Concours Général des Lycées 2010 — Matematica

Geometric configuration: circles of diameter [AC] and [BC] tangent at C, homotheties between three circles, collinearity and radius relation

Problem 1: A geometric configuration.

In the plane, let $A$, $B$, $C$ be three distinct points such that $B$ does not lie on the segment $[AC]$. Let $\Gamma$ be the circle of diameter $[AC]$, let ${\Gamma }^{\prime }$ be the circle of diameter $[BC]$, and let $D$ be the point diametrically opposite to $A$ on $\Gamma$. One supposes that the circles $\Gamma$ and ${\Gamma }^{\prime }$ are tangent at $C$.

1. Justify that the lines $\Delta =(CF)$ and $(BD)$ are parallel. Denote by $G$ their point of intersection.

2. Show that there exists a homothety with center $C$ that transforms $\gamma$ into $\Gamma$, and a homothety with center $F$ that transforms $\Gamma$ into ${\gamma }^{\prime }$.

3. Determine the centers of the homotheties that transform $\gamma$ into ${\gamma }^{\prime }$.

4. Let $AB=(\Delta )$. Show that the points $A$, $I$, $D$ are aligned on a line orthogonal to $(GD)$.

5. Show that $AB=GD$.

6. Express the radius $r^{\prime }$ of ${\gamma }^{\prime }$ as a function of the radii $R$ and $r$ of $\Gamma$ and $\gamma$.

(Note: the printed statement uses several point/circle labels that are partly illegible in the source scan; see warnings.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Configurazione geometrica: cerchi di diametro [AC] e [BC] tangenti a C, omogeneità tra tre cerchi, collinearità e rapporto di raggio

Problema 1: Una configurazione geometrica.

Nel piano, $A$, $B$, $C$ siano tre punti distinti in modo tale che $B$ non si trovi sul segmento $[AC]$. $\Gamma$ sia il cerchio di diametro $[AC]$, ${\Gamma }^{\prime }$ sia il cerchio di diametro $[BC]$, e $D$ sia il punto diametralmente opposto a $A$ su $\Gamma$. Si suppone che i cerchi $\Gamma$ e ${\Gamma }^{\prime }$ siano tangenti a $C$.

1. giustificare che le linee $\Delta =(CF)$ e $(BD)$ siano parallele. Indicare con $G$ il loro punto di intersezione.

2. Mostrare che esiste un’omogeneità con centro $C$ che trasforma $\gamma$ in $\Gamma$, e un’omogeneità con centro $F$ che trasforma $\Gamma$ in ${\gamma }^{\prime }$.

3. Determinare i centri delle omotesi che trasformano $\gamma$ in ${\gamma }^{\prime }$.

4. Let $AB=(\Delta )$. Indicare che i punti $A$, $I$, $D$ sono allineati su una linea ortogonale a $(GD)$.

5. Mostra che $AB=GD$.

6. Esprimere il raggio $r^{\prime }$ di ${\gamma }^{\prime }$ come funzione dei raggi $R$ e $r$ di $\Gamma$ e $\gamma$.

(Nota: la dichiarazione stampata utilizza diverse etichette di punti/cerchi che sono parzialmente illeggibili nella scansione sorgente; vedi avvertenze.)

src_cgen_2010__Q01

Counting triangles on n points (no 3 collinear): maximal number t(n) under a shared-vertices condition, and minimal number s(n) under a chaining condition

Problem 2: Some geometric configurations.

In the plane, one considers $n$ points ($n\ge 3$) of which no three are ever collinear. One constructs all the triangles whose vertices are chosen among these $n$ points, and one requires the following condition:

Two distinct triangles, taken pairwise, have either zero or two vertices in common, but never exactly one.

Denote by $t(n)$ the maximal number of triangles one can thus form.

1. Verify that $t(4)=4$, then determine $t(5)$ and $t(6)$.

2. Suppose $t(n)\le n$; deduce from this the value of $t(n)$ as a function of $n$.

One now considers the following condition on the triangles that can be formed:

Two distinct triangles that can be formed have a pair of vertices in common; in other words, one can pass from one triangle to the next.

Denote also by $s(n)$ the minimal number of triangles one can form respecting the preceding conditions (with the initial vertices).

