Concours Général des Lycées 2006 — Matematica

Iterated digit-rearrangement map f_q on the decimal digits of an integer; periodicity, fixed points and divisibility criteria

If $n$ is a strictly positive natural number, write $\overline{a_i{a}_{i-1}\dots a_1{a}_0}$ for its decimal representation. Thus $n=10^i{a}_i+10^{i-1}{a}_{i-1}+\cdots +10a_1+a_0$, where the digits $a_j$, $0\le j\le i$, lie between $0$ and $9$, and $a_i\ne 0$. Denote by $q$ an integer between $1$ and $9$ inclusive, set $p=10q-1$ and consider the function $f_q$ which to the integer $n=\overline{a_i{a}_{i-1}\dots a_1{a}_0}$ associates the integer: $f_q(n)=\overline{a_i{a}_{i-1}\dots a_1}+q{a}_0\text{ if }i\ne 0,\text{ then }{f}_q(n)=q{a}_0\text{ if }i=0.$ Finally, with the integer $q$ fixed, associate to every integer $n$ the sequence $(n_k)$ defined by the relations $n_0=n$ and, for every natural number $k$, $n_{k+1}=f_q(n_k)$. For example, if we fix $q=5$, the sequence associated to $4907$ is $4907,525,77,42,14,21,7,35,28,42,14,\dots$

1. Verify that $f_q(n)=\frac{n+p{a}_0}{10}$. Deduce that $f_q(p)=p$.
2. a. Show that, if $m>p$, then $f_q(m)<m$. b. Deduce that for every integer $n$, there exists an integer $j$ such that $n_j\le p$.
3. a. Show that, if $m<p$, then $f_q(m)<p$. b. Deduce that for every integer $n$, the sequence $(n_k)$ is periodic from a certain rank on, that is, there exist integers $k$ and $T$ ($T>0$) such that $n_{j+T}=n_j$ for all $j\ge k$.
4. Establish that, for every integer $n$, $f_q(n)$ is congruent to $q\times n$ modulo $p$.
5. For which values of $q$ does the function $f_q$ have fixed points (that is, integers $m$ such that $f_q(m)=m$) other than $p$? What are these fixed points in that case?
6. Show that, for suitable choices of $q$, the study of the sequence $(n_k)$ associated to an integer $n$ provides divisibility criteria of $n$ by $9$, $19$, $29$, $13$, $49$ and $7$. State these criteria.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mappa di riorganizzazione dei numeri iterata f_q sui numeri decimali di un numero intero; periodicità, punti fissi e criteri di divisibilità

Se $n$ è un numero naturale strettamente positivo, scrivete $\overline{a_i{a}_{i-1}\dots a_1{a}_0}$ per la sua rappresentazione decimale. Quindi $n=10^i{a}_i+10^{i-1}{a}_{i-1}+\cdots +10a_1+a_0$, dove le cifre $a_j$, $0\le j\le i$, si trovano tra $0$ e $9$, e $a_i\ne 0$. Indicare con $q$ un numero intero tra $1$ e $9$ inclusivo, impostare $p=10q-1$ e considerare la funzione $f_q$ che associa al numero intero $n=\overline{a_i{a}_{i-1}\dots a_1{a}_0}$ il numero intero: $f_q(n)=\overline{a_i{a}_{i-1}\dots a_1}+q{a}_0\text{ if }i\ne 0,\text{ then }{f}_q(n)=q{a}_0\text{ if }i=0.$ Infine, con il numero intero $q$ fisso, associare a ogni numero intero $n$ la sequenza $(n_k)$ definita dalle relazioni $n_0=n$ e, per ogni numero naturale $k$, $n_{k+1}=f_q(n_k)$. Ad esempio, se si fissa $q=5$, la sequenza associata a $4907$ è $4907,525,77,42,14,21,7,35,28,42,14,\dots$

