Concours Général des Lycées 2015 — Matematica

Weight of a finite sequence of reals defined as the max of absolute partial sums; compare Isabelle’s minimal weight I with Clara’s greedy weight C.

Problem 1: Small weights.

For every integer $n\ge 2$, and every finite sequence of $n$ reals $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, the \emph{weight} of the sequence is the largest of the values $|x_1|,|x_1+x_2|,\dots ,|x_1+x_2+\cdots +x_n|$.

For example, for $n=4$ and $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4,4,0,-9)$, the weight of the sequence equals $8$, since: $|x_1|=4,|x_1+x_2|=8,|x_1+x_2+x_3|=8,|x_1+x_2+x_3+x_4|=1.$ For $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-9,4,0,4)$, the weight equals $9$, since: $|x_1|=9,|x_1+x_2|=5,|x_1+x_2+x_3|=5,|x_1+x_2+x_3+x_4|=1.$ Note that the two finite sequences above are formed of the same numbers in a different order and that they have different weights.

1. Determine the weights of the following finite sequences: a. $(3,5,-6,-8,2)$ (so $n=5$). b. $(1,2,3,\dots ,2014,2015,-2015,-2014,\dots ,-2,-1)$ (so $n=4030$). c. In each of the two preceding examples, reorder the terms so as to obtain a smaller weight.

Isabelle and Clara are given the same finite sequence of $n$ reals $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Isabelle wants to reorder it so as to obtain a finite sequence of minimal weight. To do this, she considers all possible orderings of these $n$ reals, determines for each the weight of the corresponding sequence, and chooses an order for which the weight is minimal. Let $I$ denote this minimal weight.

For her part, Clara, more hurried than Isabelle, adopts the following algorithm. She begins by choosing among the $n$ reals one number, denoted $c_1$, so that the value of $|c_1|$ is as small as possible. She then chooses the number $c_2$ among the $n-1$ remaining reals, so that the value of $|c_1+c_2|$ is as small as possible. More generally, having chosen the numbers $c_1,\dots ,c_i$ among the $n$ reals given at the start, she chooses $c_{i+1}$ among the $n-i$ remaining ones so that the value of $|c_1+\cdots +c_i+c_{i+1}|$ is as small as possible. She finally obtains a finite sequence $(c_1,\dots ,c_n)$ of $n$ reals. Let $C$ denote its weight.

2. Determine $I$ and $C$ in the two following cases. a. $n=3$ and $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-4$. b. $n=4$ and $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=-2$.

3. If $n=2$, show that $I=C$.

4. If $n=3$, show that $C\le \frac{3}{2}I$.

5. Let $n$ be an integer greater than or equal to $4$ and let $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ be the finite sequence given to Isabelle and Clara. Set: $M=\max (|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|),S=|x_1+x_2+\cdots +x_n|,N=\max (M,S).$ In other words, $M$ is the largest of the numbers $|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|$. Likewise, $N$ is the largest of the numbers $M$ and $S$. a. Show that $S\le I$. b. Show that $M\le 2I$. c. Show that $C\le N$. d. Deduce that $C\le 2I$. e. Determine $n$ reals $x_1,x_2,\dots ,x_n$ such that $C=2I$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Peso di una sequenza finita di reali definita come il massimo di somme parziali assolute; confronta il peso minimo di Isabelle I con il peso avido di Clara C.

Problema 1: pesi piccoli.

Per ogni numero intero $n\ge 2$ e per ogni sequenza finita di $n$ reale $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, il \emph{peso} della sequenza è il più grande dei valori $|x_1|,|x_1+x_2|,\dots ,|x_1+x_2+\cdots +x_n|$.

Per esempio, per $n=4$ e $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4,4,0,-9)$, il peso della sequenza è uguale a $8$, dal momento che: $|x_1|=4,|x_1+x_2|=8,|x_1+x_2+x_3|=8,|x_1+x_2+x_3+x_4|=1.$ Per $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-9,4,0,4)$, il peso è uguale a $9$, dal momento che: $|x_1|=9,|x_1+x_2|=5,|x_1+x_2+x_3|=5,|x_1+x_2+x_3+x_4|=1.$ Si noti che le due sequenze finite di cui sopra sono formate dai medesimi numeri in un ordine diverso e che hanno pesi diversi.

