Concours Général des Lycées 2004 — Matematica

A family of equal mutually tangent circles aligned along a half-line; tangent line cuts the circles, chord lengths and a collinearity

A family of tangent circles.

In the plane, let $A$ be a point and $\Delta$ a half-line with origin $A$.

1. We consider three circles ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ of the same radius $r$, with centers respectively $O_1$, $O_2$, $O_3$, distinct and aligned in this order on the half-line $\Delta$. The circle ${\Gamma }_1$ passes through $A$ and the circle ${\Gamma }_2$ is tangent to ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_3$. The diameters of the circles ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ on the half-line $\Delta$ are denoted respectively $[A{A}_1]$, $[A_1{A}_2]$ and $[A_2{A}_3]$.

Through the point $A$, draw a line $(AD)$ tangent at $D$ to the circle ${\Gamma }_3$.

a. Show that the line $(AD)$ cuts the circle ${\Gamma }_2$ at two distinct points $B$ and $C$. Calculate the length $BC$. b. Show that the lines $(B{A}_1)$ and $(C{A}_2)$ are secant; let $P$ be their point of intersection. Show likewise that the lines $(C{A}_1)$ and $(B{A}_2)$ are secant; let $Q$ be their point of intersection. What can be said about the direction of the line $(PQ)$?

2. More generally, we consider an integer $n$ strictly greater than $1$ and $n$ circles ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,\dots ,{\Gamma }_n$ of the same radius $r$, with centers respectively $O_1,O_2,\dots ,O_n$, distinct and aligned in this order on the half-line $\Delta$. The circle ${\Gamma }_1$ passes through $A$ and, for every $k$ with $1\le k\le n-1$, the circle ${\Gamma }_{k+1}$ is tangent to the circle ${\Gamma }_k$. The diameters of the circles ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,\dots ,{\Gamma }_n$ on the line $\Delta$ are denoted respectively $[A{A}_1],[A_1{A}_2],\dots ,[A_{n-1}{A}_n]$.

Through the point $A$, draw a line $(AD)$ tangent at $D$ to the circle ${\Gamma }_n$. Show that, for every $k$ with $1\le k\le n-1$, this line cuts the circle ${\Gamma }_k$ at two distinct points $B_k$ and $C_k$ (note that $B_1=A$).

a. Calculate the length $B_k{C}_k$ as a function of $n$, of $k$ and of $r$.

In the whole rest of the problem, one takes $r=1$. One sets $L(n,k)=B_k{C}_k$.

b. Show that, in order for $L(n,k)$ to be rational, it is necessary and sufficient that the following condition be satisfied: $(C_1)$: there exists $a\in \mathbb{N}$ such that $n(n-1)-k(k-1)=4a^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Una famiglia di cerchi reciprocamente tangenti uguali allineati lungo una semilinea; la linea tangente taglia i cerchi, le lunghezze degli accordi e una collinearità

Una famiglia di cerchi tangenti.

Nel piano, $A$ deve essere un punto e $\Delta$ una mezza linea con origine $A$.

1. Consideriamo tre cerchi ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ dello stesso raggio $r$, con i centri rispettivamente $O_1$, $O_2$, $O_3$, distinti e allineati in questo ordine sulla metà linea $\Delta$. Il cerchio ${\Gamma }_1$ passa attraverso $A$ e il cerchio ${\Gamma }_2$ è tangente a ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_3$. I diametri dei cerchi ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ sulla semilinea $\Delta$ sono indicati rispettivamente $[A{A}_1]$, $[A_1{A}_2]$ e $[A_2{A}_3]$.

Attraverso il punto $A$, disegnare una linea $(AD)$ tangente a $D$ al cerchio ${\Gamma }_3$.

a. Indicare che la linea $(AD)$ taglia il cerchio ${\Gamma }_2$ in due punti distinti $B$ e $C$. Calcolare la lunghezza $BC$. b. Indicare che le linee $(B{A}_1)$ e $(C{A}_2)$ sono secanti; lasciare che $P$ sia il loro punto di intersezione. Indicare inoltre che le linee $(C{A}_1)$ e $(B{A}_2)$ sono sezionate; lasciate che $Q$ sia il loro punto di intersezione. Cosa si può dire della direzione della linea $(PQ)$?

