Concours Général des Lycées 2008 — Matematica

Study of the parabola $y=x^2/3-3/2$ and circles tangent to it: nature of the curve, the squared-distance function and its derivatives, characterising tangency by $g_U^{\prime }(a)=0$, counting tangent circles, and bitangent circles.

We work in the Euclidean affine plane $\mathcal{P}$ with an orthonormal frame $(O,\vec{i},\vec{j})$. Let $S$ be the curve of equation: $y=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{2}.$

1. What is the geometric nature of $S$?

2. For every pair $(u,v)$ of real numbers we denote by $U$ the point of coordinates $(u,v)$, and for $x$ in $\mathbb{R}$ we denote by $M(x)$ the point of $S$ with abscissa $x$. We set: $f_U(x)=UM(x),g_U(x)={\left[f_U(x)\right]}^2$ a. Compute $g_U$, $g_U^{\prime }$ and $g_U^{\prime \prime }$. Solve the equation $g_U^{\prime \prime }(x)=0$. b. Give the table of variations of $f_U$ (one does not seek to compute explicitly the real numbers $x$ for which $f_U$ admits a relative extremum).

3. We say that a circle $C$ with centre $U$ and radius $UM$ is tangent at $M$ to $S$ if $M$ is a point of $S$ and the tangents at $M$ to $C$ and to $S$ coincide. Let $U$ be a point of the plane not belonging to $S$, and let $a$ be in $\mathbb{R}$. Show that the circle with centre $U$ and radius $UM(a)$ is tangent at $M(a)$ to $S$ if and only if $g_U^{\prime }(a)=0$.

a. Show that every point $U$ not belonging to $S$ is the centre of at least one and at most 3 circles tangent to $S$. b. For $U$ not belonging to $S$, we denote by $n(U)$ the number of reals $x$ for which the circle with centre $U$ and radius $UM(x)$ is tangent at $M(x)$ to $S$. For $1\le i\le 3$, characterise by an equality or a simple inequality the set of points $U$ not belonging to $S$ such that $n(U)=i$. One may be led to discuss according to the sign of $81u^2-16v^3$. Make a sketch representing $S$ and the sets found.

a. Let $a$ be in $\mathbb{R}$. We denote by $D(a)$ the tangent at $M(a)$ to $S$. Give an equation of $D(a)$. b. We denote again by $U$ the point of $\mathcal{P}$ with coordinates $(u,v)$. Discuss, as a function of $u$ and $v$, the number of solutions $a$ of the equation $U\in D(a)$. c. Suppose that the equation $U\in D(a)$ admits two distinct solutions $a_1$ and $a_2$. Show that if $UM(a_1)=UM(a_2)$, then $u=0$. d. Suppose $U\in \mathcal{P}$. Now assume that there exists a circle with centre $U$ tangent to $S$ at two distinct points $M$ and $N$ of $S$. Show that the tangents to $S$ at $M$ and $N$ are concurrent, and that if we denote by $V$ their point of intersection then $VM=VN$. e. Determine the set of points $U$ not belonging to $S$ for which there exists a circle with centre $U$ tangent to $S$ at two distinct points of $S$.

Topic: Geometria analitica, Algebra, Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Studio della parabola $y=x^2/3-3/2$ e dei cerchi tangenti a essa: natura della curva, funzione quadrata-distanza e le sue derivate, caratterizzando la tangenza da $g_U^{\prime }(a)=0$, conteggiando i cerchi tangenti e i cerchi bitangenti.

Lavoriamo nel piano afino euclideo $\mathcal{P}$ con un quadro ortonormale $(O,\vec{i},\vec{j})$. $S$ sia la curva dell’equazione: $y=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{2}.$

1. Qual è la natura geometrica di $S$?

2. Per ogni coppia $(u,v)$ di numeri reali indichiamo con $U$ il punto delle coordinate $(u,v)$, e per $x$ in $\mathbb{R}$ indichiamo con $M(x)$ il punto di $S$ con abscissa $x$. Abbiamo impostato: $f_U(x)=UM(x),g_U(x)={\left[f_U(x)\right]}^2$ a. Calcolare $g_U$, $g_U^{\prime }$ e $g_U^{\prime \prime }$. Risolvi l’equazione $g_U^{\prime \prime }(x)=0$. b. Indicare la tabella delle variazioni di $f_U$ (non si cerca di calcolare esplicitamente i numeri reali $x$ per i quali $f_U$ ammette un estremo relativo).

3. Diciamo che un cerchio $C$ con centro $U$ e raggio $UM$ è tangente a $M$ a $S$ se $M$ è un punto di $S$ e le tangenti a $M$ a $C$ e a $S$ coincidono. Il $U$ deve essere un punto del piano non appartenente a $S$ e $a$ deve essere in $\mathbb{R}$. Indicare che il cerchio con centro $U$ e raggio $UM(a)$ è tangente a $M(a)$ a $S$ se e solo se $g_U^{\prime }(a)=0$.

4. a. Indicare che ogni punto $U$ non appartenente a $S$ è il centro di almeno un e non più di 3 cerchi tangenti a $S$. b. Per $U$ non appartenenti a $S$, indichiamo con $n(U)$ il numero di valori $x$ per i quali il cerchio con centro $U$ e raggio $UM(x)$ è tangente a $M(x)$ a $S$. Per $1\le i\le 3$, caratterizzare con uguaglianza o semplice disuguaglianza l’insieme dei punti $U$ non appartenenti a $S$ in modo tale che $n(U)=i$. Si può chiedere di discutere secondo il segno di $81u^2-16v^3$. Fare uno schizzo che rappresenti $S$ e i set trovati.