1. Determinare i pesi delle seguenti sequenze finite: a. $(3,5,-6,-8,2)$ (so $n=5$). b. $(1,2,3,\dots ,2014,2015,-2015,-2014,\dots ,-2,-1)$ (so $n=4030$). c. In ciascuno dei due esempi precedenti, riordinare i termini in modo da ottenere un peso minore.

Isabelle e Clara ricevono la stessa sequenza finita di $n$ reali $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Isabelle vuole riordinarlo in modo da ottenere una sequenza finita di peso minimo. Per fare ciò, considera tutti gli ordini possibili di questi reali $n$, determina per ciascuno il peso della sequenza corrispondente e sceglie un ordine per il quale il peso è minimo. Indicare $I$ questo peso minimo.

Per sua parte, Clara, più affrettata di Isabelle, adotta l’algoritmo seguente. Inizia scegliendo tra i reali $n$ un numero, indicato $c_1$, in modo che il valore di $|c_1|$ sia il più piccolo possibile. Sceglie quindi il numero $c_2$ tra i reali $n-1$ rimanenti, in modo che il valore di $|c_1+c_2|$ sia il più piccolo possibile. Più in generale, dopo aver scelto i numeri $c_1,\dots ,c_i$ tra i reali $n$ dati all’inizio, sceglie $c_{i+1}$ tra i rimanenti $n-i$ in modo che il valore di $|c_1+\cdots +c_i+c_{i+1}|$ sia il più piccolo possibile. Alla fine ottiene una sequenza finita $(c_1,\dots ,c_n)$ di $n$ reali. Indicare $C$ il suo peso.

2. Determinare $I$ e $C$ nei due casi seguenti. a. $n=3$ e $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-4$. b. $n=4$ e $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=-2$.

3. Se $n=2$, indicare che $I=C$.

4. Se $n=3$, indicare che $C\le \frac{3}{2}I$.

5. Che $n$ sia un numero intero maggiore o uguale a $4$ e che $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ sia la sequenza finita data a Isabelle e Clara. Set: $M=\max (|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|),S=|x_1+x_2+\cdots +x_n|,N=\max (M,S).$ In altre parole, $M$ è il più grande dei numeri $|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|$. Allo stesso modo, $N$ è il più grande dei numeri $M$ e $S$. a. Mostra che $S\le I$. b. Mostra che $M\le 2I$. c. Mostra che $C\le N$. d. Riduzione di $C\le 2I$. e. Determinare i valori $n$ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tali da $C=2I$.

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Tetrahedra: centroid and medians, circumscribed sphere, concurrency of altitudes and the orthocentric condition expressed via dot products of line direction vectors.

Problem 2: Tetrahedra.

We call \emph{tetrahedron} the data, in space, of four non-coplanar points $A,B,C,D$. The \emph{edges} of the tetrahedron are the segments $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BC]$, $[BD]$, $[CD]$.

In questions 3 and 3, $ABCD$ denotes a tetrahedron.

1. a. Show that there exists a unique point $G$ such that $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. b. Show that $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A{G}_A}$, where $G_A$ is the centroid of the triangle $BCD$. c. We call \emph{median} issued from $A$ the line joining $A$ to the centroid of the triangle $BCD$, and one defines analogously the three other medians, issued from $B$, from $C$ and from $D$. Show that the medians are concurrent at the point $G$.

2. Show that there exists a unique sphere passing through $A,B,C,D$. It is called the sphere circumscribed to the tetrahedron $ABCD$, and we denote by $O$ its center.

3. We call \emph{altitude} issued from $A$ the line passing through $A$ and orthogonal to the plane $BCD$. One defines analogously the three other altitudes, issued from $B$, from $C$ and from $D$. We say that a tetrahedron of space is \emph{regular} if all its edges have the same length. a. Is it true that the altitudes are concurrent at $O$ if and only if the tetrahedron is regular? b. Are the altitudes necessarily concurrent? c. Is it true that the altitudes are concurrent at $G$ if and only if the tetrahedron is regular?

