Concours Général des Lycées 2007 — Matematica

Type-T_n trinomial functions on [-1,1]: show a piecewise function is of some type T_N

We call functions of type $T_0$ the functions « trinomials » on $[-1,1]$, defined by: $t:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto t(x)=a{x}^2+bx+c$ where $a$, $b$, $c$ are arbitrary real numbers. For every natural number $n$, we call functions of type $T_n$ the functions of the form $f+\lambda g$, where $\lambda$ is an arbitrary real number and $f$, $g$ are functions of type $T_{n-1}$.

1. Establish that the function $\phi$, defined by $\phi (x)=0$ for $x\in [-1,0[$ and $\phi (x)=x$ for $x\in [0,1]$, is of type $T_1$.

2. Consider two trinomial functions $t_1$ and $t_2$ such that $t_1(0)=t_2(0)$, and define the function $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ by: For every real $x$ in $[-1,0[$, $f(x)=t_1(x)$, and for every real $x$ in $[0,1]$, $f(x)=t_2(x)$.

Show that there exists a natural number $N$ such that the function $f$ is of type $T_N$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Type-T_n funzioni trinomiali su [-1,1]: mostrare una funzione pieziosa è di qualche tipo T_N

Chiamiamo le funzioni di tipo $T_0$ le funzioni trinomiali su $[-1,1]$, definite da: $t:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto t(x)=a{x}^2+bx+c$ dove $a$, $b$, $c$ sono numeri reali arbitrari. Per ogni numero naturale $n$, chiamiamo le funzioni del tipo $T_n$ le funzioni della forma $f+\lambda g$, dove $\lambda$ è un numero reale arbitrario e $f$, $g$ sono funzioni del tipo $T_{n-1}$.

1. Stabilire che la funzione $\phi$, definita da $\phi (x)=0$ per $x\in [-1,0[$ e $\phi (x)=x$ per $x\in [0,1]$, è di tipo $T_1$.

2. Considerate due funzioni trinomiali $t_1$ e $t_2$ come $t_1(0)=t_2(0)$, e definite la funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ da: Per ogni reale $x$ in $[-1,0[$, $f(x)=t_1(x)$, e per ogni reale $x$ in $[0,1]$, $f(x)=t_2(x)$.

Indicare che esiste un numero naturale $N$ tale che la funzione $f$ sia di tipo $T_N$.

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3x3 array filled with 1..9: products of rows and columns, bounds 72 and 90

In this exercise we consider all $3\times 3$ square arrays of $9$ cells in which all the integers from $1$ to $9$ are placed in some order. For example: $\begin{array}{ccc}1& 8& 7\\ 9& 2& 4\\ 6& 5& 3\end{array}$

To such an array one associates the products of the elements of its rows ($56$, $72$, $90$ in the example above) and the products of the elements of its columns ($54$, $80$, $84$ in the example above).

1. a. Given such an array, show that it has at least one row whose product of elements is greater than or equal to $72$.

b. Give an array of this type whose three rows all have a product of their elements less than or equal to $72$.

2. Given an array of this type, show that it has at least one row or one column whose product of elements is greater than or equal to $90$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

3x3 array riempito di 1…9: prodotti di righe e colonne, limite 72 e 90

In questo esercizio consideriamo tutte le matrici quadrate $3\times 3$ delle celle $9$ in cui tutti gli enti da $1$ a $9$ sono posizionati in un certo ordine. Ad esempio: $\begin{array}{ccc}1& 8& 7\\ 9& 2& 4\\ 6& 5& 3\end{array}$

A tale array si associano i prodotti degli elementi delle sue righe ($56$, $72$, $90$ nell’esempio precedente) e i prodotti degli elementi delle sue colonne ($54$, $80$, $84$ nell’esempio precedente).

1. a. Data tale array, indicare che ha almeno una riga il cui prodotto degli elementi è maggiore o uguale a $72$.

b. Indicare un array di questo tipo le cui tre righe hanno tutti un prodotto dei loro elementi inferiore o uguale a $72$.

2. In considerazione di un array di questo tipo, indicare che ha almeno una riga o una colonna il cui prodotto degli elementi è maggiore o uguale a $90$.

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Type-W triangles (perpendicular medians from A and B): geometric loci, then integer-sided solutions and prime divisors of u^2-uv-v^2

Throughout this exercise, given a non-degenerate triangle $ABC$, one denotes by $a$, $b$, $c$ the lengths of the sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively. One says that a triangle is of type $\mathcal{W}$ if its medians issued from $A$ and from $B$ are perpendicular.