2. Più in generale, consideriamo un numero intero $n$ strettamente più grande di $1$ e $n$ cerchi ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,\dots ,{\Gamma }_n$ dello stesso raggio $r$, con centri rispettivamente $O_1,O_2,\dots ,O_n$, distinti e allineati in questo ordine sulla semilinea $\Delta$. Il cerchio ${\Gamma }_1$ passa attraverso $A$ e, per ogni $k$ con $1\le k\le n-1$, il cerchio ${\Gamma }_{k+1}$ è tangente al cerchio ${\Gamma }_k$. I diametri dei cerchi ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,\dots ,{\Gamma }_n$ sulla linea $\Delta$ sono indicati rispettivamente $[A{A}_1],[A_1{A}_2],\dots ,[A_{n-1}{A}_n]$.

Attraverso il punto $A$, disegnare una linea $(AD)$ tangente a $D$ al cerchio ${\Gamma }_n$. Indicare che, per ogni $k$ con $1\le k\le n-1$, questa linea taglia il cerchio ${\Gamma }_k$ in due punti distinti $B_k$ e $C_k$ (nota che $B_1=A$).

a. Calcolare la lunghezza $B_k{C}_k$ come funzione di $n$, $k$ e $r$.

Nel resto del problema, si prende $r=1$. Un set $L(n,k)=B_k{C}_k$.

b. Mostrare che, per rendere razionale il $L(n,k)$, è necessario e sufficiente soddisfare la seguente condizione: $(C_1)$: esiste un $a\in \mathbb{N}$ tale che $n(n-1)-k(k-1)=4a^2$.

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Study of the surface z^2 = x(x-1) - y(y-1): plane sections, axis of symmetry, nature of the surface, and rational/integer condition

Study of a surface.

The space is referred to an orthonormal frame $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. The coordinates (respectively the abscissa, the ordinate and the cote) of a point are denoted $x$, $y$ and $z$. We consider $\Sigma$ the set of points $M$ of coordinates $(x,y,z)$ such that: $z^2=x(x-1)-y(y-1).$

1. Let $\lambda$ be a real number and $P_{\lambda }$ the plane of equation $x=\lambda$. Show that the intersection of $\Sigma$ with $P_{\lambda }$ is a circle $C_{\lambda }$ whose center one determines, as a function of $\lambda$, the centre and the radius.

2. Let $I$ be the point of coordinates $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$ and let $(d)$ be the line passing through $I$ with director vector $\vec{ı}$. Show that the line $(d)$ is an axis of symmetry of $\Sigma$. Determine and draw the intersection of $\Sigma$ with the plane of equation $y=\frac{1}{2}$.

3. Recognize the nature of the set $\Sigma$.

4. Let $n$ be an integer strictly greater than $2$ and $k$ an integer such that $1\le k\le n-1$. Show that $L(n,k)$ is rational if, and only if, the points of $\Sigma$ of abscissa $n$ and ordinate $k$ have an integer cote.

Topic: Geometria analitica, Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Studio della superficie z^2 = x(x-1) - y(y-1): sezioni piane, asse di simmetria, natura della superficie e condizione razionale/intera

Studio di una superficie.

Lo spazio è indicato in un quadro ortonormale $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. Le coordinate (rispettivamente l’abcissa, l’ordinato e il cote) di un punto sono indicate come $x$, $y$ e $z$. Consideriamo $\Sigma$ l’insieme dei punti $M$ delle coordinate $(x,y,z)$ in modo tale che: $z^2=x(x-1)-y(y-1).$

1. Che $\lambda$ sia un numero reale e $P_{\lambda }$ il piano dell’equazione $x=\lambda$. Indicare che l’intersezione di $\Sigma$ con $P_{\lambda }$ è un cerchio $C_{\lambda }$ il cui centro si determina, come funzione di $\lambda$, il centro e il raggio.

