Concours Général des Lycées 2017 — Matematica

Finite subsets A of C of ‘type S’ (any two elements z1, z2 satisfy z1z2 = z1^2 + z2^2); study of b(A), the smallest modulus strictly greater than 1 of an element of A (or infinity); examples, the lattices Z[j] and related sets, and determination of all possible values of b(A).*

A finite subset $\mathcal{A}$ of $\mathbb{C}$ (the set of complex numbers) is said to be of type $S$ if, for any two elements $z_1$ and $z_2$ of $\mathcal{A}$, the product $z_1{z}_2$ is equal to the sum $z_1^2+z_2^2$ of their squares.

In all of this problem, $\mathcal{A}$ denotes a finite subset of $\mathbb{C}$ of type $S$.

We denote by $b(\mathcal{A})$ the smallest of the moduli $|z|$ of the complex numbers $z$ of $\mathcal{A}$ whose modulus $|z|$ is strictly greater than $1$. We set $b(\mathcal{A})=\infty$ if no such number exists.

\textbf{1.1 A few simple examples.}

\textbf{1.} The following subsets of $\mathbb{C}$ are of type $S$ (this is not required to be verified); specify for each the value of $b(\mathcal{A})$. \textbf{a.} $\mathcal{A}=\{0\}$. \textbf{b.} $\mathcal{A}=\mathbb{C}$. \textbf{c.} $\mathcal{A}=\mathbb{N}$. \textbf{d.} $\mathcal{A}={\mathbb{N}}^{\ast }$.

\textbf{2. a.} Give an example of a subset $\mathcal{A}$ of type $S$ such that $b(\mathcal{A})=0$. \textbf{b.} Give an example of a subset $\mathcal{A}$ of type $S$ such that $b(\mathcal{A})=\infty$. \textbf{3.} Let $\overline{\mathcal{A}}$ be the subset of $\mathbb{C}$ consisting of the complex numbers conjugate to those of $\mathcal{A}$. Show that $\overline{\mathcal{A}}$ is of type $S$ and determine $b(\overline{\mathcal{A}})$.

\textbf{1.2 Two examples of subsets of $\mathbb{C}$ of type $S$.}

\textbf{1.} We define the complex number $j$ by $j=e^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$, and we denote $\mathbb{Z}[j]=\{a+bj;(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$, that is the subset of $\mathbb{C}$ consisting of the complex numbers of the form $a+bj$ with $a$ and $b$ in $\mathbb{Z}$. \textbf{a.} Compute $1+j+j^2$. \textbf{b.} Show that $\mathbb{Z}[j]$ is of type $S$. \textbf{c.} Determine $b(\mathbb{Z}[j])$. \textbf{d.} Let $\mathbb{Z}[j{]}^{\ast }=\mathbb{Z}[j]\setminus \{0\}$ (the non-zero elements of $\mathbb{Z}[j]$). Justify that $\mathbb{Z}[j{]}^{\ast }$ is of type $S$ and determine $b(\mathbb{Z}[j{]}^{\ast })$. \textbf{2.} We define the subset $\mathcal{B}$ of $\mathbb{C}$ by $\mathcal{B}=\{z\in \mathbb{C};z^2\in \mathbb{Z}[j]\}.$ Thus the complex number $z$ belongs to $\mathcal{B}$ if and only if its square is an element of $\mathbb{Z}[j]$. \textbf{a.} Show that $\mathcal{B}$ is of type $S$. \textbf{b.} Determine $b(\mathcal{B})$.