4. In what follows, the dot product of two vectors $\vec{v}$ and $\vec{w}$ is denoted $\vec{v}\cdot \vec{w}$. Let ${\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_4$ be four distinct non-coplanar lines concurrent at a point $H$. For $1\le i\le 4$ one chooses a unit direction vector ${\vec{u}}_i$ of ${\Delta }_i$ and, for $1\le i,j\le 4$, one sets $c_{ij}={\vec{u}}_i\cdot {\vec{u}}_j$. a. Suppose there exists a tetrahedron $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ whose altitudes are concurrent at $H$ and such that $A_j\in {\Delta }_j$ for all $j\in \{1,2,3,4\}$. Show that $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}$. b. Conversely, if $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}\ne 0$, show that there exists a tetrahedron $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ whose altitudes are concurrent at $H$ and such that $A_j\in {\Delta }_j$ for all $j\in \{1,2,3,4\}$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedri: centriodi e mediani, sfera circonscrita, concomitanza delle altitudini e condizione ortocentrica espressa attraverso i prodotti di punti dei vettori di direzione della linea.

Problema 2: Tetraede.

Chiamiamo i dati, nello spazio, di quattro punti non coplanari $A,B,C,D$ I \emph{edges} del tetraedro sono i segmenti $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BC]$, $[BD]$, $[CD]$.

Nella domanda 3 e 3, $ABCD$ indica un tetraedro.

1. a. Indicare che esiste un punto unico $G$ tale che $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. b. Indicare che $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A{G}_A}$, dove $G_A$ è il centroide del triangolo $BCD$. c. Chiamiamo \emph{median} emesso da $A$ la linea che unisce $A$ al centroide del triangolo $BCD$, e uno definisce analogamente gli altri tre mediani, emessi da $B$, da $C$ e da $D$. Indicare che i mediani sono simultanei al punto $G$.

2. Mostrare che esiste una sfera unica che passa attraverso $A,B,C,D$. Si chiama sfera circoscritta al tetraedro $ABCD$, e noi denotamo con $O$ il suo centro.

3. Chiamiamo \emph{altitude} emesso da $A$ la linea che passa attraverso $A$ e ortogonale al piano $BCD$. Si definiscono in modo analogo le altre tre altitudini, emesse da $B$, da $C$ e da $D$. Diciamo che un tetraedro di spazio è regolare se tutti i suoi bordi hanno la stessa lunghezza. a. È vero che le altitudini sono simultanee a $O$ se e solo se il tetraedro è regolare? b. Le altitudini sono necessariamente contemporanee? c. È vero che le altitudini sono simultanee a $G$ se e solo se il tetraedro è regolare?

4. In quanto segue, il prodotto di due vettori $\vec{v}$ e $\vec{w}$ è indicato $\vec{v}\cdot \vec{w}$. Le linee ${\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_4$ devono essere quattro linee non coplanarie distinte, che sono simultanee in un punto $H$. Per $1\le i\le 4$ si sceglie un vettore di direzione unitario ${\vec{u}}_i$ di ${\Delta }_i$ e, per $1\le i,j\le 4$, un set $c_{ij}={\vec{u}}_i\cdot {\vec{u}}_j$. a. Supponiamo che esista un tetraedro $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ le cui altitudini sono simultanee a $H$ e tale che $A_j\in {\Delta }_j$ per tutti $j\in \{1,2,3,4\}$. Mostrare che $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}$. b. Al contrario, se $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}\ne 0$, dimostrare che esiste un tetraedro $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ le cui altitudini sono simultanee a $H$ e tale che $A_j\in {\Delta }_j$ per tutti $j\in \{1,2,3,4\}$.

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Predictive means: sequences of type A where each term equals the average of the next n terms; show such sequences cannot be bounded above or below, and decide if a non-constant bounded one exists.

Problem 3: Predictive means.