2. Let $I$ essere il punto delle coordinate $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$ e let $(d)$ essere la linea che attraversa $I$ con il vettore di direzione $\vec{ı}$. Indicare che la linea $(d)$ è un asse di simmetria di $\Sigma$. Determinare e disegnare l’intersezione di $\Sigma$ con il piano dell’equazione $y=\frac{1}{2}$.

3. Riconoscere la natura del set $\Sigma$.

4. Se $n$ è un numero intero strettamente superiore a $2$ e $k$ è un numero intero tale che $1\le k\le n-1$. Indicare che $L(n,k)$ è razionale se, e solo se, i punti di $\Sigma$ dell’abcissa $n$ e ordinate $k$ hanno un numero intero.

src_cgen_2004__Q02

Study of the limit of lambda_n (proportion of AD inside the circles): integral computations, inequalities, and convergence

Study of a limit.

Starting from the configuration studied in part 1, question 2, one defines ${\lambda }_n$ as the proportion of the segment $[AD]$ situated inside the circles $({\Gamma }_k)$, for $1\le k\le n-1$. Thus, one has ${\lambda }_n=\frac{1}{AD}{\sum }_{k=1}^{n-1}{B}_k{C}_k$.

1. Calculation of integrals. One defines the function $f$, from $[0,1]$ into $\mathbb{R}$, by: for every $x\in [0,1]$, $f(x)={\int }_0^x\sqrt{1-t^2}dt$ then the function $F$, from $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ into $\mathbb{R}$, by: for every $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $F(x)=f(\sin x)$. a. Show that the function $F$ is differentiable and calculate its derivative, denoted $F^{\prime }$. b. Show that, for every $x$ in $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $F(x)={\int }_0^x{\cos }^{2}tdt$. c. Without seeking to calculate the integrals, demonstrate the equality ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2(t)dt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2(t)dt$ and deduce the value common to these two integrals. d. Deduce that ${\int }_0^1\sqrt{1-t^2}dt=\frac{\pi }{4}$; interpret this result geometrically.

2. a. Show that for every $n\ge 2$, ${\lambda }_n=\frac{2}{2n-1}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{1-\frac{k}{n}\cdot \frac{k-1}{n-1}}$. b. Show that if $n\ge 2$ and $1\le k\le n$, one has: ${\left(\frac{k-1}{n}\right)}^2\le \frac{k}{n}\cdot \frac{k-1}{n-1}\le {\left(\frac{k}{n}\right)}^2$. c. One sets $I_{n,k}={\int }_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\sqrt{1-t^2}dt$. Show that for suitable values of $n$ and $k$, which one will specify, one has: $n{I}_{n,k+1}\le \sqrt{1-\frac{k-1}{n-1}\cdot \frac{k}{n}}\le n{I}_{n,k-1}$.

3. Demonstrate, from the results of questions 1 and 2 above, that the sequence $({\lambda }_n)$ is convergent and calculate its limit.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Studio del limite di lambda_n (proporzione di AD all’interno dei cerchi): calcoli integrali, disuguaglianze e convergenza

Lo studio di un limite.

A partire dalla configurazione studiata nella parte 1, domanda 2, si definisce ${\lambda }_n$ come la proporzione del segmento $[AD]$ situato all’interno dei cerchi $({\Gamma }_k)$, per $1\le k\le n-1$. Quindi, uno ha ${\lambda }_n=\frac{1}{AD}{\sum }_{k=1}^{n-1}{B}_k{C}_k$.

1. Calcolo delle integrali. Si definisce la funzione $f$, da $[0,1]$ a $\mathbb{R}$, da: per ogni $x\in [0,1]$, $f(x)={\int }_0^x\sqrt{1-t^2}dt$, quindi la funzione $F$, da $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ a $\mathbb{R}$, da: per ogni $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $F(x)=f(\sin x)$. a. Indicare che la funzione $F$ è differenziabile e calcolare la sua derivata, denominata $F^{\prime }$. b. Indicare che, per ogni $x$ in $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $F(x)={\int }_0^x{\cos }^{2}tdt$. c. Senza cercare di calcolare gli integrali, dimostrare l’uguaglianza ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2(t)dt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2(t)dt$ e dedurre il valore comune a questi due integrali. d. Deduci che ${\int }_0^1\sqrt{1-t^2}dt=\frac{\pi }{4}$; interpreta questo risultato geometricamente.

