Concours Général des Lycées 2011 — Matematica

A rectangular bar of length 7 and width a is placed diagonally inside a 6 by 5 rectangular box; find which widths a are admissible.

Problem 1: It fits in the box.

The figure shows a rectangular box, drawn as a rectangle $GFEH$ with $G$ at the top-left, $F$ at the top-right, $E$ at the bottom-right and $H$ at the bottom-left. The bottom side $HE$ has length $6$ and the right side $FE$ has length $5$.

Inside this box one places a rectangular bar $ABCD$ (a long thin rectangle of width $a$), leaning diagonally so that it touches the sides of the box: its corners $A$ and $D$ lie near the bottom-left corner $H$, and its corners $C$ and $B$ lie near the top-right corner $F$. The long side of the bar has length $7$, and its width is denoted $a$ (indicated by the labelled circle $a$ pointing to the short side of the bar near $A$ and $D$). The corners of the bar are right angles.

Which values of $a$ are admissible (i.e. for which widths $a$ does the bar fit in this way)?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Una barra rettangolare di lunghezza 7 e larghezza a è collocata diagonalmente all’interno di una scatola rettangolare 6 per 5; scoprire quali larghezze a sono ammissibili.

Problema 1: Si inserisce nella scatola.

La figura mostra una scatola rettangolare, disegnata come rettangolare $GFEH$ con $G$ in alto a sinistra, $F$ in alto a destra, $E$ in basso a destra e $H$ in basso a sinistra. Il lato inferiore $HE$ è lungo $6$ e il lato destro $FE$ è lungo $5$.

All’interno di questa scatola si colloca una barra rettangolare $ABCD$ (un lungo rettangolo sottile di larghezza $a$), inclinata diagonalmente in modo da toccare i lati della scatola: i suoi angoli $A$ e $D$ si trovano vicino all’angolo inferiore sinistro $H$, e i suoi angoli $C$ e $B$ si trovano vicino all’angolo superiore destro $F$. Il lato lungo della barra ha lunghezza $7$ e la sua larghezza è indicata come $a$ (indicato dal cerchio etichettato $a$ che indica il lato corto della barra vicino a $A$ e $D$). Gli angoli del bar sono angoli retti.

Quali valori di $a$ sono ammissibili (ad es. per quali larghezze $a$ la barra si adatta in questo modo)?

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Capacity of a coin purse: largest M such that every amount from 1 to M can be paid, first without change then with change; optimize the denominations.

Problem 2: Give the change!

A buyer has in his purse $n$ coins. We denote $a_1,\dots ,a_n$ the face values of these coins - these are strictly positive integers. Let us agree to call the capacity of this purse the largest integer $M$ such that one can pay, without giving change, every (whole) sum from $1$ to $M$. We denote $C(a_1,\dots ,a_n)$ the capacity of the purse containing the coins $a_1,\dots ,a_n$.

1. Without change. In this question we assume that $a_1=1$ and $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$.

a. Compute the capacities $C(1,2,4)$, $C(1,2,5)$ and $C(1,2,3,4,5)$.

b. Let $j$ be a whole number between $1$ and $n-1$, and let us fix the numbers $a_1,\dots ,a_j$. Under what condition on $a_{j+1}$ does one have $C(a_1,\dots ,a_j)\ne C(a_1,\dots ,a_j,a_{j+1})$?

c. Give a method to compute $C(a_1,\dots ,a_n)$.

d. Fix $n$. How should one choose the integers $a_1,\dots ,a_n$ so that the capacity $C(a_1,\dots ,a_n)$ is as large as possible?

2. With change. The merchant at whose shop our buyer goes shopping also has a purse, allowing him to give change. Let us fix integers $n$ and $p$. Let us call common capacity the largest integer $M$ such that one can pay (i.e. carry out the transaction) every whole sum from $1$ to $M$. How should one choose the purses $(a_1,\dots ,a_n)$ of the buyer and $(v_1,\dots ,v_p)$ of the seller so that they offer the largest possible common capacity?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Capacità di una borsa di monete: M più grande in modo che ogni importo da 1 a M possa essere versato, prima senza cambiamento e poi con cambiamento; ottimizzare le denominazioni.

Problema 2: Date il cambio!

Un acquirente ha nella borsa delle monete $n$. Indichiamo $a_1,\dots ,a_n$ i valori facciali di queste monete - sono numeri interi strettamente positivi. Accordiamo di chiamare la capacità ** di questa borsa il numero intero più grande $M$ in modo che si possa pagare, senza cambiare, ogni somma (intera) da $1$ a $M$. Indichiamo $C(a_1,\dots ,a_n)$ la capacità della borsa contenente le monete $a_1,\dots ,a_n$.

**1. In questa domanda presumiamo che $a_1=1$ e $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$.

a. Calcolare le capacità $C(1,2,4)$, $C(1,2,5)$ e $C(1,2,3,4,5)$.

b. $j$ sia un numero intero tra $1$ e $n-1$, e fichiamo i numeri $a_1,\dots ,a_j$. In quale condizione si ha un $C(a_1,\dots ,a_j)\ne C(a_1,\dots ,a_j,a_{j+1})$ su $a_{j+1}$?

c. Indicare un metodo per calcolare $C(a_1,\dots ,a_n)$.

d. Risolvi $n$. Come si scelgono gli enti $a_1,\dots ,a_n$ in modo che la capacità $C(a_1,\dots ,a_n)$ sia il più grande possibile?