3. Verify that $s(4)=3$, then determine $s(5)$ and $s(6)$.

4. Determine $s(n)$ as a function of $n$.

(Note: the precise wording of the two conditions is partly illegible in the source scan; see warnings.)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Conteggio di triangoli su n punti (non 3 collineari): numero massimo t(n) in condizione di vertici condivisi e numero minimo s(n) in condizione di catenazione

Problema 2: Alcune configurazioni geometriche.

Nel piano, si considera $n$ punti ($n\ge 3$) di cui non tre sono mai collineari. Si costruiscono tutti i triangoli le cui vertici sono scelte tra questi punti $n$, e si richiede la seguente condizione:

Due triangoli distinti, presi in coppia, hanno zero o due vertici in comune, ma mai esattamente uno.

Denotare con $t(n)$ il numero massimo di triangoli che si possono così formare.

1. Verificare che $t(4)=4$, quindi determinare $t(5)$ e $t(6)$.

2. Supponiamo $t(n)\le n$; ne deduciamo il valore di $t(n)$ come funzione di $n$.

Si considera ora la seguente condizione sui triangoli che possono essere formati:

Due triangoli distinti che possono essere formati hanno una coppia di vertici in comune; in altre parole, uno può passare da un triangolo all’altro.

Indicare anche con $s(n)$ il numero minimo di triangoli che si possono formare rispettando le condizioni precedenti (con i vertici iniziali).

3. Verificare che $s(4)=3$, quindi determinare $s(5)$ e $s(6)$.

4. Determinare $s(n)$ come funzione di $n$.

(Nota: la formulazione precisa delle due condizioni è parzialmente illeggibile nella scansione sorgente; vedere gli avvertimenti.)

src_cgen_2010__Q02

Probabilistic/recursive model of three cell species evolving over generations: compatibility probability bound, and convergence of proportion sequences under two scenarios

Problem 3: On life on Mars!

(Narrative introduction, paraphrased from the source: a biologist, having learned of a discovery from the University of the Italian Union, has succeeded in observing what no one had managed to observe before, the cells of the ‘Bouquet Royal’. It is a primitive form of life; the organisms measure no more than a millionth of a millimetre, which is part of the difficulty of observing them. With only partial information, the scientists try to observe the following facts.)

With only partial information, the scientists try to observe the following facts:

• There are three species of cells, denoted $A$, $B$ and $C$.

• The reproduction of cells involves the participation of three ‘parent’ cells.

• Reproduction happens only if the three parents are ‘compatible’, that is to say if more than one of them are of the same kind (at least two of the three parents belong to the same species).

1. One observes the respective proportions $a$, $b$, $c$ of the cells of the different species, with $a+b+c=1$.

   a. What is the probability $p$ that three cells taken at random are compatible?

   b. Show that $p\ge \frac{1}{9}$. One may first establish a fixed lower bound $a\ge \dots$.

When the three parents are not all of the same kind, the proportions of the species may vary from one generation to the next, in particular when one species is in minority $\beta$. The scientists hesitate between two models:

• Model 1: the descendant is of the type of the majority species $\alpha$.
• Model 2: the descendant is of the type of the minority species $\beta$.

To evaluate these models, one denotes by $a_n$, $b_n$, $c_n$ the proportions of the different species at generation $n$, with $a_n\ge b_n\ge c_n$.

2. Study of the first scenario. One supposes in this question that the genetics of the cells follows the first scenario.

   a. Verify that: $a_{n+1}=\frac{a_n^2(3-2a_n)}{1-6a_n{b}_n{c}_n},b_{n+1}=\frac{b_n^2(3-2b_n)}{1-6a_n{b}_n{c}_n},c_{n+1}=\frac{c_n^2(3-2c_n)}{1-6a_n{b}_n{c}_n}.$

   b. One recalls in this question and the following ones that $a_n\ge b_n\ge c_n$. Show that for all $n$ one has $a_{n+1}>a_n>b_n>c_n$. Deduce that $a_n>b_n>c_n>0$.

   c. Verify that the sequences $(a_n-b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ and $(b_n-c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ are increasing.

   d. Prove that $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ and $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge and determine their limits.