\textbf{1.3 On the search for the possible values of $b(\mathcal{A})$.}

\textbf{1.} Suppose there exists $a\in \mathcal{A}$ such that $0<|a|<1$. Show that $b(\mathcal{A})=\infty$. \textbf{2.} We consider, in this question, a complex number $a$ of modulus $1$. We denote by $\arg (a)$ the unique argument of $a$ in the interval $[-\pi ,\pi [$. We suppose moreover that no multiple of $\frac{\pi }{2}$ is an argument of $a$. \textbf{a.} Show that an argument of $a^2+a^4$ (or of $a^4+a^8$) can be obtained, of non-zero modulus and a real number strictly less than $1$. [Note: this sub-question is partially illegible in the source.] \textbf{b.} Deduce that if an argument of $a$ is in $[0,\frac{\pi }{4}]$, then there exists $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ such that $0<|a^{2n}+a^{4n}|<1$. \textbf{c.} Show that if an argument of $a$ is in $]-\frac{3\pi }{4},0]$, then there exists $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ such that $0<|a^{2n}+a^{4n}|<1$. \textbf{d.} Conclude that there always exists $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ such that $0<|a^{2n}+a^{4n}|<1$. \textbf{3.} We suppose, in this question, that $b(\mathcal{A})$ is finite and strictly greater than $2$. \textbf{a.} Show that there exists $z$ in $\mathcal{A}$ such that $|z|>1$. \textbf{b.} What are the possible values for $\arg (z)$? \textbf{c.} Deduce that $b(\mathcal{A})\le 17$. \textbf{4.} Give an example of a subset $\mathcal{A}$ of type $S$ such that $b(\mathcal{A})>2$. \textbf{5.} Give an example of a subset $\mathcal{A}$ of type $S$ such that $b(\mathcal{A})>8$. \textbf{6.} What are the possible values for $b(\mathcal{A})$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Trigonometria Metodo: Casework, Fattorizzazione, Trigonometria Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Subinsiemi finiti A di C di “tipo S” (qualsiasi due elementi z1, z2 soddisfano z1z2 = z1^2 + z2^2); studio di b(A), il modulo più piccolo strettamente superiore a 1 di un elemento di A (o infinito); esempi, le griglie Z[j] e i set correlati, e determinazione di tutti i valori possibili di b(A).*

Un sottogruppo finito $\mathcal{A}$ di $\mathbb{C}$ (l’insieme dei numeri complessi) è detto di tipo $S$ se, per due elementi $z_1$ e $z_2$ di $\mathcal{A}$, il prodotto $z_1{z}_2$ è uguale alla somma $z_1^2+z_2^2$ dei loro quadrati.

In tutto questo problema, $\mathcal{A}$ indica un sottoinsieme finito di $\mathbb{C}$ del tipo $S$.

Indichiamo con $b(\mathcal{A})$ il più piccolo dei moduli $|z|$ dei numeri complessi $z$ di $\mathcal{A}$ il cui modulo $|z|$ è strettamente superiore a $1$. Si imposta $b(\mathcal{A})=\infty$ se non esiste un tale numero.

\textbf{1.1 Alcuni semplici esempi.}

\textbf{1.} I seguenti sottoinsiemi di $\mathbb{C}$ sono di tipo $S$ (questo non è necessario verificare); specificare per ciascuno il valore di $b(\mathcal{A})$. Il numero di persone che si trovano in questo paese è inferiore a quello di tutti gli Stati membri. Il numero di persone che hanno il diritto di soggiornare è indicato nella tabella di riferimento. Il numero di persone che hanno il diritto di soggiornare è inferiore a quello di chi ha il diritto di soggiornare. L’esercizio di questo tipo di attività è stato completato nel corso della durata di un anno.

• Sì, signore. a.} Fornire un esempio di un sottoinsieme $\mathcal{A}$ di tipo $S$ tale da $b(\mathcal{A})=0$. \textbf{b.} Fornire un esempio di un sottoinsieme $\mathcal{A}$ di tipo $S$ tale che $b(\mathcal{A})=\infty$. \textbf{3.} $\overline{\mathcal{A}}$ sia il sottogruppo di $\mathbb{C}$ costituito dai numeri complessi coniugati a quelli di $\mathcal{A}$. Indicare che $\overline{\mathcal{A}}$ è di tipo $S$ e determinare $b(\overline{\mathcal{A}})$.