3.1 — Geometry

1. Show that there exists a triangle $ABC$ such that one has the relations: $c^2=\frac{b^2}{2}=\frac{a^2}{3}.$ Establish that such a triangle is right-angled at $A$ and that it is of type $\mathcal{W}$.

2. In this question one fixes the points $A$ and $B$ and one considers the set $\Gamma$ of points $C$ such that the triangle $ABC$ is of type $\mathcal{W}$.

a. Determine the set of points $G$, isobarycentres of $A$, $B$, $C$, as $C$ describes $\Gamma$.

b. Deduce the set $\Gamma$.

c. Determine the set of values taken by the ratio $\frac{b}{a}$.

d. Determine the set of points $H$, orthocentres of the triangles $ABC$, as $C$ describes $\Gamma$ (one will work in a frame $(O,\vec{i},\vec{j})$ in which $A$ and $B$ have respective coordinates $(-1,0)$ and $(1,0)$, and one will determine a function $f$ such that one deduces that $H$ is the union of the two curves of equations $y=f(x)$ and $y=-f(x)$).

3. In this question one fixes the points $A$ and $C$ and one considers the set ${\Gamma }^{\prime }$ of points $B$ such that the triangle $ABC$ is of type $\mathcal{W}$.

a. Determine the set ${\Gamma }^{\prime }$.

b. Determine the set of values taken by the ratio $\frac{b}{a}$.

c. Determine the triangles $ABC$ of type $\mathcal{W}$ having minimal circumradius.

d. Determine the set of points $H$, orthocentres of the triangles $ABC$, as $B$ describes ${\Gamma }^{\prime }$ (one will work in a frame $(O,\vec{i},\vec{j})$ in which $C$ and $A$ have respective coordinates $(-1,0)$ and $(-5,0)$).

4. a. Show that a triangle $ABC$ is of type $\mathcal{W}$ if and only if one has the relation: $(\star )a^2+b^2=5c^2.$

b. Given strictly positive reals $a$, $b$, $c$ verifying the relation $(\star )$, give a necessary and sufficient condition bearing on the ratio $\frac{b}{a}$ for $a$, $b$, $c$ to be the lengths of the sides of a triangle of type $\mathcal{W}$.

3.2 — Arithmetic

3.2.1 — Two families of triangles

In the rest of the exercise, one proposes to search for the triangles of type $\mathcal{W}$ whose sides have integer lengths, beginning by searching for the set $\mathcal{T}$ of triples $(a,b,c)$ of strictly positive natural integers verifying the relation $(\star )$.

One remarks that for a triple $(a,b,c)$ of strictly positive integers to be an element of $\mathcal{T}$, it suffices that there exists a strictly positive integer $m$ such that the triple $(ma,mb,mc)$ is an element of $\mathcal{T}$. One can thus limit oneself to searching for the set ${\mathcal{T}}_1$ of elements of $\mathcal{T}$ without common prime factor.

1. a. Show that if $(a,b,c)$ is an element of ${\mathcal{T}}_1$ then the integers $a$, $b$, $c$ are pairwise coprime.

b. Establish that if $(a,b,c)$ is an element of ${\mathcal{T}}_1$ then $a$ and $b$ are of different parities.

c. Show that if $(a,b,c)$ is an element of ${\mathcal{T}}_1$ then $c$ is divisible neither by $3$, nor by $4$, nor by $5$.

d. Let $(a,b,c)$ be an element of ${\mathcal{T}}_1$. Show that $b^2-4a^2$ and $a^2-4b^2$ are multiples of $5$. Deduce that there exists a pair of integers $(\alpha ,\beta )$ such that one has $\{\begin{array}{l}2a+b=5\alpha \\ -a+2b=5\beta \end{array}$ or $\{\begin{array}{l}2a-b=5\alpha \\ a+2b=5\beta \end{array}$. Verify then that one has ${\alpha }^2+{\beta }^2=c^2$, and that $\alpha$ and $\beta$ are coprime.

e. If $\alpha$ and $\beta$ are integers coprime to each other, are the integers $a$ and $b$ that are associated to them by the above relations coprime to each other?

One now admits the following result: the triples $(x,y,z)$ of strictly positive integers without common prime factor verifying $x^2+y^2=z^2$ and such that $y$ is even are given by $x=u^2-v^2$, $y=2uv$ and $z=u^2+v^2$, where $u$ and $v$ are strictly positive integers, coprime, of different parities and such that $u>v$, determined in a unique way.