1. Verificare che $f_q(n)=\frac{n+p{a}_0}{10}$. Riduzione di $f_q(p)=p$. 2. a. Indicare che, se $m>p$, allora $f_q(m)<m$. b. Deduci che per ogni numero intero $n$, esiste un numero intero $j$ tale che $n_j\le p$. 3. a. Indicare che, se $m<p$, allora $f_q(m)<p$. b. Deduci che per ogni numero intero $n$, la sequenza $(n_k)$ è periodica da un certo rango su, cioè esistono numeri interi $k$ e $T$ ($T>0$) tali che $n_{j+T}=n_j$ per tutti $j\ge k$. 4. Stabilire che, per ogni numero intero $n$, $f_q(n)$ è congruente a $q\times n$ modulo $p$. 5. Per quali valori di $q$ la funzione $f_q$ ha punti fissi (cioè enti $m$ tali che $f_q(m)=m$) diversi da $p$? Quali sono questi punti fissi in quel caso? 6. Indicare che, per le scelte appropriate di $q$, lo studio della sequenza $(n_k)$ associata a un numero intero $n$ fornisce criteri di divisibilità di $n$ da $9$, $19$, $29$, $13$, $49$ e $7$. Indicare questi criteri.

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Hyperbola-type curve (1-x)(1-y)=a inside the unit square: nature, range of x+y and x^2+y^2, incircle/exscribed-circle radii of a triangle and an inequality involving the natural logarithm

PART 1. Let $a$ be a real number such that $0<a<1$. In the plane referred to an orthonormal frame, let $\mathcal{H}$ be the set with equation $(1-x)(1-y)=a$, and let ${\mathcal{H}}_1$ be the set of points with coordinates $(x,y)$ of $\mathcal{H}$ such that $0\le x\le 1$ and $0\le y\le 1$.

1. Specify the nature of $\mathcal{H}$. Represent $\mathcal{H}$ and ${\mathcal{H}}_1$.
2. Show that, when the point of coordinates $(x,y)$ describes ${\mathcal{H}}_1$, the sum $x+y$ describes an interval to be specified.
3. Determine the set of values of $x^2+y^2$ when the point of coordinates $(x,y)$ describes ${\mathcal{H}}_1$. Hint: One may show that $(x,y)$ are the coordinates of a point of $\mathcal{H}$ and that, if $s=x+y$, then: $x^2+y^2=s^2-2s+2-2a$ The results of the two following questions do not enter into the rest of the exercise.
4. Determine, discussing according to the value of $a$, the number of intersection points of ${\mathcal{H}}_1$ and the circle with center $O$ and radius $\sqrt{2}(1-\sqrt{a})$.
5. Determine the area of the domain bounded by ${\mathcal{H}}_1$ and the coordinate axes. Deduce, for $a\in \left[\frac{1}{4},1\right[$, the inequality: $\frac{\pi }{2}(1-\sqrt{a}{)}^2\le 1-a+a\ln a$ Does the equation $\frac{\pi }{2}(1-\sqrt{a}{)}^2=1-a+a\ln a$ admit a solution belonging to $\left]0,1\right[$?

PART 2. Given two distinct points $P$ and $Q$ of the plane, write $]PQ[$ for the set of points of the segment $[PQ]$ distinct from $P$ and $Q$. In the plane, consider a triangle $ABC$ and denote by $h$ the length of the altitude from $A$. Let $\Gamma$ be the circle inscribed in the triangle, $I$ its center and $r$ its radius. Recall that $I$ is the point of intersection of the interior bisectors of $ABC$, that is, the point interior to the triangle satisfying $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$, $\widehat{IBC}=\widehat{IBA}$ and $\widehat{ICA}=\widehat{ICB}$. Denote by ${\Delta }_B$ (respectively ${\Delta }_C$) the line through $B$ and orthogonal to $(BI)$ (respectively through $C$ and orthogonal to $(CI)$).

1. Let $J$ be the point of intersection of ${\Delta }_B$ and ${\Delta }_C$. Show that the distances from $J$ to the three lines $(AB)$, $(BC)$, $(CA)$ are equal. Deduce that $J$ belongs to the line $(AI)$ and is the center of a circle ${\Gamma }^{\prime }$ tangent to the lines $(AB)$, $(BC)$, $(CA)$. The circle ${\Gamma }^{\prime }$ is called the circle exscribed in the angle $A$ of the triangle $ABC$.
2. By examining the angles of the triangles in question, show that $AIC$ is similar to $ABJ$ and that $AIB$ is similar to $ACJ$. Deduce $AI\cdot AJ=AB\cdot AC$.
3. Let $f$ be the homothety with center $A$ that sends $J$ onto $I$. Specify the image under $f$ of the circle ${\Gamma }^{\prime }$ and of the line $(BC)$. Deduce: $\frac{AI}{AJ}=\frac{h-2r}{h}$ Now let $D$ be a point of $]BC[$. Denote by $I_1$ and $I_2$ the centers of the circles inscribed in the triangles $ABD$ and $ACD$, and by $r_1$ and $r_2$ their radii; finally denote by $J_1$ and $J_2$ the centers of the circles exscribed in the angle $A$ of the triangles $ABD$ and $ACD$.
4. Show that the triangles $A{I}_1{J}_2$ and $AIC$ are similar. Likewise, the triangles $A{I}_2{J}_1$ and $AIB$ are similar.
5. By expressing $\frac{A{I}_1}{A{J}_2}\cdot \frac{A{I}_2}{A{J}_1}$ in two different ways, establish the relation: $h(h-2r)=(h-2r_1)(h-2r_2)$