2. a. Indicare che per ogni $n\ge 2$, ${\lambda }_n=\frac{2}{2n-1}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{1-\frac{k}{n}\cdot \frac{k-1}{n-1}}$. b. Indicare che se $n\ge 2$ e $1\le k\le n$, uno ha: ${\left(\frac{k-1}{n}\right)}^2\le \frac{k}{n}\cdot \frac{k-1}{n-1}\le {\left(\frac{k}{n}\right)}^2$. c. Un set $I_{n,k}={\int }_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\sqrt{1-t^2}dt$. Indicare che per i valori appropriati di $n$ e $k$, che si specificherà, si ha: $n{I}_{n,k+1}\le \sqrt{1-\frac{k-1}{n-1}\cdot \frac{k}{n}}\le n{I}_{n,k-1}$.

3. Dimostrare, a partire dai risultati delle domande 1 e 2, che la sequenza $({\lambda }_n)$ è convergente e calcolare il suo limite.

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Study of condition (C_1): translating it via p=2n-1, q=2k-1 into p^2-q^2=16a^2 and characterizing solutions through sums of two squares

Study of the condition $(C_1)$.

We consider two integers $n$ and $k$ such that $1\le k\le n-1$.

1. One sets $p=2n-1$ and $q=2k-1$. Show that the couple $(n,k)$ verifies the condition $(C_1)$ if, and only if, $(p,q)$ is a couple of odd natural integers such that $q<p$, verifying the following condition $(C_2)$: $(C_2)$: there exists $a\in \mathbb{N}$ such that $p^2-q^2=16a^2$.

2. Let $(p,q)$ be a couple of natural integers, such that there exist integers $u>0$ and $v>0$, of different parities, for which $p=u^2+v^2$ and $q=u^2-v^2$. Show that $(p,q)$ is a couple of odd natural integers such that $q<p$ verifying the condition $(C_2)$.

3. We consider a couple $(p,q)$ of odd natural integers, coprime, such that $q<p$ and verifying the condition $(C_2)$. Show that there exist two natural integers $u$ and $v$ of different parities such that $p=u^2+v^2$ and $q=u^2-v^2$. Calculate then, as a function of $u$ and $v$, the value of the integer $a$ that intervenes in the condition $(C_2)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Studiare la condizione (C_1): tradurla attraverso p=2n-1, q=2k-1 in p^2-q^2=16a^2 e caratterizzare le soluzioni attraverso somme di due quadrati

Studio della condizione $(C_1)$.

Consideriamo due integri $n$ e $k$ come $1\le k\le n-1$.

1. Un insieme $p=2n-1$ e $q=2k-1$. Mostrare che la coppia $(n,k)$ verifica la condizione $(C_1)$ se, e solo se, $(p,q)$ sono un paio di integri naturali dispari come $q<p$, verificando la seguente condizione $(C_2)$: $(C_2)$: esiste $a\in \mathbb{N}$ come $p^2-q^2=16a^2$.

2. Lasciate che $(p,q)$ siano un paio di integri naturali, in modo tale che esistano integri $u>0$ e $v>0$, di parità diverse, per cui $p=u^2+v^2$ e $q=u^2-v^2$. Mostrare che $(p,q)$ è un paio di integri naturali dispari come $q<p$ verificando la condizione $(C_2)$.

3. Consideriamo un paio di $(p,q)$ di integri naturali dispari, coprimo, come $q<p$ e verificando la condizione $(C_2)$. Mostrare che esistono due integri naturali $u$ e $v$ di parità diverse come $p=u^2+v^2$ e $q=u^2-v^2$. Calcolare quindi, come funzione di $u$ e $v$, il valore dell’intero numero $a$ che interviene nella condizione $(C_2)$.

src_cgen_2004__Q04

Which primes are sums of two squares: a finite set S of triplets, an iterative descent procedure, a fixed point, and an explicit decomposition algorithm

Prime number sum of two squares.