2. Con il cambio. Il commerciante al quale il nostro acquirente va a fare acquisti ha anche una borsa, che gli consente di dare il cambio. Fissamo gli integri $n$ e $p$. Chiamiamo capacità comune il numero intero più grande $M$ in modo che si possa pagare (cioè effettuare l’operazione) ogni importo intero da $1$ a $M$. Come si possono scegliere i portafogli $(a_1,\dots ,a_n)$ dell’acquirente e $(v_1,\dots ,v_p)$ del venditore, in modo da offrire la massima capacità comune possibile?

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On the m-th roots of unity U_m, study existence of f: U_{2n} -> U_{2n} with f(f(z))=z^2; analyze cases by n and construct solutions for odd n.

Problem 3: The root of the square.

We consider the set $U_m=\left\{\exp \left(\frac{2ik\pi }{m}\right)\mid 0\le k\le m-1\right\}$; recall that this is also the set of the complex $m$-th roots of unity, that is, the set of complex numbers $z$ satisfying $z^m=1$.

We are given a strictly positive integer $n$ and we seek whether there exists a function $f:U_{2n}⟶U_{2n}$ satisfying $f(f(z))=z^2$ for all $z$ in $U_{2n}$.

1. Show that the set $\{z^2\mid z\in U_{2n}\}$ is equal to $U_n$, and that it is included in $U_{2n}$.

2. Suppose there exists a solution $f$ to the considered problem.

a. Verify that $f(z^2)=(f(z){)}^2$ for all $z$ in $U_{2n}$.

b. Show that $f(z)=f(z^{\prime })⟹z=\pm z^{\prime }$ and that $f(1)=f(-1)=1$.

3. Depending on the value of $n$, does there exist an element $z$ of $U_{2n}$ that satisfies $z^2=-1$? If so, verify that there is then no solution $f$.

4. Depending on the value of $n$, does there exist an element $z$ of $U_{2n}$ that satisfies $z^3=1$ with $z\ne 1$? If so, verify that there is then no solution $f$.

5. We assume throughout the rest of the statement that the integer $n$ is odd.

a. Verify that the function $g$ from $U_n$ to itself which to $z$ belonging to $U_n$ associates $z^2$ is bijective.

b. Suppose there exists a solution $f$ to the problem. Verify that there exists a map $\phi :U_n⟶U_n$ such that $\phi \circ \phi =g$.

c. Conversely, suppose there exists a function $\phi :U_n⟶U_n$ such that $\phi \circ \phi =g$. Construct then a solution $f$ to the problem.

d. Example: take $n=5$; say whether there exists a solution to the problem, and if so construct one.

e. Same question with $n=7$ then $n=9$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Biiezione, Casework, Congruenze Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sulle radici m di unità U_m, studiare l’esistenza di f: U_{2n} -> U_{2n} con f(f(z))=z^2; analizzare i casi per n e costruire soluzioni per n odd.

Problema 3: La radice del quadrato.

Consideriamo l’insieme $U_m=\left\{\exp \left(\frac{2ik\pi }{m}\right)\mid 0\le k\le m-1\right\}$; ricordiamo che questo è anche l’insieme delle radici complesse $m$-th di unità, cioè l’insieme dei numeri complessi $z$ che soddisfano $z^m=1$.

Ci viene dato un intero rigorosamente positivo $n$ e cerchiamo se esiste una funzione $f:U_{2n}⟶U_{2n}$ che soddisfi $f(f(z))=z^2$ per tutti $z$ in $U_{2n}$.

1. Indicare che l’insieme $\{z^2\mid z\in U_{2n}\}$ è uguale a $U_n$ e che è incluso in $U_{2n}$.

** 2. ** Supponiamo che esista una soluzione $f$ al problema considerato.

a. Verificare che $f(z^2)=(f(z){)}^2$ per tutti $z$ in $U_{2n}$.

b. Indicare che $f(z)=f(z^{\prime })⟹z=\pm z^{\prime }$ e che $f(1)=f(-1)=1$.

3. A seconda del valore di $n$, esiste un elemento $z$ di $U_{2n}$ che soddisfi $z^2=-1$? In tal caso, verificare che non vi sia soluzione $f$.

4. A seconda del valore di $n$, esiste un elemento $z$ di $U_{2n}$ che soddisfi $z^3=1$ con $z\ne 1$? In tal caso, verificare che non vi sia soluzione $f$.

5. Supponiamo nel resto dell’affermazione che il numero intero $n$ sia impar.

a. Verificare che la funzione $g$ da $U_n$ a se stessa che appartiene a $z$ associati $U_n$ $z^2$ sia biattiva.

b. Supponiamo che esista una soluzione $f$ al problema. Verificare che esiste una mappa $\phi :U_n⟶U_n$ tale da $\phi \circ \phi =g$.

c. Al contrario, supponiamo che esista una funzione $\phi :U_n⟶U_n$ tale da $\phi \circ \phi =g$. Costruire quindi una soluzione $f$ al problema.

d. Esempio: prendere $n=5$; dire se esiste una soluzione al problema e, se sì, costruirla.

e. La stessa domanda con $n=7$ e poi $n=9$.

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