Concours Général des Lycées 2009 — Matematica

Functional equation f(2x)=2f(x)^2-1 with f(0)=1; show f(x)=cos(xsqrt(2a)) using trig substitution and limits.*

Problem 1: Analysis. The goal of the exercise is to find the functions $f$ defined on $\mathbb{R}$, taking values in the interval $[-1,1]$, satisfying for every real $x$ the relation $f(2x)=2f(x{)}^2-1$, such that $f(0)=1$ and such that $\frac{1-f(x)}{x^2}$ admits a limit as $x$ tends to $0$, which will be denoted $a$. Recall that every $x$ in $[-1,1]$ can be written in a unique way as $x=\cos (\theta )$ with $\theta$ in $[0,\pi ]$.

1. (a) Verify ${\lim }_{\theta \to 0}\frac{1-\cos (\theta )}{{\theta }^2}=\frac{1}{2}$. (One may use a formula giving $\cos (2\alpha )$.) (b) Show, for $\theta$ in $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, the relations: $\frac{2\theta }{\pi }\le \sin (\theta )$ and $\cos (\theta )\le 1-\frac{{\theta }^2}{\pi }$.

2. Let $f$ be a solution function of the problem. We are given a real $x$ and we set, for every natural integer $n$, $f\left(\frac{x}{2^n}\right)=\cos ({\theta }_n)$, with ${\theta }_n$ in $[0,\pi ]$. (a) Show that $f$ is continuous at $0$ and that ${\lim }_{n\to +\infty }{\theta }_n=0$. (b) Verify the existence of an integer $N$ such that for $n\ge N$ one has ${\theta }_{n+1}=\frac{{\theta }_n}{2}$. (c) Establish that $a$ is positive and that $f(x)=\cos \left(x\sqrt{2a}\right)$.

Topic: Equazioni funzionali, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Equazione funzionale f(2x)=2f(x)^2-1 con f(0)=1; mostrare f(x)=cos(xsqrt(2a)) utilizzando la sostituzione dei trigini e i limiti.*

Problema 1: analisi. L’obiettivo dell’esercizio è quello di trovare le funzioni $f$ definite su $\mathbb{R}$, prendendo valori nell’intervallo $[-1,1]$, soddisfacendo per ogni $x$ reale la relazione $f(2x)=2f(x{)}^2-1$, in modo tale che $f(0)=1$ e in modo tale che $\frac{1-f(x)}{x^2}$ ammetta un limite come $x$ tende a $0$, che sarà indicato $a$. Ricordiamo che ogni $x$ in $[-1,1]$ può essere scritto in modo unico come $x=\cos (\theta )$ con $\theta$ in $[0,\pi ]$.

1. (a) Verificare ${\lim }_{\theta \to 0}\frac{1-\cos (\theta )}{{\theta }^2}=\frac{1}{2}$. (Si può usare una formula che dà $\cos (2\alpha )$.) (b) Indicare, per $\theta$ in $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, le relazioni: $\frac{2\theta }{\pi }\le \sin (\theta )$ e $\cos (\theta )\le 1-\frac{{\theta }^2}{\pi }$.

2. Lasciate che $f$ sia una funzione di soluzione del problema. Ci viene dato un reale $x$ e impostare, per ogni intero naturale $n$, $f\left(\frac{x}{2^n}\right)=\cos ({\theta }_n)$, con ${\theta }_n$ in $[0,\pi ]$. (a) Indicare che $f$ è continuo a $0$ e che ${\lim }_{n\to +\infty }{\theta }_n=0$. b) Verificare l’esistenza di un numero intero $N$ tale che per $n\ge N$ si trovi ${\theta }_{n+1}=\frac{{\theta }_n}{2}$. c) Stabilire che $a$ è positivo e che $f(x)=\cos \left(x\sqrt{2a}\right)$.

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Four 20-sided dice; score the face value if a face appears at least twice; compute probabilities, expected gain, and reroll strategies.

Problem 2: Probabilities. I play with 4 dice of 20 faces. Each of these dice, whose shape is an icosahedron, has its faces numbered from 1 to 20. When it is thrown, each face appears on top with the same probability $\frac{1}{20}$. When, among the 4 dice, a face appears at least twice, I score the number of points corresponding to that face. Thus:

• with the combination $3-4-12-16$, I score nothing;

• with the combination $2-8-11-11$, I score $11$ points;

• with the combination $4-9-9-9$, I score $9$ points;

• with the combination $7-7-14-14$, I score $21$ points;

• with the combination $2-2-2-2$, I score $2$ points.

1. What is the probability that I score nothing?
2. Let $a$ be an integer between $1$ and $20$. Determine, for every $k\le 4$, the probability of having exactly $k$ numbers $a$ among the dice thrown.
3. For every $a$ we denote by $X_a$ the random variable which equals $1$ if there are at least two dice equal to $a$ among the four of the throw, and $0$ otherwise. Specify the law of $X_a$ and express the gain $G$ in terms of these variables. How many points can I hope for on average?
4. What is the probability that I score exactly $8$ points?

We now suppose that from now on, after having thrown the 4 dice, I am allowed to rethrow between $0$ and $4$ dice in order to improve my score. 5. I obtained $11-7-2-2$. I hesitate between rethrowing everything, keeping the $11$, and keeping the two $2$s. What should I do? 6. Suppose that I obtained 4 different dice $a_1>a_2>a_3>a_4$. Which dice should I rethrow?

Topic: Probabilità Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Quattro dadi a 20 lati; punteggiare il valore nominale se una faccia appare almeno due volte; calcolare le probabilità, il guadagno atteso e le strategie di rilancio.