PART 3. Keep the notations $ABC$, $h$, $r$ given in the second part. In questions 1. and 2., for every point $D$ of $]BC[$, the radii of the circles inscribed in the triangles $ABD$ and $ACD$ are denoted $r_1(D)$ and $r_2(D)$, or simply $r_1$ and $r_2$ when there is no ambiguity.

1. Show that there exists a unique point $E$ of $]BC[$ such that $r_1(E)=r_2(E)$.
2. a. Show that $E$ is the point of $]BC[$ for which $r_1+r_2$ is maximal. b. Show that $E$ is the point of $]BC[$ for which $r_1^2+r_2^2$ is minimal if and only if $8r\le 3h$.
3. In this question, $n$ denotes a nonzero natural number and one writes $N=2^n$. Consider $N+1$ distinct points $D_0,D_1,\dots ,D_{N-1},D_N$ placed in this order on the segment $[BC]$: in other words, for every integer $i$ in $[1,N-1]$, the point $D_i$ belongs to $]D_{i-1}{D}_{i+1}[$. One supposes moreover that $D_0=B$ and $D_N=C$. For every integer $i$ in $[1,N]$, write $r_i$ for the radius of the circle inscribed in the triangle $A{D}_{i-1}{D}_i$. a. With $n$ given, determine the maximal value of $r_1+r_2+\cdots +r_N$ when $D_1,\dots ,D_{N-1}$ vary in $[BC]$ respecting the conditions stated above. One will show, for example by induction on $n$, that this maximal value is attained when $r_1=r_2=\dots =r_N$. b. Write $u_n$ for the maximal value found in a. Express $u_n$ as a function of $r$, $n$, $h$. Show that the sequence $(u_n)$ converges to a limit to be expressed as a function of $r$ and $h$. c. Suppose $8r\le 3h$. With the integer $n$ given, determine the minimal value $v_n$ of $r_1^2+\cdots +r_N^2$. Show that the sequence $(2^n{v}_n)$ converges.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Disuguaglianze, Simmetria, Telescoping Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Curva di tipo iperbola (1-x)(1-y) = a all’interno del quadrato unitario: natura, intervallo di x+y e x^2+y^2, radii di circolo/circolo escritto di un triangolo e una disuguaglianza che coinvolge il logaritmo naturale

PARTE 1. $a$ sia un numero reale tale che $0<a<1$. Nel piano di riferimento a un quadro ortonormale, $\mathcal{H}$ sia l’insieme con l’equazione $(1-x)(1-y)=a$, e ${\mathcal{H}}_1$ sia l’insieme di punti con le coordinate $(x,y)$ di $\mathcal{H}$ tali che $0\le x\le 1$ e $0\le y\le 1$. 1. Indicare la natura di $\mathcal{H}$. Rappresentano $\mathcal{H}$ e ${\mathcal{H}}_1$. 2. Indicare che, quando il punto delle coordinate $(x,y)$ descrive ${\mathcal{H}}_1$, la somma $x+y$ descrive un intervallo da specificare. 3. Determinare l’insieme dei valori di $x^2+y^2$ quando il punto di coordinate $(x,y)$ descrive ${\mathcal{H}}_1$. Suggerimento: Si può dimostrare che $(x,y)$ sono le coordinate di un punto di $\mathcal{H}$ e che, se $s=x+y$, allora: $x^2+y^2=s^2-2s+2-2a$ I risultati delle due domande seguenti non rientrano nel resto dell’esercizio. 4. Determinare, discutendo secondo il valore di $a$, il numero di punti di intersezione di ${\mathcal{H}}_1$ e il cerchio con centro $O$ e raggio $\sqrt{2}(1-\sqrt{a})$. 5. Determinare l’area del dominio dilimitata da ${\mathcal{H}}_1$ e gli assi di coordinate. Deduci, per $a\in \left[\frac{1}{4},1\right[$, la disuguaglianza: $\frac{\pi }{2}(1-\sqrt{a}{)}^2\le 1-a+a\ln a$ La equazione $\frac{\pi }{2}(1-\sqrt{a}{)}^2=1-a+a\ln a$ ammette una soluzione appartenente a $\left]0,1\right[$?

