of strictly positive radius; determine $\mathcal{H}(\Gamma )$. b. Let $D$ be a disc of strictly positive radius; determine $\mathcal{H}(D)$.

Topic: Geometria piana, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prima parte: determinare insieme ortocentrici con 3 e 4 elementi, studiare l’insieme ortocentrico generato da 4 punti conciclici, e trovare l’insieme ortocentrico di un cerchio e di un disco.

Premiere partie.

1. Determinare i sottogruppi ortocentrici con 3 elementi.

2. Determinare i sottogruppi ortocentrici con 4 elementi.

3. $X$ sia un insieme di quattro punti su un cerchio e $Y=\mathcal{H}(X)$. a. Indicare che $Y$ viene ottenuto da $X$ con una semplice trasformazione. b. Determinare $\mathcal{H}(Y)$.

4. a. Il $\Gamma$ deve essere un cerchio di raggio rigorosamente positivo; determinare $\mathcal{H}(\Gamma )$. b. Il disco $D$ deve avere un raggio rigorosamente positivo; determina il $\mathcal{H}(D)$.

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Second part: probabilistic questions on triangles whose vertices are among the $2n$ vertices of a regular polygon inscribed in a circle of radius $R$ centred at $O$ (right triangle probability, acute triangle probability, expectation of squared distance from $O$ to the orthocentre).

Deuxieme partie.

In this part, $R$ is a strictly positive real number, $n$ is an integer at least equal to $2$, and $X$ is the set of the $2n$ vertices of a regular polygon inscribed in the circle of centre $O$ and radius $R$. Consider the set $\mathcal{T}$ of triangles whose vertices belong to $X$. One chooses at random, with equiprobability, an element of $\mathcal{T}$.

1. What is the probability of choosing a right triangle?

2. What is the probability of choosing a triangle whose three angles are acute?

3. Let $L$ be the random variable which to every element of $\mathcal{T}$ associates the square of the distance from $O$ to its orthocentre. Determine, as a function of $n$ and $R$, the expectation of the random variable $L$.

Topic: Probabilità, Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casi e conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Seconda parte: domande probabilistiche su triangoli le cui vertici sono tra le vertici $2n$ di un poligono regolare iscritto in un cerchio di raggio $R$ incentrato su $O$ (probabilità del triangolo retto, probabilità del triangolo acuto, aspettativa di distanza quadrata da $O$ all’ortocentro).

La seconda parte.

In questa parte, $R$ è un numero reale rigorosamente positivo, $n$ è un numero intero almeno uguale a $2$, e $X$ è l’insieme dei vertici $2n$ di un poligono regolare iscritto nel cerchio del centro $O$ e del raggio $R$. Considerate l’insieme $\mathcal{T}$ di triangoli le cui vertici appartengono a $X$. Si sceglie casualmente, con equiprobabilità, un elemento di $\mathcal{T}$.

1. Qual è la probabilità di scegliere un triangolo rettangolo?

2. Qual è la probabilità di scegliere un triangolo i cui tre angoli sono acuti?

3. La variabile casuale $L$ deve associare a ogni elemento di $\mathcal{T}$ il quadrato della distanza da $O$ al suo ortocentro. Determinare, come funzione di $n$ e $R$, l’aspettativa della variabile casuale $L$.

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Third part: coordinates of the orthocentre of a triangle with given coordinates; orthocentric set obtained from a line plus an external point; and properties of an orthocentric set contained in the union of the two coordinate axes.

Troisieme partie.

1. Let $a$, $b$, $c$ be three real numbers such that $a(b-c)\ne 0$, and $A$, $B$, $C$ the points of respective coordinates $(0,a)$, $(b,0)$, $(c,0)$. Compute the coordinates of the orthocentre $D$ of triangle $ABC$.

2. Let $X$ be the set obtained by taking the union of a line $\Delta$ and a point $M$ not belonging to $\Delta$. Determine $\mathcal{H}(X)$. Show that $\mathcal{H}(X)\cup X$ is an orthocentric set.

3. Let $X$ be an orthocentric set contained in the union of the axes $(O,\vec{u})$ and $(O,\vec{v})$ and containing at least three points of $(O,\vec{u})$ distinct from $O$. a. Show that $X$ contains at least three points of $(O,\vec{u})$ with nonzero abscissae of the same sign. b. Show that $X$ contains at least three points of $(O,\vec{u})$ with strictly positive abscissae.

4. a. Determine the finite orthocentric sets, containing at most five points and contained in the union of the axes $(O,\vec{u})$ and $(O,\vec{v})$. b. Let $X$ be an orthocentric set contained in the union of the axes $(O,\vec{u})$ and $(O,\vec{v})$ and containing at least six points. Show that there exist two sequences $(x_n)$ and $(x_n^{\prime })$ of nonzero reals such that, for every integer $n$, the points of coordinates $(x_n,0)$ and $(x_n^{\prime },0)$ belong to $X$, and such that: ${\lim }_{n\to +\infty }{x}_n=+\infty ,{\lim }_{n\to +\infty }{x}_n^{\prime }=0.$ Can an orthocentric set contained in the union of the axes $(O,\vec{u})$ and $(O,\vec{v})$ and containing at least six points be finite?

