Concours Général des Lycées 2013 — Matematica

Superbe sequences of positive integers where every term divides the sum of all terms; characterize lengths 2-4, distinctness, primes, arithmetic ones, infinite magnifique sequences, and extensions.

Problem 1: Of superbe sequences.

In this problem, we consider finite sequences $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ of strictly positive integers, where $n$ is an integer greater than or equal to $2$, called the length of the finite sequence.

We say that a finite sequence of strictly positive integers is superbe if each of its terms divides the sum of all the terms.

For example, the sequence $(1,2,1,2,1,2,1,2)$ is superbe of length $8$ because $1+2+1+2+1+2+1+2=12$, which is divisible by $1$ and by $2$; the sequence $(3,3,6,12)$ is superbe of length $4$ because the sum of the terms equals $24$, which is a multiple of $3$, $6$, $12$.

1. Determine the strictly positive integers $b$ such that the sequence $(21,7,b)$ is superbe.

2. a. Determine the superbe sequences of length $2$, then those of length $3$. b. Determine the superbe sequences of length $4$ whose sum of terms equals $2013$.

3. a. Show that, for every integer $n⩾3$, there exists a superbe sequence of length $n$ whose terms are all distinct. b. Show that, if $n⩾2$, there does not exist a superbe sequence of length $n$ whose terms are pairwise distinct prime numbers.

4. Let $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ be a finite arithmetic sequence with strictly positive common difference. Show that if this sequence is superbe then $n=3$.

5. We say that an (infinite) sequence $(a_k{)}_{k⩾1}$ of strictly positive integers is magnifique if, for every integer $n⩾2$, the finite sequence $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ is superbe. Determine the magnifique sequences $(a_k{)}_{k⩾1}$ satisfying $a_k<a_{k+1}$ for every integer $k⩾2$.

6. Let $n$ be an integer greater than or equal to $4$, and let $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ be a finite sequence, not necessarily superbe, of pairwise distinct strictly positive integers. a. Show that it is possible to extend the sequence so as to obtain a superbe sequence. b. Show that it is possible to extend the sequence so as to obtain a superbe sequence whose terms are all distinct.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sare sequenze di numeri interi positivi in cui ogni termine divide la somma di tutti i termini; caratterizzare lunghezze 2-4, distinzione, numeri primi, quelli aritmetici, infinite magnifique sequenze e estensioni.

Problema 1: di sequenze superbe.

In questo problema, consideriamo le sequenze finite $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ di numeri interi rigorosamente positivi, dove $n$ è un numero intero maggiore o uguale a $2$, chiamato * lunghezza* della sequenza finita.

Diciamo che una sequenza finita di enti interi strettamente positivi è superbe se ciascuno dei suoi termini divide la somma di tutti i termini.

Ad esempio, la sequenza $(1,2,1,2,1,2,1,2)$ è superba di lunghezza $8$ perché $1+2+1+2+1+2+1+2=12$, che è divisibile da $1$ e da $2$; la sequenza $(3,3,6,12)$ è superba di lunghezza $4$ perché la somma dei termini è uguale a $24$, che è un multiple di $3$, $6$, $12$.

1. Determinare i numeri interi rigorosamente positivi $b$ in modo tale che la sequenza $(21,7,b)$ sia superba.

2. a. Determinare le sequenze superbe di lunghezza $2$, poi quelle di lunghezza $3$. b. Determinare le sequenze superbe di lunghezza $4$ la cui somma di termini è uguale a $2013$.

3. a. Mostra che, per ogni numero intero $n⩾3$, esiste una sequenza superba di lunghezza $n$ i cui termini sono tutti distinti. b. Mostrare che, se $n⩾2$, non esiste una sequenza superbe di lunghezza $n$ i cui termini sono numeri primi separati in coppia.

**4. ** $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ sia una sequenza aritmetica finita con differenza comune rigorosamente positiva. Mostrare che se questa sequenza è superbe allora $n=3$.

5. Diciamo che una sequenza (infinita) $(a_k{)}_{k⩾1}$ di enti interi rigorosamente positivi è magnifique se, per ogni intero $n⩾2$, la sequenza finita $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ è superbe. Determinare le sequenze magnifiche $(a_k{)}_{k⩾1}$ che soddisfano $a_k<a_{k+1}$ per ogni numero intero $k⩾2$.

6. $n$ sia un numero intero maggiore o uguale a $4$, e $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ sia una sequenza finita, non necessariamente superba, di numeri interi strettamente positivi separati in coppia. a. Mostrare che è possibile estendere la sequenza per ottenere una sequenza superba. b. Mostrare che è possibile estendere la sequenza in modo da ottenere una sequenza superba i cui termini sono tutti distinti.