PARTE 2 Se si considerano due punti distinti $P$ e $Q$ del piano, scrivere $]PQ[$ per l’insieme dei punti del segmento $[PQ]$ distinti da $P$ e $Q$. Nel piano, considerate un triangolo $ABC$ e indicate con $h$ la lunghezza dell’altitudine da $A$. $\Gamma$ sia il cerchio inscritto nel triangolo, $I$ il suo centro e $r$ il suo raggio. Ricordiamo che $I$ è il punto di intersezione dei bisettori interni di $ABC$, cioè il punto interno del triangolo che soddisfa $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$, $\widehat{IBC}=\widehat{IBA}$ e $\widehat{ICA}=\widehat{ICB}$. Indicare con ${\Delta }_B$ (rispettivamente ${\Delta }_C$) la linea attraverso $B$ e ortogonale a $(BI)$ (rispettivamente attraverso $C$ e ortogonale a $(CI)$). 1. Il $J$ deve essere il punto di intersezione di ${\Delta }_B$ e ${\Delta }_C$. Indicare che le distanze da $J$ alle tre linee $(AB)$, $(BC)$, $(CA)$ sono uguali. Deduci che $J$ appartiene alla linea $(AI)$ ed è il centro di un cerchio ${\Gamma }^{\prime }$ tangente alle linee $(AB)$, $(BC)$, $(CA)$. Il cerchio ${\Gamma }^{\prime }$ è chiamato il cerchio descritto nell’angolo $A$ del triangolo $ABC$. 2. Esaminando gli angoli dei triangoli in questione, dimostrare che $AIC$ è simile a $ABJ$ e che $AIB$ è simile a $ACJ$. Riduzione $AI\cdot AJ=AB\cdot AC$. 3. $f$ sia l’omogeneità con il centro $A$ che invia $J$ su $I$. Indicare l’immagine sotto $f$ del cerchio ${\Gamma }^{\prime }$ e della riga $(BC)$. Riduzione: $\frac{AI}{AJ}=\frac{h-2r}{h}$ Ora $D$ sia un punto di $]BC[$. Indicare con $I_1$ e $I_2$ i centri dei cerchi iscritti nei triangoli $ABD$ e $ACD$, e con $r_1$ e $r_2$ i loro raggi; indicare infine con $J_1$ e $J_2$ i centri dei cerchi esposti nell’angolo $A$ dei triangoli $ABD$ e $ACD$. 4. Indicare che i triangoli $A{I}_1{J}_2$ e $AIC$ sono simili. Allo stesso modo, i triangoli $A{I}_2{J}_1$ e $AIB$ sono simili. 5. Esprimendo $\frac{A{I}_1}{A{J}_2}\cdot \frac{A{I}_2}{A{J}_1}$ in due modi diversi, stabilire la relazione: $h(h-2r)=(h-2r_1)(h-2r_2)$