2. One will say that a triangle is of type ${\mathcal{W}}_e$ if it is of type $\mathcal{W}$ and if the lengths $a$, $b$ and $c$ of its sides are integers without common prime factor. Show that for every triangle of type ${\mathcal{W}}_e$ there exist strictly positive integers $u$ and $v$, coprime, of different parities and verifying $u>v$, such that one of the two following relations holds:

$(1)(a,b,c)=(2(u^2-uv-v^2),u^2+4uv-v^2,u^2+v^2)$ $(2)(a,b,c)=(2(u^2+uv-v^2),-u^2+4uv+v^2,u^2+v^2)$

3. Determine the sets of pairs $(u,v)$ of positive integers such that relation $(1)$ (respectively $(2)$) leads to a triangle of type ${\mathcal{W}}_e$.

4. Establish that a triangle of type ${\mathcal{W}}_e$ is given by only one of the two relations $(1)$ or $(2)$. One thus classifies the triangles of type ${\mathcal{W}}_e$ into two disjoint categories, which one will denote ${\mathcal{W}}_1$ and ${\mathcal{W}}_2$.

5. Give the lengths of the sides of the triangles of type ${\mathcal{W}}_e$ whose « small » side $c$ has a length less than or equal to $50$.

3.2.2 — Integers of the form $u^2-uv-v^2$ and their divisors

One proposes to study the prime factors greater than or equal to $7$ of the integers $a$ and $b$, lengths of the sides $BC$ and $CA$ of a triangle of type ${\mathcal{W}}_e$.

1. One denotes by $\omega$ and ${\omega }^{\prime }$ the solutions of the equation $x^2-x-1=0$. Establish the relation $u^2-uv-v^2=(u-\omega v)(u-{\omega }^{\prime }v)$. Deduce that the set of integers of the form $u^2-uv-v^2$, where $u$ and $v$ describe the relative integers, is stable under multiplication. What can be said of the set of integers of the form $u^2+4uv-v^2$, where $u$ and $v$ are arbitrary relative integers?

2. Let $p=2q+1$ be a prime number strictly greater than $5$ which divides an integer of the form $u^2-uv-v^2$, where $u$ and $v$ are coprime relative integers.

a. Establish the congruences $(2u-v{)}^2\equiv 5v^2$ modulo $p$ and $(u+2v{)}^2\equiv 5u^2$ modulo $p$.

b. Deduce that $5^q\equiv 1$ modulo $p$.

c. Let $j$ be an integer between $1$ and $q$; one denotes by $r_j$ the remainder of the division of $5j$ by $p$. If $r_j\le q$ one sets $f(j)=r_j$ and $\epsilon (j)=1$; in the contrary case one sets $f(j)=p-r_j$ and $\epsilon (j)=-1$, so that one has in all cases $1\le f(j)\le q$ and $5j\equiv \epsilon (j)f(j)$ modulo $p$. Show that the integers $f(1),f(2),\dots ,f(q)$ are pairwise distinct, and deduce that the number of integers $j$, between $1$ and $q$ and such that $\epsilon (j)=-1$, is even.

d. For every real number $x$, one denotes by $\lfloor x\rfloor$ its integer part, namely the greatest relative integer less than or equal to $x$. Show that $\lfloor \frac{4p}{10}\rfloor -\lfloor \frac{3p}{10}\rfloor +\lfloor \frac{2p}{10}\rfloor -\lfloor \frac{p}{10}\rfloor$ is even, then that $p\equiv \pm 1$ modulo $10$.

3. Let $(a,b,c)$ be the lengths of the sides of a triangle of type ${\mathcal{W}}_e$.

a. Show that all the odd prime factors of $a$ are congruent to $1$ or to $9$ modulo $10$.

b. What can be said of the prime factors of $b$?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica, Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Coordinate, Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangoli di tipo W (mediani perpendicolari da A e B): loci geometrici, quindi soluzioni a lato intero e divisori primi di u^2-uv-v^2

Durante tutto questo esercizio, dato un triangolo non degenerato $ABC$, si indicano rispettivamente $a$, $b$, $c$ le lunghezze dei lati $BC$, $CA$ e $AB$. Si dice che un triangolo è di tipo $\mathcal{W}$ se i suoi mediani emessi da $A$ e da $B$ sono perpendicolari.

3.1 Geometria

1. Mostra che esiste un triangolo $ABC$ tale da avere le relazioni: $c^2=\frac{b^2}{2}=\frac{a^2}{3}.$ Stabilire che tale triangolo sia angolato a destra a $A$ e che sia di tipo $\mathcal{W}$.