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Skew lines and transversals in space; a quadric surface S given by xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0 containing three cube edges D1,D2,D3; lines meeting S in 0,1,2 points; transversals to four lines.

Problem 2: Tire a quatre epingles.

1. In space, let $D_1,D_2$ be two non-coplanar (skew) lines and let $M$ be a point belonging neither to $D_1$ nor to $D_2$. Show that there exists at most one line passing through $M$ and cutting both $D_1$ and $D_2$. In which case does none exist?

Space being equipped with an orthonormal frame, let $ABCDEFGH$ be the cube whose vertices have coordinates $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$, $G(1,1,1)$, $H(0,1,1)$. Let $D_1,D_2$ and $D_3$ be respectively the lines $(EF)$, $(BC)$ and $(DH)$. Finally, let $\mathcal{S}$ be the set of points with coordinates $M(x,y,z)$ such that: $xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0$

2. Give a parametric representation of each of the lines $D_1,D_2$ and $D_3$.

3. Show that the lines $D_1,D_2$ and $D_3$ are contained in $\mathcal{S}$.

4. Show that every line of space not contained in $\mathcal{S}$ meets $\mathcal{S}$ in $0$, $1$ or $2$ points.

5. Deduce that every line cutting the lines $D_1,D_2$ and $D_3$ is contained in $\mathcal{S}$.

6. Let $D_4$ be a line that meets none of the lines $D_1,D_2,D_3$ and is not contained in $\mathcal{S}$. Show that there exist at most two lines of space cutting the four lines $D_1,D_2,D_3,D_4$.

Topic: Geometria analitica, Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Gli sottili e le trasversali nello spazio; una superficie quadrica S data da xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0 contenente tre bordi cubi D1,D2,D3; linee che incontrano S in 0,1,2 punti; le trasversali a quattro linee.

Problema 2: Pinta un quadrupingle.

1. nello spazio, $D_1,D_2$ siano due linee non coplanari e $M$ sia un punto che non appartiene né a $D_1$ né a $D_2$. Indicare che esiste almeno una linea che attraversa $M$ e taglia sia $D_1$ che $D_2$. In quale caso non esiste?

Se lo spazio è dotato di una cornice ortonormale, $ABCDEFGH$ deve essere il cubo le cui vertici hanno le coordinate $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$, $G(1,1,1)$, $H(0,1,1)$. Le linee $D_1,D_2$ e $D_3$ sono rispettivamente $(EF)$, $(BC)$ e $(DH)$. Infine, $\mathcal{S}$ sia l’insieme di punti con coordinate $M(x,y,z)$ in modo tale che: $xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0$

2. Indicare una rappresentazione parametrica di ciascuna delle linee $D_1,D_2$ e $D_3$.

3. Indicare che le righe $D_1,D_2$ e $D_3$ sono contenute in $\mathcal{S}$.

4. Indicare che ogni linea di spazio non contenuta in $\mathcal{S}$ incontra $\mathcal{S}$ nei punti $0$, $1$ o $2$.

5. Deduce che ogni linea che taglia le linee $D_1,D_2$ e $D_3$ è contenuta in $\mathcal{S}$.

6. $D_4$ deve essere una riga che non risponde a nessuna delle linee $D_1,D_2,D_3$ e non è contenuta in $\mathcal{S}$. Mostrare che esistono al massimo due linee di spazio che tagliano le quattro linee $D_1,D_2,D_3,D_4$.

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Sisyphe’s dice game on 106 cells: wins by reaching/passing cell 100, loses on a prime cell below 100. Probabilities p_n, the position variable X, an algorithm for P(X=k), and an estimate of the gain probability via conditional probabilities alpha_p over consecutive primes.

Problem 3: Il faut passer les premiers (One must let the primes pass).

For this problem, we are given the list of the twenty-five prime numbers less than $100$: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$

To play a game of solitaire (une reussite), Sisyphe has drawn on the ground $106$ cells numbered from $0$ to $105$, and he has a token and a (fair) six-sided die. Sisyphe begins the game by placing the token on cell $0$. He then makes a series of die rolls; when the die shows the value $k$, he moves the token forward by $k$ cells and:

• if he reaches or passes cell number $100$, Sisyphe has won;
• if he lands on a cell whose number is a prime number less than $100$, Sisyphe has lost;
• in the other cases, Sisyphe rolls the die again and continues the game.