PARTE 3 Conservare le notazioni $ABC$, $h$, $r$ indicate nella seconda parte. - La prima domanda. e 2, per ogni punto $D$ di $]BC[$, i radii dei cerchi inseriti nei triangoli $ABD$ e $ACD$ sono indicati $r_1(D)$ e $r_2(D)$, o semplicemente $r_1$ e $r_2$ quando non vi è ambiguità. 1. Indicare che esiste un punto unico $E$ di $]BC[$ tale da $r_1(E)=r_2(E)$. 2. a. Indicare che $E$ è il punto di $]BC[$ per il quale $r_1+r_2$ è massimo. b. Indicare che $E$ è il punto di $]BC[$ per il quale $r_1^2+r_2^2$ è minimo se e solo se $8r\le 3h$. 3. In questa domanda, $n$ indica un numero naturale non zero e uno scrive $N=2^n$. Considerare $N+1$ punti distinti $D_0,D_1,\dots ,D_{N-1},D_N$ inseriti in questo ordine sul segmento $[BC]$: in altre parole, per ogni numero intero $i$ in $[1,N-1]$, il punto $D_i$ appartiene a $]D_{i-1}{D}_{i+1}[$. Si suppone inoltre che $D_0=B$ e $D_N=C$. Per ogni numero intero $i$ in $[1,N]$, scrivere $r_i$ per il raggio del cerchio inserito nel triangolo $A{D}_{i-1}{D}_i$. a. Con $n$ indicato, determinare il valore massimo di $r_1+r_2+\cdots +r_N$ quando $D_1,\dots ,D_{N-1}$ varia in $[BC]$ rispettando le condizioni sopra indicate. Si mostrerà, ad esempio, mediante l’induzione su $n$, che questo valore massimo viene raggiunto quando $r_1=r_2=\dots =r_N$. b. Scrivere $u_n$ per il valore massimo trovato in a. Esprimere $u_n$ come funzione di $r$, $n$, $h$. Indicare che la sequenza $(u_n)$ converge a un limite da esprimere come funzione di $r$ e $h$. c. Supponiamo $8r\le 3h$. Con il numero intero $n$ indicato, determinare il valore minimo $v_n$ di $r_1^2+\cdots +r_N^2$. Indicare che la sequenza $(2^n{v}_n)$ converge.

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Plane sections of a cube through its center: a projected-area formula, then bounding the area of triangular/quadrilateral/hexagonal cross-sections

The aim of this exercise is to study the intersections of a cube with planes passing through its center, and to bound the area of the plane sections thus obtained.

3.1 A formula for computing plane areas Space is referred to an orthonormal frame $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Let $\mathcal{P}$ be a plane, with unit normal vector $\vec{n}$. Set $\vec{n}\cdot \vec{k}=\cos \gamma$, and denote by ${\mathcal{P}}_0$ the plane with frame $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Assume in this question that $\mathcal{P}$ and the plane ${\mathcal{P}}_0$ are not parallel. Let $\mathcal{D}$ be the line of intersection of the planes $\mathcal{P}$ and ${\mathcal{P}}_0$, $A$ and $B$ points of $\mathcal{D}$, $C$ a point of $\mathcal{P}$, $C^{\prime }$ the orthogonal projection of $C$ on the plane ${\mathcal{P}}_0$ and finally $H$ the orthogonal projection of $C$ on the line $(AB)$. a. Justify the fact that $H$ is also the orthogonal projection of $C^{\prime }$ on the line $(AB)$. b. Deduce a relation between the lengths $CH$, $C^{\prime }H$ and the angle $\gamma$, then between the areas $S$ and $S^{\prime }$ of the triangles $ABC$ and $AB{C}^{\prime }$. c. Let $Q$ be a polygon contained in the plane $\mathcal{P}$, $Q^{\prime }$ its orthogonal projection on the plane ${\mathcal{P}}_0$ and $S$ and $S^{\prime }$ their respective areas. Show that: $S^{\prime }=S|\cos \gamma |$
2. What can be said in the particular case where $\mathcal{P}$ and the plane $(O,\vec{i},\vec{j})$ are parallel?
3. Set $\vec{n}\cdot \vec{i}=\cos \alpha$ and $\vec{n}\cdot \vec{j}=\cos \beta$. a. Show that the absolute values of the coordinates of $\vec{n}$ in the basis $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ are $|\cos \alpha |$, $|\cos \beta |$ and $|\cos \gamma |$. b. Let $Q$ be a polygon contained in the plane $\mathcal{P}$, $S$ its area, $S^{\prime }$, $S^{\prime \prime }$ and $S^{\prime \prime \prime }$ the areas of its projections respectively onto the frame planes $(O,\vec{i},\vec{j})$, $(O,\vec{j},\vec{k})$ and $(O,\vec{k},\vec{i})$. Show that: $S^2=S^{\prime 2}+S^{\prime \prime 2}+S^{\prime \prime \prime 2}$.