Problema 2: Probabilità. Gioco con 4 dadi di 20 volti. Ognuno di questi dadi, la cui forma è un icosaedro, ha le facce numerate da 1 a 20. Quando viene lanciato, ogni faccia appare in cima con la stessa probabilità $\frac{1}{20}$. Quando, tra i 4 dadi, un volto appare almeno due volte, guadagno il numero di punti corrispondenti a quella faccia. Così: - con la combinazione $3-4-12-16$ non guadagno nulla; - con la combinazione $2-8-11-11$ guadagno $11$ punti; - con la combinazione $4-9-9-9$ guadagno $9$ punti; - con la combinazione $7-7-14-14$ guadagno $21$ punti; - con la combinazione $2-2-2-2$ guadagno $2$ punti.

1. Qual e’ la probabilita’ che non faccia niente? 2. $a$ sia un numero intero tra $1$ e $20$. Determinare, per ogni $k\le 4$, la probabilità di avere esattamente $k$ numeri $a$ tra i dadi lanciati. 3. Per ogni $a$ indichiamo con $X_a$ la variabile casuale che è uguale a $1$ se ci sono almeno due dadi uguali a $a$ tra i quattro del lancio, e $0$ altrimenti. Indicare la legge di $X_a$ ed esprimere il guadagno $G$ in termini di queste variabili. Quanti punti posso sperare in media? 4. Qual è la probabilità che guadagni esattamente $8$ punti?

Supponiamo ora che da ora in poi, dopo aver lanciato i 4 dadi, mi sia permesso di lanciare di nuovo tra $0$ e $4$ dadi per migliorare il mio punteggio. 5. Ho ottenuto $11-7-2-2$. Ho esitato tra gettare tutto indietro, mantenere il $11$, e mantenere i due $2$. - Cosa devo fare? 6. Supponiamo che abbia ottenuto 4 dadi diversi. Quali dadi devo gettare di nuovo?

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Periods of finite sequences; for coprime a,b show a sequence with periods a and b of length >= a+b-1 is constant; study the 0/1 sequence V and its symmetry property.

Problem 3: Arithmetic. Given two integers $a$ and $b$, we denote by $[[a,b]]$ the set of integers lying in the broad sense between $a$ and $b$. We consider a finite sequence of $n$ terms $U=(u_1,u_2,\dots ,u_n)$. We say that a strictly positive integer $p$ is a period of $U$ if $u_i=u_{i+p}$ for every integer $i$ such that $1\le i\le n-p$. A sequence may have several periods.

1. We consider two strictly positive integers $a$ and $b$ coprime. (a) We define $r_k$ as the remainder of the division of $ka$ by $a+b$. Show that when $k$ varies in $[[1,a+b-1]]$, $r_k$ takes all the values of $[[1,a+b-1]]$. (b) Deduce that if $a$ and $b$ are periods of $U$ and $n\ge a+b-1$ then $U$ is constant.

2. We now suppose that $a$ and $b$ are strictly positive integers with GCD $d$. Show that if $U$ is periodic of periods $a$ and $b$ and $n\ge a+b-d$, then $U$ is of period $d$.

3. We consider two integers $a$ and $b$ strictly greater than $1$ and coprime. (a) Show that one can partition the interval $[[1,a+b-2]]$ into two non-empty subsets $A$ and $B$ in such a way that the sequence $V$ equal to $1$ on $A$ and to $0$ on $B$ is of periods $a$ and $b$. (b) Is the partition obtained in the previous question unique? Show that, for every $x$ of $A$, $a+b-1-x$ is in $A$. Which property of the sequence $V$ does this express?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Periodi di sequenze finite; per coprime a,b mostrare una sequenza con periodi a e b di lunghezza >= a+b-1 è costante; studiare la sequenza 0/1 V e la sua proprietà di simmetria.

Problema 3: aritmetica. Dati due integri $a$ e $b$, indichiamo con $[[a,b]]$ l’insieme di integri che si trova in senso lato tra $a$ e $b$. Consideriamo una sequenza finita di termini $n$ $U=(u_1,u_2,\dots ,u_n)$. Diciamo che un intero rigorosamente positivo $p$ è un periodo di $U$ se $u_i=u_{i+p}$ per ogni intero $i$ tale che $1\le i\le n-p$. Una sequenza può avere diversi periodi.

1. Consideriamo due integri rigorosamente positivi $a$ e $b$ coprimo. (a) Definiremo $r_k$ come il resto della divisione di $ka$ da $a+b$. Indicare che quando $k$ varia in $[[1,a+b-1]]$, $r_k$ assume tutti i valori di $[[1,a+b-1]]$. b) Riduzione che se $a$ e $b$ sono periodi di $U$ e $n\ge a+b-1$, allora $U$ è costante.

2. Supponiamo ora che $a$ e $b$ siano numeri interi rigorosamente positivi con GCD $d$. Indicare che se $U$ è periodico dei periodi $a$ e $b$ e $n\ge a+b-d$, allora $U$ è periodico $d$.

3. Consideriamo due integri $a$ e $b$ strettamente superiori a $1$ e coprimo. (a) Mostra che si può dividere l’intervallo $[[1,a+b-2]]$ in due sottoinsiemi non vuoti $A$ e $B$ in modo tale che la sequenza $V$ pari a $1$ su $A$ e a $0$ su $B$ sia di periodi $a$ e $b$. (b) La divisione ottenuta nella domanda precedente è unica? Indicare che per ogni $x$ di $A$, $a+b-1-x$ è in $A$. Quale proprietà della sequenza $V$ esprime questo?

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