1. In this question, we assume that Sisyphe starts a new game whenever he has lost. Let $p_n$ denote the probability of winning at least one game in at most $n$ die rolls. a. Determine the values of $n$ for which $p_n>0$. b. Study the convergence of the sequence $(p_n)$.

In the remainder of the problem, Sisyphe no longer starts a new game if he loses. Let $X$ be the random variable representing the position of the token at the end of the game. We denote by $\mathbb{P}(X=k)$ the probability of the event $X=k$.

2. a. Determine $\mathbb{P}(X=2)$, $\mathbb{P}(X=3)$, $\mathbb{P}(X⩾4)$, $\mathbb{P}(X=5)$. b. Propose an algorithm to compute $\mathbb{P}(X=k)$ for every $k\in \{0,\dots ,105\}$.

3. Equipped with a calculator that is not powerful enough to execute the preceding algorithm, Sisyphe seeks to estimate his probability of gain. To this end, given two consecutive prime numbers $p<p^{\prime }$, he considers ${\alpha }_p$ the conditional probability of the event $X=p^{\prime }$ given the event $X>p$. a. What are the values of ${\alpha }_2$ and ${\alpha }_3$? b. Give the expression of the gain probability, $\mathbb{P}(G)=\mathbb{P}(X⩾100)$, in terms of the real numbers ${\alpha }_p$ for $p=2,3,5,\dots$ c. Give an enclosure (encadrement) of the numbers ${\alpha }_p$ and deduce from it an enclosure of $\mathbb{P}(G)$. (In this question, the quality of the enclosure will be a criterion of appreciation.)

Topic: Probabilità, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Disuguaglianze Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il gioco dei dadi di Sisyphe su 106 cellule: vince raggiungendo/passando la cellula 100, perde su una cellula primaria inferiore a 100. Probabilità p_n, la variabile di posizione X, un algoritmo per P(X=k), e una stima della probabilità di guadagno tramite probabilità condizionate alfa_p su numeri primi consecutivi.*

Il problema 3: Il faut passer les premiers (Bisogna lasciare passare i primi).

Per questo problema, ci viene dato l’elenco dei venticinque numeri primi meno $100$: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$

Per giocare a un gioco di solitaire (une reussite), Sisyphe ha disegnato sul terreno $106$ cellule numerate da $0$ a $105$, e ha un token e un dado a sei lati (giusto). Sisyphe inizia il gioco mettendo il token sulla cella $0$. Fa poi una serie di rulli di die; quando il dado mostra il valore $k$, muove il token in avanti con le celle $k$ e: - se raggiunge o passa il numero di cellula $100$, Sisyphe ha vinto; - se atterra su una cellula il cui numero è un numero primo inferiore a $100$, Sisyphe ha perso; - negli altri casi, Sisyphe rulla di nuovo il dado e continua il gioco.

In questa domanda, supponiamo che Sisyphe inizia una nuova partita ogni volta che ha perso. $p_n$ indichi la probabilità di vincere almeno una partita in un numero massimo di $n$ die roll. a. Determinare i valori di $n$ per i quali $p_n>0$. b. Studiare la convergenza della sequenza $(p_n)$.

Nel resto del problema, Sisyphe non inizia più una nuova partita se perde. Che $X$ sia la variabile casuale che rappresenta la posizione del token alla fine della partita. Indichiamo con $\mathbb{P}(X=k)$ la probabilità dell’evento $X=k$.

2. a. Determina $\mathbb{P}(X=2)$, $\mathbb{P}(X=3)$, $\mathbb{P}(X⩾4)$, $\mathbb{P}(X=5)$. b. Proporre un algoritmo per calcolare $\mathbb{P}(X=k)$ per ogni $k\in \{0,\dots ,105\}$.

Dotato di una calcolatrice non abbastanza potente da eseguire l’algoritmo precedente, Sisyphe cerca di stimare la sua probabilità di guadagno. A tal fine, dato due numeri primi consecutivi $p<p^{\prime }$, egli considera ${\alpha }_p$ la probabilità condizionale dell’evento $X=p^{\prime }$ dato l’evento $X>p$. a. Quali sono i valori di ${\alpha }_2$ e ${\alpha }_3$? b. Indicare l’espressione della probabilità di guadagno, $\mathbb{P}(G)=\mathbb{P}(X⩾100)$, in termini di numeri reali ${\alpha }_p$ per $p=2,3,5,\dots$ c. Indicare un allegato (quadramento) dei numeri ${\alpha }_p$ e dedurre da esso un allegato di $\mathbb{P}(G)$. (In questa domanda, il criterio di valutazione sarà la qualità dell’allegato.)

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