3.2 Plane sections of a cube 3.2.1 Generalities Space being referred to the orthonormal frame $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, consider the cube $\mathcal{K}$ with center $O$ represented opposite, whose vertices have coordinates: $A(1,1,1)$, $B(-1,1,1)$, $C(-1,-1,1)$, $D(1,-1,1)$, $A^{\prime }(-1,-1,-1)$, $B^{\prime }(1,-1,-1)$, $C^{\prime }(1,1,-1)$, $D^{\prime }(-1,1,-1)$, as well as a plane $\mathcal{P}$ passing through $O$, whose intersection with $\mathcal{K}$ is a polygon $\mathcal{A}$.

1. Show that $\mathcal{P}$ contains $0$, $2$ or $4$ vertices of $\mathcal{K}$.
2. How many planes $\mathcal{P}$ containing $4$ vertices of $\mathcal{K}$ are there? Determine in that case the nature of $\mathcal{A}$ as well as its area.
3. Suppose $\mathcal{P}$ contains exactly two vertices of $\mathcal{K}$, $A$ and $A^{\prime }$. a. Show that $\mathcal{P}$ meets one of the three edges $[BC]$, $[CD]$ or $[B{D}^{\prime }]$. b. Suppose $\mathcal{P}$ meets the edge $[BC]$ at a point of coordinates $(-1,y,1)$. Determine, according to the value of $y$, the exact nature of $\mathcal{A}$ and compute its area. c. Give, in this case, the best possible bound on the area of $\mathcal{A}$ when $y$ varies.
4. Suppose $\mathcal{P}$ contains no vertex of $\mathcal{K}$. a. Show that each of the half-spaces bounded by $\mathcal{P}$ contains exactly $4$ vertices of $\mathcal{K}$. b. Prove that $\mathcal{P}$ meets $4$ or $6$ edges of $\mathcal{K}$. From now on one considers only planes $\mathcal{P}$ containing no vertex of $\mathcal{K}$.

3.2.2 Planes $\mathcal{P}$ meeting 4 edges of $\mathcal{K}$ Consider a plane $\mathcal{P}$ meeting the edge $[AB]$ at a point $M$ of coordinates $(u,1,1)$ and the edge $[CD]$ at a point $N$ of coordinates $(v,-1,1)$.

1. Determine, according to the values of $u$ and $v$, the exact nature of $\mathcal{A}$ and compute its area.
2. Give, in this case, the best possible bound on the area of $\mathcal{A}$ when $u$ and $v$ vary.

3.2.3 Planes $\mathcal{P}$ meeting 6 edges of $\mathcal{K}$ Consider a plane $\mathcal{P}$ meeting the edge $[AB]$ at a point $M$ of coordinates $(x,1,1)$ and the edge $[BC]$ at a point $N$ of coordinates $(-1,y,1)$.

1. Show that $\mathcal{P}$ meets the edge $[C^{\prime }A]$ at a point $R$ of coordinates $(-1,-1,z)$. Give, on a freehand sketch, the geometric construction of the point $R$, the points $M$ and $N$ being given.
2. Establish that the three real numbers $x$, $y$ and $z$ are linked by the relation: $(1)x+y+z+xyz=0$
3. Draw the polygon $\mathcal{A}$ for $x=y=z=0$ and compute its area.
4. Show that the area $S$ of $\mathcal{A}$ satisfies the relation: $S^2=(3-x+y+xy{)}^2+(3+x-z+xz{)}^2+(3-y+z+yz{)}^2$ One sets from now on: $f(x,y,z)=(3-x+y+xy{)}^2+(3+x-z+xz{)}^2+(3-y+z+yz{)}^2$
5. Determine the set of values of $S$ when the points $M$ and $N$ vary in such a way that $x+y=0$.
6. Given strictly positive reals $u$, $v$ and $w$, set $x=\frac{u-1}{u+1}$, $y=\frac{v-1}{v+1}$ and $z=\frac{w-1}{w+1}$. a. Verify that, when the triple $(x,y,z)$ satisfies relation $(1)$, one has $uvw=1$ and $z=\frac{1-uv}{1+uv}$. b. One sets: $g(u,v)=f\left(\frac{u-1}{u+1},\frac{v-1}{v+1},\frac{1-uv}{1+uv}\right)$ and one admits that one has the relation: $g(u,v)=32\frac{(1+v+uv{)}^2\left(1+u+u^2+uv+u^{2}v+u^2{v}^2\right)}{(1+u{)}^2(1+v{)}^2(1+uv{)}^2}$ Show that one has, for every couple $(u,v)$ of strictly positive reals, the bound: $24\le g(u,v)\le 32$ Deduce, in this case of figure, the best possible bound on the area of $\mathcal{A}$ when $x$ and $y$ vary.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica, Disuguaglianze Metodo: Coordinate, Casework, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sezioni piane di un cubo attraverso il suo centro: una formula di area proiettata, che confina poi l’area delle sezioni trasversali triangolari/quadrilaterali/esagonali

L’obiettivo di questo esercizio è quello di studiare le intersezioni di un cubo con piani che passano attraverso il suo centro, e di legare l’area delle sezioni di piano così ottenute.