Topic: Geometria analitica, Insiemi e funzioni, Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework, Estremalità, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Terza parte: coordinate dell’ortocentro di un triangolo con date coordinate; insieme ortocentrico ottenuto da una linea più un punto esterno; e proprietà di un insieme ortocentrico contenuto nell’unione dei due assi di coordinate.

La terza parte.

1. $a$, $b$, $c$ siano tre numeri reali quali $a(b-c)\ne 0$, $A$, $B$, $C$ i punti delle rispettive coordinate $(0,a)$, $(b,0)$, $(c,0)$. Calcolare le coordinate dell’ortocentro $D$ del triangolo $ABC$.

2. Si deve $X$ essere l’insieme ottenuto prendendo l’unione di una riga $\Delta$ e di un punto $M$ non appartenente a $\Delta$. Determinare $\mathcal{H}(X)$. Mostra che $\mathcal{H}(X)\cup X$ è un insieme ortocentrico.

3. Il $X$ deve essere un insieme ortocentrico contenuto nell’unione degli assi $(O,\vec{u})$ e $(O,\vec{v})$ e contenente almeno tre punti di $(O,\vec{u})$ distinti da $O$. a. Indicare che $X$ contiene almeno tre punti di $(O,\vec{u})$ con abscisse non zero dello stesso segno. b. Indicare che $X$ contiene almeno tre punti di $(O,\vec{u})$ con abscisse rigorosamente positive.

4. a. Determinare le serie ortocentriche finite, contenenti al massimo cinque punti e contenute nell’unione degli assi $(O,\vec{u})$ e $(O,\vec{v})$. b. Il $X$ deve essere un insieme ortocentrico contenuto nell’unione degli assi $(O,\vec{u})$ e $(O,\vec{v})$ e contenente almeno sei punti. Mostrare che esistono due sequenze $(x_n)$ e $(x_n^{\prime })$ di numeri reali non zero in modo tale che, per ogni numero intero $n$, i punti delle coordinate $(x_n,0)$ e $(x_n^{\prime },0)$ appartengano a $X$, e in modo tale che: ${\lim }_{n\to +\infty }{x}_n=+\infty ,{\lim }_{n\to +\infty }{x}_n^{\prime }=0.$ Può essere finito un insieme ortocentrico contenuto nell’unione degli assi $(O,\vec{u})$ e $(O,\vec{v})$ e contenente almeno sei punti?

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Fourth part: construction of remarkable orthocentric sets on the hyperbola $xy=k$; orthocentre conditions for points on the hyperbola; a quadratic with irrational roots and a similitude $z\mapsto (1-ri)z$; and that the integer-coordinate points of $X$ form an infinite orthocentric set.

Quatrieme partie.

The objective of this part is the construction of remarkable orthocentric sets.

1. Let $k$ be a nonzero real and let $Y$ be the hyperbola of equation $xy=k$. a. Let $A$, $B$, $C$, $D$ be four distinct points of $Y$, with respective abscissae $a$, $b$, $c$, $d$. Show that $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CD}$ are orthogonal if and only if $abcd=-k^2$. b. Let $A$, $B$, $C$ be three distinct points of $Y$, with respective abscissae $a$, $b$, $c$. Determine the orthocentre of $ABC$. c. Show that $Y$ is orthocentric.

In the whole of the remainder of the fourth part, one considers a nonzero relative integer $q$ and one denotes by $X$ the set of points of equation $x^2+qxy-y^2=1$.

2. a. Show that the equation $t^2-qt-1$ has two distinct real roots. Show that these roots are irrational.

In the whole of the remainder of the fourth part, one denotes by $r$ and $r^{\prime }$ these two roots and by $s$ the similitude defined by the complex representation $z\mapsto (1-ri)z$. b. Show that $s(X)$ is a hyperbola, of equation $xy=k$, where $k$ is a real number to be determined. Deduce that $X$ is an orthocentric set.

3. Let $G$ be the set of points of $X$ with integer coordinates and $\Gamma$ the set of abscissae of the elements of $s(G)$. a. Verify that $\Gamma$ is the set of real numbers of the form $x+ry$, where $x$ and $y$ are two integers such that $(x+ry)(x+r^{\prime }y)=1$. b. Show that $-1\in \Gamma$; show that $r^2\in \Gamma$. c. Show that the product of two elements of $\Gamma$ is an element of $\Gamma$ and that the inverse of an element of $\Gamma$ is an element of $\Gamma$. Show that $\Gamma$ possesses infinitely many elements.

4. Deduce from the above that the set $G$ of integer-coordinate points of $X$ is an infinite orthocentric set.

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri, Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Coordinate, Fattorizzazione, Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quarta parte: costruzione di notevoli insieme ortocentrici sull’iperbola $xy=k$; condizioni ortocentriche per i punti sull’iperbola; un quadratico con radici irrazionali e similitudine $z\mapsto (1-ri)z$; e che i punti di coordinate interi di $X$ formino un insieme ortocentrico infinito.

Quarta parte.

L’obiettivo di questa parte è la costruzione di notevoli set ortocentrici.