3. Study of the second scenario. One supposes now that it is the second scenario that is favoured.

   a. Determine $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$ as functions of $a_n$, $b_n$, $c_n$.

   b. One supposes from now on that $1>a_0>b_0>c_0>0$. Show that for all $n$ one has $1>a_n>b_n>c_n>0$.

   c. One sets $f(c)=\frac{3}{2}-3c+\frac{5}{2}{c}^2$ and $g(c)=1-6c^2+12c^3$. Verify that $\frac{c_{n+1}}{c_n}\ge \frac{f(c_n)}{g(c_n)}$.

   d. Determine the limits of $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$.

   e. Which scenario seems to you the most pertinent?

Topic: Probabilità, Algebra, Disuguaglianze Metodo: Ricorsione, Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Modello probabilistico/recursivo di tre specie cellulari che evolvono nel corso delle generazioni: limite di probabilità di compatibilità e convergenza delle sequenze proporzionali in due scenari

Problema 3: sulla vita su Marte!

(Introduzione narrativa, parafrasata dalla fonte: un biologo, dopo aver saputo di una scoperta dell’Università dell’Unione italiana, è riuscito ad osservare ciò che nessuno aveva mai potuto osservare prima, le cellule del “Bouquet Royal”. Si tratta di una forma di vita primitiva; gli organismi misurano non più di un milionesimo di millimetro, il che fa parte della difficoltà di osservarli. Con solo informazioni parziali, gli scienziati cercano di osservare i seguenti fatti.)

Con solo informazioni parziali, gli scienziati cercano di osservare i seguenti fatti:

• Esistono tre specie di cellule, denominate $A$, $B$ e $C$. - La riproduzione delle cellule comporta la partecipazione di tre cellule “padri”. - La riproduzione avviene solo se i tre genitori sono “compatibili”, cioè se più di uno di essi sono della stessa specie (almeno due dei tre genitori appartengono alla stessa specie).

1. Si osservano le rispettive proporzioni $a$, $b$, $c$ delle cellule delle diverse specie, con $a+b+c=1$.

a. Qual è la probabilità $p$ che tre cellule prese a caso siano compatibili?

b. Mostra che $p\ge \frac{1}{9}$. Si può prima stabilire un limite inferiore fisso $a\ge \dots$.

Quando i tre genitori non sono tutti della stessa specie, le proporzioni delle specie possono variare da una generazione all’altra, in particolare quando una specie è minoritaria $\beta$. Gli scienziati esitano tra due modelli:

• Modello 1: il discendente è del tipo della specie maggioritaria $\alpha$. - Modello 2: il discendente è del tipo della specie minoritaria $\beta$.

Per valutare questi modelli, si indicano con $a_n$, $b_n$, $c_n$ le proporzioni delle diverse specie alla generazione $n$, con $a_n\ge b_n\ge c_n$.

2. Studiare il primo scenario. In questa domanda si suppone che la genetica delle cellule segua il primo scenario.

a. Verificare che: $a_{n+1}=\frac{a_n^2(3-2a_n)}{1-6a_n{b}_n{c}_n},b_{n+1}=\frac{b_n^2(3-2b_n)}{1-6a_n{b}_n{c}_n},c_{n+1}=\frac{c_n^2(3-2c_n)}{1-6a_n{b}_n{c}_n}.$

b. In questa e nelle seguenti domande si ricorda che $a_n\ge b_n\ge c_n$. Mostrare che per tutti $n$ uno ha $a_{n+1}>a_n>b_n>c_n$. Riduzione di $a_n>b_n>c_n>0$.

c. Verificare che le sequenze $(a_n-b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ e $(b_n-c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ aumentino.

d. Provare che $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ e $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergono e determinare i loro limiti.

3. Studio del secondo scenario. Si suppone ora che si tratti del secondo scenario favorito.

a. Determinare $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$ come funzioni di $a_n$, $b_n$, $c_n$.

b. Da ora in poi si suppone che $1>a_0>b_0>c_0>0$. Mostrare che per tutti $n$ uno ha $1>a_n>b_n>c_n>0$.

c. Un insieme $f(c)=\frac{3}{2}-3c+\frac{5}{2}{c}^2$ e $g(c)=1-6c^2+12c^3$. Verificare che $\frac{c_{n+1}}{c_n}\ge \frac{f(c_n)}{g(c_n)}$.

d. Determinare i limiti di $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$.

e. Quale scenario ti sembra più pertinente?

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