3.1 Una formula per il calcolo delle superfici a piano Spazio si riferisce a un quadro ortonormale $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Il $\mathcal{P}$ deve essere un piano, con vettore unitario normale $\vec{n}$. Impostare $\vec{n}\cdot \vec{k}=\cos \gamma$ e indicare con ${\mathcal{P}}_0$ il piano con telaio $(O,\vec{i},\vec{j})$. 1. Supponiamo in questa domanda che $\mathcal{P}$ e il piano ${\mathcal{P}}_0$ non siano paralleli. Che $\mathcal{D}$ sia la linea di intersezione dei piani $\mathcal{P}$ e ${\mathcal{P}}_0$, $A$ e $B$ punti di $\mathcal{D}$, $C$ un punto di $\mathcal{P}$, $C^{\prime }$ la proiezione ortogonale di $C$ sul piano ${\mathcal{P}}_0$ e infine $H$ la proiezione ortogonale di $C$ sulla linea $(AB)$. a. giustificare il fatto che $H$ è anche la proiezione ortogonale di $C^{\prime }$ sulla linea $(AB)$. b. Riduzione di una relazione tra le lunghezze $CH$, $C^{\prime }H$ e l’angolo $\gamma$, quindi tra le aree $S$ e $S^{\prime }$ dei triangoli $ABC$ e $AB{C}^{\prime }$. c. Che $Q$ sia un poligono contenuto nel piano $\mathcal{P}$, $Q^{\prime }$ la sua proiezione ortogonale sul piano ${\mathcal{P}}_0$ e $S$ e $S^{\prime }$ le rispettive aree. Indicare che: $S^{\prime }=S|\cos \gamma |$ 2. Cosa si può dire nel caso particolare in cui $\mathcal{P}$ e il piano $(O,\vec{i},\vec{j})$ siano paralleli? 3. Set $\vec{n}\cdot \vec{i}=\cos \alpha$ e $\vec{n}\cdot \vec{j}=\cos \beta$. a. Indicare che i valori assoluti delle coordinate di $\vec{n}$ nella base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sono $|\cos \alpha |$, $|\cos \beta |$ e $|\cos \gamma |$. b. Il $Q$ deve essere un poligono contenuto nel piano $\mathcal{P}$, $S$, la sua superficie, $S^{\prime }$, $S^{\prime \prime }$ e $S^{\prime \prime \prime }$ le aree delle sue proiezioni rispettivamente sui piani del telaio $(O,\vec{i},\vec{j})$, $(O,\vec{j},\vec{k})$ e $(O,\vec{k},\vec{i})$. Mostra che: $S^2=S^{\prime 2}+S^{\prime \prime 2}+S^{\prime \prime \prime 2}$.