We propose in this part to determine all the prime numbers that can be written as a sum of two squares of natural integers. We will designate more simply by prime number sum of two squares such a number.

1. a. Show that if $n$ is a natural integer odd sum of two squares, then it is congruent to $1$ modulo $4$. b. Write $2$ and $5$ as a sum of two squares.

In the rest of part 5, $p$ designates a prime number congruent to $1$ modulo $4$ and strictly greater than $5$. One writes it under the form $p=4m+1$ (with $m>2$). One defines $S=\{(x,y,z)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\times \mathbb{Z}\mid 4xy+z^2=p\}$.

2. a. Show that $S$ is a finite set, non-empty, and that the intersection of $S$ with the set of equation $x=y+z$ is empty. b. To every triplet $(x,y,z)$ of $S$, one associates the triplet $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ defined by: $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=\{\begin{array}{ll}(x-y-z,y,2y+z)& \text{if }x>y+z\\ (y+z-x,x,2x-z)& \text{if }x<y+z\end{array}$ Show that for every $(x,y,z)$ of $S$, $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ is also an element of $S$.

We consider henceforth the sequence of triplets in $S$ defined by iterating the preceding procedure in the following manner:

• One starts from the triplet $(x_0,y_0,z_0)=(m,1,1)$;

• $(x_k,y_k,z_k)$ having been defined in $S$, one takes $x_{k+1}=x_k^{\prime }$, $y_{k+1}=y_k^{\prime }$, $z_{k+1}=z_k^{\prime }$.

3. a. Study of a particular case. In this question only, one takes $m=10$. Determine the triplets $(x_k,y_k,z_k)$ for $0\le k\le 11$. b. Show that if $(a,b,c)=(x_k,y_k,z_k)$, with $k\ge 2$, then the triplet $(x_{k-1},y_{k-1},z_{k-1})$ is: $\{\begin{array}{ll}(a-b+c,b,c-2b)& \text{if }a-4b+2c>0\\ (b,a-b+c,2b-c)& \text{if }a-4b+2c<0\end{array}$ Show that this result is still true for $k=1$. c. Show that there exist two distinct integers $k$ and $\ell$ such that $(x_k,y_k,z_k)=(x_{\ell },y_{\ell },z_{\ell })$. Deduce that there exists an integer $n$ strictly positive such that $(x_n,y_n,z_n)=(m,1,1)$.

One henceforth denotes $n$ the smallest integer strictly positive such that: $(x_n,y_n,z_n)=(m,1,1)$.

4. a. Calculate $(x_{n-1},y_{n-1},z_{n-1})$ and $(x_{n-2},y_{n-2},z_{n-2})$. b. Show that, for every integer $j$ such that $1\le j\le n$: $(x_{j-1},y_{j-1},z_{j-1})=\{\begin{array}{ll}(x_{n-j},y_{n-j},z_{n-j})& \text{if }{x}_{j-1}>y_{j-1}+z_{j-1}\\ (y_{n-j},x_{n-j},z_{n-j})& \text{if }{x}_{j-1}<y_{j-1}+z_{j-1}\end{array}$ c. Show that $n$ is odd. One sets henceforth $n=2r+1$. d. Show that $x_r=y_r$. Deduce that there exists a decomposition of $p$ as a sum of two squares.

5. a. Deduce from the preceding questions an algorithm allowing one to decompose $p$ as a sum of two squares. b. Give the smallest prime number greater than $40$ that is a sum of two squares and, with the help of this algorithm, specify a decomposition of it (one will indicate the triplets calculated at the different steps of the iteration).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Ricorsione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Che prime sono somme di due quadrati: un insieme finito di triplici S, una procedura di discesa iterativa, un punto fisso e un algoritmo di decomposizione esplicito

Numero primo somma di due quadrati.

Proponiamo in questa parte di determinare tutti i numeri primi che possono essere scritti come la somma di due quadrati di interi naturali. Indicheremo più semplicemente con la somma di un numero primo di due quadrati un tale numero.

1. a. Mostrare che se $n$ è una somma impar di due quadrati, allora è congruente con $1$ modulo $4$. b. Scrivere $2$ e $5$ come somma di due quadrati.