2. In questa domanda si fissano i punti $A$ e $B$ e si considera che l’insieme $\Gamma$ dei punti $C$ sia di tipo $\mathcal{W}$.

a. Determinare l’insieme dei punti $G$, isobaricentri di $A$, $B$, $C$, come descritto da $C$.

b. Ridurre l’insieme $\Gamma$.

c. Determinare l’insieme dei valori presi dal rapporto $\frac{b}{a}$.

d. Determinare l’insieme dei punti $H$, ortocentri dei triangoli $ABC$, come $C$ descrive $\Gamma$ (si lavorerà in un quadro $(O,\vec{i},\vec{j})$ in cui $A$ e $B$ hanno rispettive coordinate $(-1,0)$ e $(1,0)$, e si determinerà una funzione $f$ tale da dedurre che $H$ è l’unione delle due curve delle equazioni $y=f(x)$ e $y=-f(x)$).

3. In questa domanda si fissano i punti $A$ e $C$ e si considera che l’insieme ${\Gamma }^{\prime }$ dei punti $B$ sia di tipo $\mathcal{W}$.

a. Determina l’insieme ${\Gamma }^{\prime }$.

b. Determinare l’insieme dei valori presi dal rapporto $\frac{b}{a}$.

c. Determinare i triangoli $ABC$ del tipo $\mathcal{W}$ con radius circundante minimo.

d. Determinare l’insieme dei punti $H$, ortocentri dei triangoli $ABC$, come $B$ descrive ${\Gamma }^{\prime }$ (si lavorerà in un quadro $(O,\vec{i},\vec{j})$ in cui $C$ e $A$ hanno rispettive coordinate $(-1,0)$ e $(-5,0)$).

4. a. Indicare che un triangolo $ABC$ è di tipo $\mathcal{W}$ se e solo se ha la relazione: $(\star )a^2+b^2=5c^2.$

b. Dato il valore rigorosamente positivo $a$, $b$, $c$ che verifica la relazione $(\star )$, indicare la condizione necessaria e sufficiente che il rapporto $\frac{b}{a}$ per $a$, $b$, $c$ sia il lungo dei lati di un triangolo di tipo $\mathcal{W}$.

3.2 aritmetica

3.2.1 Due famiglie di triangoli

Nel resto dell’esercizio si propone di cercare i triangoli di tipo $\mathcal{W}$ i cui lati hanno lunghezze interi, iniziando dalla ricerca del insieme $\mathcal{T}$ di triples $(a,b,c)$ di enti interi strettamente positivi che verificano la relazione $(\star )$.

Si osserva che per un triplo $(a,b,c)$ di interi rigorosamente positivi essere un elemento di $\mathcal{T}$, basta che esista un intero rigorosamente positivo $m$ tale che il triplo $(ma,mb,mc)$ sia un elemento di $\mathcal{T}$. Si può quindi limitare alla ricerca del insieme ${\mathcal{T}}_1$ di elementi di $\mathcal{T}$ senza fattore primo comune.

1. a. Mostra che se $(a,b,c)$ è un elemento di ${\mathcal{T}}_1$ allora i numeri interi $a$, $b$, $c$ sono copriamo in copriamo.

b. Stabilire che se $(a,b,c)$ è un elemento di ${\mathcal{T}}_1$ allora $a$ e $b$ sono di parità diverse.

c. Indicare che se $(a,b,c)$ è un elemento di ${\mathcal{T}}_1$, $c$ non è divisibile né per $3$, né per $4$, né per $5$.

d. $(a,b,c)$ deve essere un elemento di ${\mathcal{T}}_1$. Indicare che $b^2-4a^2$ e $a^2-4b^2$ sono multipli di $5$. Deduci che esiste una coppia di integri $(\alpha ,\beta )$ tale da avere $\{\begin{array}{l}2a+b=5\alpha \\ -a+2b=5\beta \end{array}$ o $\{\begin{array}{l}2a-b=5\alpha \\ a+2b=5\beta \end{array}$. Verificare quindi che uno ha ${\alpha }^2+{\beta }^2=c^2$, e che $\alpha$ e $\beta$ sono coprime.

e. Se $\alpha$ e $\beta$ sono integri copriemi l’uno con l’altro, sono i numeri integri $a$ e $b$ che sono associati a loro dalle relazioni di cui sopra copriemi l’uno con l’altro?