3.2 Sezioni di piano di un cubo 3.2.1 Generalità Nel caso in cui lo spazio si riferisca alla cornice ortonormale $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, si consideri il cubo $\mathcal{K}$ con centro $O$ rappresentato di fronte, le cui vertici hanno coordinate: $A(1,1,1)$, $B(-1,1,1)$, $C(-1,-1,1)$, $D(1,-1,1)$, $A^{\prime }(-1,-1,-1)$, $B^{\prime }(1,-1,-1)$, $C^{\prime }(1,1,-1)$, $D^{\prime }(-1,1,-1)$, nonché un piano $\mathcal{P}$ che attraversa $O$, la cui intersezione con $\mathcal{K}$ è un poligono $\mathcal{A}$. 1. Indicare che $\mathcal{P}$ contiene $0$, $2$ o $4$ vertici di $\mathcal{K}$. 2. Quanti piani $\mathcal{P}$ contengono le vertici $4$ di $\mathcal{K}$? Determinare in tal caso la natura del $\mathcal{A}$ e la sua superficie. 3. Supponiamo che $\mathcal{P}$ contenga esattamente due vertici di $\mathcal{K}$, $A$ e $A^{\prime }$. a. Indicare che $\mathcal{P}$ incontra uno dei tre bordi $[BC]$, $[CD]$ o $[B{D}^{\prime }]$. b. Supponiamo che $\mathcal{P}$ incontra il bordo $[BC]$ in un punto di coordinate $(-1,y,1)$. Determinare, secondo il valore di $y$, la natura esatta di $\mathcal{A}$ e calcolare la sua superficie. c. Indicare, in questo caso, il limite migliore possibile sulla superficie di $\mathcal{A}$ quando $y$ varia. 4. Supponiamo che $\mathcal{P}$ non contenga alcuna vertice di $\mathcal{K}$. a. Indicare che ciascun mezzo spazio dilimitato da $\mathcal{P}$ contiene esattamente $4$ vertici di $\mathcal{K}$. b. Prova che $\mathcal{P}$ incontra $4$ o $6$ bordi di $\mathcal{K}$. Da ora in poi si considera solo piani $\mathcal{P}$ che non contengono vertici di $\mathcal{K}$.

3.2.2 Piani $\mathcal{P}$ che incontrano 4 bordi di $\mathcal{K}$ Considera un piano $\mathcal{P}$ che incontra il bordo $[AB]$ in un punto $M$ delle coordinate $(u,1,1)$ e il bordo $[CD]$ in un punto $N$ delle coordinate $(v,-1,1)$. 1. Determinare, secondo i valori di $u$ e $v$, la natura esatta di $\mathcal{A}$ e calcolare la sua superficie. 2. Indicare, in questo caso, il limite migliore possibile sulla superficie di $\mathcal{A}$ quando $u$ e $v$ variano.

3.2.3 Piani $\mathcal{P}$ che incontrano 6 bordi di $\mathcal{K}$ Considera un piano $\mathcal{P}$ che incontra il bordo $[AB]$ in un punto $M$ delle coordinate $(x,1,1)$ e il bordo $[BC]$ in un punto $N$ delle coordinate $(-1,y,1)$. 1. Indicare che $\mathcal{P}$ incontra il bordo $[C^{\prime }A]$ in un punto $R$ delle coordinate $(-1,-1,z)$. Indicare, su uno schizzo a mano libera, la costruzione geometrica del punto $R$, con i punti $M$ e $N$. 2. Stabilire che i tre numeri reali $x$, $y$ e $z$ sono legati dalla relazione: $(1)x+y+z+xyz=0$ 3. Disegnare il poligono $\mathcal{A}$ per $x=y=z=0$ e calcolare la sua superficie. 4. Indicare che l’area $S$ di $\mathcal{A}$ soddisfa la relazione: $S^2=(3-x+y+xy{)}^2+(3+x-z+xz{)}^2+(3-y+z+yz{)}^2$ Una serie da ora in poi: $f(x,y,z)=(3-x+y+xy{)}^2+(3+x-z+xz{)}^2+(3-y+z+yz{)}^2$ 5. Determinare l’insieme dei valori di $S$ quando i punti $M$ e $N$ variano in modo tale che $x+y=0$. 6. Date le valori rigorosamente positive $u$, $v$ e $w$, impostate $x=\frac{u-1}{u+1}$, $y=\frac{v-1}{v+1}$ e $z=\frac{w-1}{w+1}$. a. Verificare che, quando il triplo $(x,y,z)$ soddisfa la relazione $(1)$, si abbia $uvw=1$ e $z=\frac{1-uv}{1+uv}$. b. Un insieme: $g(u,v)=f\left(\frac{u-1}{u+1},\frac{v-1}{v+1},\frac{1-uv}{1+uv}\right)$ e uno ammette che si ha la relazione: $g(u,v)=32\frac{(1+v+uv{)}^2\left(1+u+u^2+uv+u^{2}v+u^2{v}^2\right)}{(1+u{)}^2(1+v{)}^2(1+uv{)}^2}$ Mostra che si ha, per ogni coppia $(u,v)$ di reali strettamente positivi, il limite: $24\le g(u,v)\le 32$ Ridurre, in questo caso di figura, il limite migliore possibile sull’area di $\mathcal{A}$ quando $x$ e $y$ variano.

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