Nel resto della parte 5, $p$ designa un numero primo congruente al modulo $1$ $4$ e strettamente superiore a $5$. Si scrive sotto la forma $p=4m+1$ (con $m>2$). Uno definisce $S=\{(x,y,z)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\times \mathbb{Z}\mid 4xy+z^2=p\}$.

2. a. Indicare che $S$ è un insieme finito, non vuoto, e che l’intersezione di $S$ con l’insieme dell’equazione $x=y+z$ è vuota. b. Per ogni triplet $(x,y,z)$ di $S$, si associa il triplet $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ definito da: $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=\{\begin{array}{ll}(x-y-z,y,2y+z)& \text{if }x>y+z\\ (y+z-x,x,2x-z)& \text{if }x<y+z\end{array}$ Mostra che per ogni $(x,y,z)$ di $S$, $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ è anche un elemento di $S$.

Da ora in poi consideriamo la sequenza dei triplici in $S$ definita iterando la procedura precedente nel modo seguente: - Si inizia dal triplice $(x_0,y_0,z_0)=(m,1,1)$; - $(x_k,y_k,z_k)$ essendo stato definito in $S$, si prende $x_{k+1}=x_k^{\prime }$, $y_{k+1}=y_k^{\prime }$, $z_{k+1}=z_k^{\prime }$.

3. a. Studio di un caso particolare. Solo in questa domanda si prende $m=10$. Determinare i triplici $(x_k,y_k,z_k)$ per $0\le k\le 11$. b. Indicare che se $(a,b,c)=(x_k,y_k,z_k)$, con $k\ge 2$, il triplet $(x_{k-1},y_{k-1},z_{k-1})$ è: $\{\begin{array}{ll}(a-b+c,b,c-2b)& \text{if }a-4b+2c>0\\ (b,a-b+c,2b-c)& \text{if }a-4b+2c<0\end{array}$ Indicare che questo risultato è ancora valido per $k=1$. c. Indicare che esistono due numeri interi distinti $k$ e $\ell$ in modo tale che $(x_k,y_k,z_k)=(x_{\ell },y_{\ell },z_{\ell })$. Riduzione che esista un numero intero $n$ strettamente positivo tale che $(x_n,y_n,z_n)=(m,1,1)$.

Una di queste indica $n$ il numero intero più piccolo strettamente positivo tale che: $(x_n,y_n,z_n)=(m,1,1)$.

4. a. Calcolare $(x_{n-1},y_{n-1},z_{n-1})$ e $(x_{n-2},y_{n-2},z_{n-2})$. b. Indicare che, per ogni numero intero $j$ tale che $1\le j\le n$: $(x_{j-1},y_{j-1},z_{j-1})=\{\begin{array}{ll}(x_{n-j},y_{n-j},z_{n-j})& \text{if }{x}_{j-1}>y_{j-1}+z_{j-1}\\ (y_{n-j},x_{n-j},z_{n-j})& \text{if }{x}_{j-1}<y_{j-1}+z_{j-1}\end{array}$ c. Mostrare che $n$ è strano. Un set da ora in poi $n=2r+1$. d. Mostra che $x_r=y_r$. Deduci che esiste una decomposizione di $p$ come somma di due quadrati.

5. a. Deduci dalle domande precedenti un algoritmo che consente di decomporre $p$ come somma di due quadrati. b. Date il numero primo più piccolo superiore a $40$ che è la somma di due quadrati e, con l’aiuto di questo algoritmo, specificate una sua decomposizione (indicheremo i triplici calcolati ai diversi passaggi dell’iterazione).

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Return to the initial problem: product of sums of two squares, induction that every prime dividing n^2+1 is a sum of two squares, infinitude, and rationality of L(n,k)

Return to the initial problem.

1. Let $n$ and $m$ be two natural integers sum of two squares, $n=a^2+b^2$, $m=c^2+d^2$. By introducing the complex numbers $a+ib$ and $c+id$ and by considering $n=|a+ib{|}^2$ and $m=|c+id{|}^2$, show that the product $mn$ is an integer sum of two squares and give explicitly a decomposition of it as a function of $a$, $b$, $c$ and $d$.