5. a. Il valore $a$ deve essere $\mathbb{R}$. Indichiamo con $D(a)$ la tangente a $M(a)$ a $S$. Indicare un’equazione di $D(a)$. b. Indichiamo di nuovo con $U$ il punto di $\mathcal{P}$ con le coordinate $(u,v)$. Discutere, come funzione di $u$ e $v$, il numero di soluzioni $a$ dell’equazione $U\in D(a)$. c. Supponiamo che l’equazione $U\in D(a)$ ammetta due soluzioni distinte $a_1$ e $a_2$. Indicare che se $UM(a_1)=UM(a_2)$, allora $u=0$. d. Supponiamo $U\in \mathcal{P}$. Ora supponiamo che esista un cerchio con il centro $U$ tangente a $S$ a due punti distinti $M$ e $N$ di $S$. Mostrare che le tangenti di $S$ a $M$ e $N$ sono simultanee, e che se indichiamo con $V$ il loro punto di intersezione allora $VM=VN$. e. Determinare l’insieme di punti $U$ non appartenenti a $S$ per i quali esiste un cerchio con centro $U$ tangente a $S$ in due punti distinti di $S$.

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Minimising over lines: existence and uniqueness of the line minimising the sum of vertical segment lengths $A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }$, and the line minimising the sum of distances from the three vertices of a triangle.

1. The plane is referred to an orthonormal frame $(O;\vec{i},\vec{j})$. We consider a triangle $ABC$ no side of which is parallel to the axis of ordinates $Oy$. To every line $\mathcal{D}$ not parallel to $Oy$ we associate the points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ and $C^{\prime }$, intersections of $\mathcal{D}$ with the parallels to $Oy$ drawn through $A$, $B$ and $C$ respectively. Show that there exists a unique line $\mathcal{D}$ for which the sum $s$ of the lengths $A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }$ is minimal, and characterise it.

2. Show that there exists a line $\mathcal{D}$ for which the sum $s_1$ of the distances from $A$, $B$ and $C$ to $\mathcal{D}$ is minimal. Show that this line is unique if $ABC$ is not isosceles, and characterise it.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Minimizzazione delle linee: esistenza e unicità della linea riducendo al minimo la somma delle lunghezze del segmento verticale $A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }$, e la linea riducendo al minimo la somma delle distanze dai tre vertici di un triangolo.

1. Il piano si riferisce a un quadro ortonormale $(O;\vec{i},\vec{j})$. Consideriamo un triangolo $ABC$ il cui lato non è parallelo all’asse degli ordinati $Oy$. A ogni riga $\mathcal{D}$ non parallela a $Oy$ si associano i punti $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$, intersezioni di $\mathcal{D}$ con i paralleli a $Oy$ tracciati rispettivamente attraverso $A$, $B$ e $C$. Indicare che esiste una linea unica $\mathcal{D}$ per la quale la somma $s$ delle lunghezze $A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }$ è minima e caratterizzarla.

2. Indicare che esiste una linea $\mathcal{D}$ per la quale la somma $s_1$ delle distanze da $A$, $B$ e $C$ a $\mathcal{D}$ è minima. Indicare che questa riga è unica se $ABC$ non è uguale e caratterizzarla.

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The butcher who rounds every price to the nearest whole euro: from two found receipts with rounded totals, find all possible whole-euro-rounded prices per kilo of chops and roast, and explain why all the day’s receipts cannot determine the exact prices.

Problem 3: The “round” accounts.

My butcher never counts the cents. For example, I took 300g of fillet at 34.3 euros the kilo, 240g of minced meat at 8.6 euros the kilo, and 640g of chicken breast at 12.99 euros the kilo: I paid 10 euros for the fillet, 2 euros for the minced meat and 8 euros for the chicken, that is 20 euros in all.

1. While picking up two receipts dropped on the ground, the butcher reads:

• 750g of chops, 250g of roast. Total: 18 euros;

• 250g of chops, 500g of roast. Total: 17 euros. What can the possible prices for the kilo of chops and the kilo of roast be (one will give all the solutions)?

2. Why can the data of all the receipts of the day in no case allow one to determine the exact price of each of the products sold?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il macellaio che arrotonda ogni prezzo al euro intero più vicino: da due ricevute trovate con totali arrotondati, trova tutti i possibili prezzi arrotondati in euro intero per chilo di ciocco e tostato e spiega perché le ricevute di tutti i giorni non possono determinare i prezzi esatti.

Il problema 3: i conti “rondati”.

Il mio macellaio non conta mai. Per esempio, ho preso 300 g di fileto a 34,3 euro al chilo, 240 g di carne piccante a 8,6 euro al chilo e 640 g di seno di pollo a 12,99 euro al chilo: ho pagato 10 euro per il fileto, 2 euro per la carne piccante e 8 euro per il pollo, cioè 20 euro in totale.

1. Mentre raccoglie due ricevute cadute a terra, il macellaio legge: - 750 grammi di ciocche, 250 grammi di tostato. Complesso: 18 euro; - 250 g di ciocche, 500 g di rosta. Total: 17 euro. Quali possono essere i possibili prezzi per il chilo di ciocche e il chilo di rossato (un dato darà tutte le soluzioni)?

2. Perché i dati relativi a tutti i ricevute del giorno non permettono in nessun caso di determinare il prezzo esatto di ciascuno dei prodotti venduti?

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