1. Lasciate che $k$ sia un reale non-zero e lasciate che $Y$ sia l’iperbola dell’equazione $xy=k$. a. I punti $A$, $B$, $C$, $D$ siano quattro punti distinti di $Y$, con rispettive abscisse $a$, $b$, $c$ e $d$. Indicare che $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ sono ortogonali se e solo se $abcd=-k^2$. b. I punti $A$, $B$ e $C$ siano tre punti distinti di $Y$, con rispettive abscisse $a$, $b$ e $c$. Determinare l’ortocentro di $ABC$. c. Indicare che $Y$ è ortocentrico.

Nel complesso del resto della quarta parte si considera un intero relativo non zero $q$ e si indica con $X$ l’insieme dei punti dell’equazione $x^2+qxy-y^2=1$.

2. a. Mostra che l’equazione $t^2-qt-1$ ha due radici reali distinte. Mostrate che queste radici sono irrazionali.

In tutto il resto della quarta parte, si indica con $r$ e $r^{\prime }$ queste due radici e con $s$ la somiglianza definita dalla rappresentazione complessa $z\mapsto (1-ri)z$. b. Indicare che $s(X)$ è un iperbola, dell’equazione $xy=k$, dove $k$ è un numero reale da determinare. Deduci che $X$ è un insieme ortocentrico.

3. $G$ sia l’insieme dei punti di $X$ con coordinate interi e $\Gamma$ l’insieme degli abscissi degli elementi di $s(G)$. a. Verificare che $\Gamma$ sia l’insieme dei numeri reali del modulo $x+ry$, dove $x$ e $y$ sono due integri tali da $(x+ry)(x+r^{\prime }y)=1$. b. Indicare che $-1\in \Gamma$; indicare che $r^2\in \Gamma$. c. Indicare che il prodotto di due elementi di $\Gamma$ è un elemento di $\Gamma$ e che l’inverso di un elemento di $\Gamma$ è un elemento di $\Gamma$. Mostrare che $\Gamma$ possiede infiniti elementi.

4. Da quanto precede si deduce che l’insieme $G$ dei punti di coordinate interi di $X$ è un insieme ortocentrico infinito.

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Fifth part: an iteration $X_{n+1}=\mathcal{H}(X_n)$ starting from four points in general position, using a similitude result relating the hyperbola $xy=1$ and the degenerate locus $xy=0$; show the minimal period $m$ is $1$ or $2$ and characterize the initial sets achieving each.

Cinquieme partie.

Denote by $Y_1$ the hyperbola of equation $xy=1$ and by $Y_0$ the set of equation $xy=0$, that is the union of the axes $(O,\vec{u})$ and $(O,\vec{v})$.

One admits the following result: “Given four points $A$, $B$, $C$ and $D$ of the plane, there exists a similitude $s$ such that $s(A)$, $s(B)$, $s(C)$ and $s(D)$ all belong to $Y_1$, or else all belong to $Y_0$.”

Let $A_0$, $B_0$, $C_0$ and $D_0$ be four points, three by three non-collinear, and let $X_0=\{A_0,B_0,C_0,D_0\}$. One defines by recurrence $X_{n+1}=\mathcal{H}(X_n)$ for every natural integer $n$. One supposes that there exists a strictly positive integer $n$ such that $X_n=X_0$ and one denotes by $m$ the smallest integer having this property.

1. Show that $m=1$ or $m=2$.

2. Determine the sets $X_0$ such that $m=1$, then those such that $m=2$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Invarianti, Coordinate, Casework Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quinta parte: una iterazione $X_{n+1}=\mathcal{H}(X_n)$ partendo da quattro punti in posizione generale, utilizzando un risultato di somiglianza che relaziona l’iperbola $xy=1$ e il locus degenerato $xy=0$; mostrare il periodo minimo $m$ è $1$ o $2$ e caratterizzare gli insiemi iniziali che raggiungono ciascuno di essi.

Quinta parte.

Nota con $Y_1$ l’iperbola dell’equazione $xy=1$ e con $Y_0$ l’insieme dell’equazione $xy=0$, cioè l’unione degli assi $(O,\vec{u})$ e $(O,\vec{v})$.

Uno ammette il seguente risultato: “Dati i quattro punti $A$, $B$, $C$ e $D$ del piano, esiste una similitudine $s$ tale che $s(A)$, $s(B)$, $s(C)$ e $s(D)$ appartengono tutti a $Y_1$, o altrimenti tutti appartengono a $Y_0$”.

I punti $A_0$, $B_0$, $C_0$ e $D_0$ siano quattro punti, tre per tre non collineari e $X_0=\{A_0,B_0,C_0,D_0\}$. Uno definisce con ricorrenza $X_{n+1}=\mathcal{H}(X_n)$ per ogni intero naturale $n$. Si suppone che esista un intero rigorosamente positivo $n$ tale che $X_n=X_0$ e si denota con $m$ il numero intero più piccolo che abbia questa proprietà.

1. Indicare che $m=1$ o $m=2$.

2. Determinare le serie $X_0$ tali da $m=1$, poi quelle tali da $m=2$.

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