In this problem, we consider sequences $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}=(u_1,u_2,\dots )$ with real values indexed by the nonzero natural numbers. We say that $u_n$ is the predictive mean of the $n$ following terms; the sequence $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ is said to be of type $\mathcal{A}$ if, for every $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $u_n=\frac{u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{2n-1}+u_{2n}}{n}.$

1. Let $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ be a sequence of type $\mathcal{A}$ and let $C$ be a real number. Is the sequence $(u_n-C{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ of type $\mathcal{A}$?

2. Show that every constant sequence is of type $\mathcal{A}$.

3. Let $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ be a sequence of type $\mathcal{A}$. Suppose there exist reals $a,b,c$ such that $u_n=a{n}^2+bn+c$ for every $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Show that $a=b=0$.

4. The aim of this question 4 is to show that no sequence of type $\mathcal{A}$ is bounded above or bounded below, except constant ones. In this question, suppose $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ is a sequence of type $\mathcal{A}$ with non-negative values, and consider an integer $r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. a. Let $p$ be an integer such that $p>r$. Show that there exist nonzero natural numbers $q$ and $q^{\prime }$ such that $q<p\le q^{\prime }$ and $2q{u}_{q^{\prime }}\le u_r\le u_q$. Deduce that $u_p\le 3u_r$. b. For all $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, show that $u_p\le 3u_r$. Deduce, from questions a, b, c and d, that the sequence $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ of type $\mathcal{A}$ is bounded above. c. Let $D$ be a strictly positive real and let $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Show that if $u_p>D$ is not a lower bound (minorant) of the sequence, then so is the appropriate condition. d. Deduce that the sequence $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ is not bounded below. e. Conclude.

5. Does there exist a non-constant bounded sequence of type $\mathcal{A}$?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Medi predittivi: sequenze di tipo A in cui ogni termine è uguale alla media dei prossimi n termini; mostrare che tali sequenze non possono essere delimitate sopra o sotto, e decidere se esiste una sequenza delimitata non costante.

Problema 3: mezzi predittivi.

In questo problema, consideriamo le sequenze $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}=(u_1,u_2,\dots )$ con valori reali indicizzati dai numeri naturali non zero. Diciamo che $u_n$ è la media predittiva dei $n$ seguenti termini; la sequenza $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ si dice sia di tipo $\mathcal{A}$ se, per ogni $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $u_n=\frac{u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{2n-1}+u_{2n}}{n}.$

1. Che $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ sia una sequenza di tipo $\mathcal{A}$ e che $C$ sia un numero reale. La sequenza $(u_n-C{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ è di tipo $\mathcal{A}$?

2. Indicare che ogni sequenza costante è di tipo $\mathcal{A}$.

3. La sequenza $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ deve essere di tipo $\mathcal{A}$. Supponiamo che esistano valori $a,b,c$ tali da $u_n=a{n}^2+bn+c$ per ogni $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Mostra che $a=b=0$.

4. L’obiettivo della presente domanda 4 è di dimostrare che nessuna sequenza del tipo $\mathcal{A}$ è limitata sopra o sotto, tranne quelle costanti. In questa domanda, supponiamo che $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ sia una sequenza di tipo $\mathcal{A}$ con valori non negativi, e consideriamo un intero $r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. a. $p$ sia un numero intero tale che $p>r$. Mostrare che esistono numeri naturali non zero $q$ e $q^{\prime }$ come $q<p\le q^{\prime }$ e $2q{u}_{q^{\prime }}\le u_r\le u_q$. Riduzione di $u_p\le 3u_r$. b. Per tutti $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, indicare che $u_p\le 3u_r$. Dalle domande a, b, c e d si deduce che la sequenza $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ del tipo $\mathcal{A}$ è dilimitata sopra. c. Che $D$ sia un reale rigorosamente positivo e che $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Indicare che se $u_p>D$ non è un limite inferiore (minorante) della sequenza, così è la condizione appropriata. d. Deduzione che la sequenza $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ non sia limitata in basso. e. Conclusione.

5. Esiste una sequenza limitata non costante del tipo $\mathcal{A}$?

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