Si ammette ora il seguente risultato: i triples $(x,y,z)$ di enti interi rigorosamente positivi senza fattore primo comune che verificano $x^2+y^2=z^2$ e tali che $y$ sia pari sono dati da $x=u^2-v^2$, $y=2uv$ e $z=u^2+v^2$, dove $u$ e $v$ sono enti interi rigorosamente positivi, coprime, di parità diverse e tali che $u>v$, determinati in modo unico.

2. Si dirà che un triangolo è di tipo ${\mathcal{W}}_e$ se è di tipo $\mathcal{W}$ e se le lunghezze $a$, $b$ e $c$ dei suoi lati sono interi senza fattore primo comune. Mostrare che per ogni triangolo di tipo ${\mathcal{W}}_e$ esistono integri rigorosamente positivi $u$ e $v$, coprime, di parità diverse e verificare $u>v$, in modo tale che una delle due relazioni seguenti sia valida:

$(1)(a,b,c)=(2(u^2-uv-v^2),u^2+4uv-v^2,u^2+v^2)$ $(2)(a,b,c)=(2(u^2+uv-v^2),-u^2+4uv+v^2,u^2+v^2)$

3. Determinare le serie di coppie $(u,v)$ di integri positivi in modo tale che la relazione $(1)$ (rispettivamente $(2)$) porti a un triangolo di tipo ${\mathcal{W}}_e$.

4. Stabilire che un triangolo di tipo ${\mathcal{W}}_e$ sia dato solo da una delle due relazioni $(1)$ o $(2)$. Si classifica quindi i triangoli del tipo ${\mathcal{W}}_e$ in due categorie disconnesse, che si denoteranno ${\mathcal{W}}_1$ e ${\mathcal{W}}_2$.

5. Indicare le lunghezze dei lati dei triangoli di tipo ${\mathcal{W}}_e$ il cui lato piccolo $c$ ha una lunghezza inferiore o uguale a $50$.

3.2.2 Integra della forma $u^2-uv-v^2$ e dei loro divisori

Si propone di studiare i fattori primi superiori o uguali a $7$ degli integri $a$ e $b$, le lunghezze dei lati $BC$ e $CA$ di un triangolo di tipo ${\mathcal{W}}_e$.

1. Uno indica con $\omega$ e ${\omega }^{\prime }$ le soluzioni dell’equazione $x^2-x-1=0$. Stabilire il rapporto $u^2-uv-v^2=(u-\omega v)(u-{\omega }^{\prime }v)$. Deduzione che l’insieme di integri della forma $u^2-uv-v^2$, dove $u$ e $v$ descrivono i numeri interi relativi, è stabile sotto moltiplicazione. Cosa si può dire dell’insieme di integri del modulo $u^2+4uv-v^2$, dove $u$ e $v$ sono integri relativi arbitrari?

2. $p=2q+1$ deve essere un numero primo strettamente superiore a $5$ che divide un intero della forma $u^2-uv-v^2$, dove $u$ e $v$ sono integri relativi copriemi.

a. Stabilire le congruenze $(2u-v{)}^2\equiv 5v^2$ modulo $p$ e $(u+2v{)}^2\equiv 5u^2$ modulo $p$.

b. Deduce che $5^q\equiv 1$ modulo $p$.

c. $j$ sia un numero intero tra $1$ e $q$; uno indica con $r_j$ il resto della divisione di $5j$ con $p$. Se $r_j\le q$ un insieme $f(j)=r_j$ e $\epsilon (j)=1$; al contrario un insieme $f(j)=p-r_j$ e $\epsilon (j)=-1$, in modo che in tutti i casi si abbia $1\le f(j)\le q$ e $5j\equiv \epsilon (j)f(j)$ modulo $p$. Mostrare che i numeri interi $f(1),f(2),\dots ,f(q)$ sono separati in coppia e dedurre che il numero di numeri interi $j$, tra $1$ e $q$ e tale che $\epsilon (j)=-1$, è pari.

d. Per ogni numero reale $x$, si indica con $\lfloor x\rfloor$ la sua parte integrale, vale a dire il più grande numero intero relativo inferiore o uguale a $x$. Indicare che $\lfloor \frac{4p}{10}\rfloor -\lfloor \frac{3p}{10}\rfloor +\lfloor \frac{2p}{10}\rfloor -\lfloor \frac{p}{10}\rfloor$ è pari, quindi che $p\equiv \pm 1$ modulo $10$.

3. $(a,b,c)$ siano le lunghezze dei lati di un triangolo del tipo ${\mathcal{W}}_e$.

a. Mostra che tutti i fattori primi odd di $a$ sono congruenti a $1$ o a $9$ modulo $10$.

b. Cosa si può dire dei fattori primi di $b$?

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