\textbf{1.2 Due esempi di sottoinsiemi di $\mathbb{C}$ di tipo $S$.}

\textbf{1.} Definitiamo il numero complesso $j$ da $j=e^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$, e denonizziamo $\mathbb{Z}[j]=\{a+bj;(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$, cioè il sottogruppo di $\mathbb{C}$ costituito dai numeri complessi della forma $a+bj$ con $a$ e $b$ in $\mathbb{Z}$. \textbf{a.} Calcolare $1+j+j^2$. \textbf{b.} Indicare che $\mathbb{Z}[j]$ è di tipo $S$. Determinazione $b(\mathbb{Z}[j])$. \textbf{d.} Let $\mathbb{Z}[j{]}^{\ast }=\mathbb{Z}[j]\setminus \{0\}$ (gli elementi non zero di $\mathbb{Z}[j]$). giustificare che $\mathbb{Z}[j{]}^{\ast }$ sia di tipo $S$ e determinare $b(\mathbb{Z}[j{]}^{\ast })$. \textbf{2.} Definiamo il sottogruppo $\mathcal{B}$ di $\mathbb{C}$ da $\mathcal{B}=\{z\in \mathbb{C};z^2\in \mathbb{Z}[j]\}.$ Così il numero complesso $z$ appartiene a $\mathcal{B}$ se e solo se il suo quadrato è un elemento di $\mathbb{Z}[j]$. \textbf{a.} Mostra che $\mathcal{B}$ è di tipo $S$. Determinare $b(\mathcal{B})$.

\textbf{1.3 sulla ricerca dei possibili valori di $b(\mathcal{A})$.}

\textbf{1.} Supponiamo che esista $a\in \mathcal{A}$ tale che $0<|a|<1$. Mostra che $b(\mathcal{A})=\infty$. In questa domanda consideriamo un numero complesso $a$ del modulo $1$. Indichiamo con $\arg (a)$ l’argomento unico di $a$ nell’intervallo $[-\pi ,\pi [$. Supponiamo inoltre che nessun multiple di $\frac{\pi }{2}$ sia un argomento di $a$. \textbf{a.} Mostrare che si può ottenere un argomento di $a^2+a^4$ (o di $a^4+a^8$), di modulo non zero e di un numero reale strettamente inferiore a $1$. [Nota: questa sottoquestione è parzialmente illeggibile nella fonte.] \textbf{b.} Deduce che se un argomento di $a$ è in $[0,\frac{\pi }{4}]$, allora esiste $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tale che $0<|a^{2n}+a^{4n}|<1$. \textbf{c.} Mostra che se un argomento di $a$ è in $]-\frac{3\pi }{4},0]$, allora esiste $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tale che $0<|a^{2n}+a^{4n}|<1$. \textbf{d.} Concludere che esiste sempre $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tale che $0<|a^{2n}+a^{4n}|<1$. \textbf{3.} Supponiamo, in questa domanda, che $b(\mathcal{A})$ sia finito e strettamente maggiore di $2$. \textbf{a.} Mostra che esiste $z$ in $\mathcal{A}$ tale che $|z|>1$. Quali sono i valori possibili per $\arg (z)$? \textbf{c.} Deduce che $b(\mathcal{A})\le 17$. \textbf{4.} Date un esempio di un sottoinsieme $\mathcal{A}$ di tipo $S$ tale che $b(\mathcal{A})>2$. \textbf{5.} Date un esempio di un sottoinsieme $\mathcal{A}$ di tipo $S$ tale che $b(\mathcal{A})>8$. Quali sono i valori possibili per $b(\mathcal{A})$?

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Probability problem. Franck must pass MCQ exams where each correct answer gives +1 point, each wrong answer -1 point, and no answer 0 points. First exam: 10 questions, pass needs at least 7 points; decide which questions to answer given success probability p. Second exam: 50 questions, pass needs at least 26 points; compare strategies and find optimal as function of p.

\textbf{2.1 Franck takes a first exam.}

Franck must pass an exam consisting of a QCM (multiple-choice questionnaire) with questions numbered $1$ to $10$. For each question one must choose among $4$ proposed answers, exactly one of the four answers being correct (one does not prejudge that the proposed answers are all distinct, and the questions are assumed independent).

Each correct answer brings one point, each wrong answer makes one lose one point, and if one does not answer a question one neither gains nor loses a point.

Franck passes the first exam if and only if he obtains a final total of at least seven points.

Franck has answered the first three questions (numbered $1$ to $3$); for the following questions, he has a probability $p$ of finding the correct answer, with $0<p<1$.

\textbf{1.} Prove that Franck has interest in answering question number $9$, if he has interest in answering question number $4$ to which he has not yet answered. [Note: the exact pairing of question numbers in 2.1.1 is partly illegible in the source.] \textbf{2.} Does he have interest in answering question number $10$? \textbf{3.} Determine, according to the value of $p$, the best strategy for Franck.