2. We propose to demonstrate, for every integer $n$ strictly positive, the proposition $\mathcal{P}(n)$ following: $\mathcal{P}(n)$: “every prime number that divides $n^2+1$ is a sum of two squares”. For this, one proceeds by recurrence on $n$. a. Show that $\mathcal{P}(1)$, $\mathcal{P}(2)$ and $\mathcal{P}(3)$ are true. b. Let $n$ be an integer strictly greater than $1$. One supposes the proposition $\mathcal{P}(j)$ true for every integer $j$ such that $1\le j\le n-1$ and one considers a prime number $p$ that divides $n^2+1$. i. Show that $p$ is different from $n$. ii. Suppose $p<n$. Show that $p$ divides $(n-p{)}^2+1$. iii. Suppose $p>n$ and $p<n^2+1$. Show that the other prime divisors of $n^2+1$ are strictly less than $n$. Deduce, by discussing according to the parity of $n$, that $p$ is congruent to $1$ modulo $4$. iv. Show that $p$ is a sum of two squares. c. Conclude.

3. a. For $s$ an integer greater than or equal to $2$, one denotes $p_s$ the smallest prime divisor of the number $(s!{)}^2+1$. Show that $p_s>s$ and that $p_s$ is a sum of two squares. b. Deduce that there exists an infinity of prime numbers sum of two squares.

4. a. Show that there exists an infinity of couples of integers $(n,k)$ with $1\le k<n$ such that $L(n,k)$ is rational. b. Determine an integer $n$ such that there exist several values of $k$ for which $L(n,k)$ is rational.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ritorno al problema iniziale: prodotto delle somme di due quadrati, induzione che ogni divisore primo n^2+1 è la somma di due quadrati, infinità, e razionalità di L(n,k) *

Torniamo al problema iniziale.

1. $n$ e $m$ siano due numeri interi naturali somma di due quadrati, $n=a^2+b^2$, $m=c^2+d^2$. Introducendo i numeri complessi $a+ib$ e $c+id$ e considerando $n=|a+ib{|}^2$ e $m=|c+id{|}^2$, dimostrare che il prodotto $mn$ è una somma di due quadrati e proporne esplicitamente una decomposizione come funzione di $a$, $b$, $c$ e $d$.

2. Proponiamo di dimostrare, per ogni intero $n$ strettamente positivo, la seguente proposizione $\mathcal{P}(n)$: $\mathcal{P}(n)$: “ogni numero primo che divide $n^2+1$ è la somma di due quadrati”. Per questo, si procede con ricorrenza su $n$. a. Indicare che $\mathcal{P}(1)$, $\mathcal{P}(2)$ e $\mathcal{P}(3)$ sono veri. b. Il $n$ deve essere un numero intero strettamente superiore a $1$. Si suppone che la proposizione $\mathcal{P}(j)$ sia vera per ogni numero intero $j$ in modo tale che $1\le j\le n-1$ e si considera un numero primo $p$ che divide $n^2+1$. i. Indicare che $p$ è diverso da $n$. ii. Supponiamo $p<n$. Indicare che $p$ divide $(n-p{)}^2+1$. iii. Supponiamo $p>n$ e $p<n^2+1$. Indicare che gli altri primi divisori di $n^2+1$ sono strettamente inferiori a $n$. Riduzione, discutendo secondo la parità di $n$, che $p$ è congruente a $1$ modulo $4$. iv. Mostra che $p$ è la somma di due quadrati. c. Conclusione.

3. a. Per $s$ un numero intero maggiore o uguale a $2$, si indica $p_s$ il più piccolo divisore primo del numero $(s!{)}^2+1$. Mostrare che $p_s>s$ e $p_s$ sono la somma di due quadrati. b. Deduci che esiste un infinito di numeri primi somma di due quadrati.

4. a. Mostrare che esiste un’infinità di coppie di integri $(n,k)$ con $1\le k<n$ tale che $L(n,k)$ sia razionale. b. Determinare un numero intero $n$ in modo tale che esistano diversi valori di $k$ per i quali $L(n,k)$ è razionale.

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