\textbf{2.2 Franck takes a second exam.}

Franck must now pass a second exam, consisting again of a QCM, formed this time of $50$ questions. The rules of this exam are the same as those of the previous one. Thus Franck must respond to the $50$ questions (that is, he is not obliged to answer every question). Each correct answer brings him a point and each wrong answer makes him lose a point.

Franck passes this second exam if and only if he obtains a final total of at least $26$ points. For each question, he has a probability $p$ of finding the correct answer, with $0<p<1$.

For any integer $k$ such that $1\le k\le 25$, we denote by $P_k$ the probability that Franck passes the exam by answering the first $26+k$ questions. [Note: the exact index range and the ‘26+k’ wording is partly illegible in the source.]

\textbf{1.} Prove that, for any integer $k$ verifying $1\le k\le 13$, one has $P_{2k-1}\ge P_{2k}$. \textbf{2.} Prove that, for any integer $k$ verifying $0\le k\le 12$, one has $P_{2k+1}={\sum }_{j=k+1}^{2k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{j}\right)p^j(1-p{)}^{2k+1-j}.$ \textbf{3.} Show that, for any integer $k$ verifying $0\le k\le 11$, one has $P_{2k+3}-P_{2k+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k+1}\right)p^{k+1}(1-p{)}^{k+1}(p-(1-p)).$ One may freely use Pascal’s identity: for $0<m<n$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right)$. [Note: the precise right-hand side of the formula in 2.2.3 is partly illegible in the source.] \textbf{4.} Determine, according to the value of $p$, the best strategy for Franck.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Problema di probabilità. Franck deve superare gli esami MCQ in cui ogni risposta corretta dà +1 punti, ogni risposta sbagliata -1 punti, e nessuna risposta 0 punti. Primo esame: 10 domande, il pass ha bisogno di almeno 7 punti; decidere quali domande rispondere data probabilità di successo p. Secondo esame: 50 domande, passaggio richiede almeno 26 punti; confronta le strategie e trova l’ottimale come funzione di p.

Franck fa il primo esame.

Franck deve superare un esame composto da un QCM (questionario di scelta multipla) con domande numerate da $1$ a $10$. Per ciascuna domanda si deve scegliere tra le risposte proposte, con una delle quattro risposte corrette (non si pregiudica che tutte le risposte proposte siano distinte e che le domande siano presunte come indipendenti).

Ogni risposta corretta porta un punto, ogni risposta sbagliata fa perdere un punto, e se non si risponde a una domanda non si guadagna né si perde un punto.

Franck passa il primo esame se e solo se ottiene un totale finale di almeno sette punti.

Franck ha risposto alle prime tre domande (numerate $1$ a $3$); per le seguenti domande, ha una probabilità $p$ di trovare la risposta corretta, con $0<p<1$.

Prova che Franck ha interesse a rispondere alla domanda numero $9$, se ha interesse a rispondere alla domanda numero $4$ a cui non ha ancora risposto. [Nota: l’accoppiamento esatto dei numeri delle domande di 2.1.1 è parzialmente illeggibile nella fonte.] \textbf{2.} Ha interesse a rispondere alla domanda di numero $10$? Determinare, in base al valore di $p$, la migliore strategia per Franck.

Franck fa un secondo esame.

Franck deve ora superare un secondo esame, costituito nuovamente da un QCM, costituito questa volta da domande $50$. Le regole di questo esame sono le stesse di quella precedente. In tal modo, Franck deve rispondere alle domande $50$ (cioè non è obbligato a rispondere a tutte le domande). Ogni risposta corretta gli porta un punto e ogni risposta sbagliata gli porta a perdere un punto.

Franck può superare il secondo esame solo se ottiene un totale finale di almeno $26$ punti. Per ogni domanda, ha una probabilità $p$ di trovare la risposta corretta, con $0<p<1$.

Per qualsiasi numero intero $k$ tale da $1\le k\le 25$, indichiamo con $P_k$ la probabilità che Franck passi l’esame rispondendo alle prime domande $26+k$. [Nota: l’intervallo esatto dell’indice e la formulazione “26+k” sono parzialmente leggibili nella fonte.]

\textbf{1.} Prova che, per qualsiasi numero intero $k$ che verifica $1\le k\le 13$, si ha $P_{2k-1}\ge P_{2k}$. \textbf{2.} Dimostra che, per qualsiasi intero $k$ verificando $0\le k\le 12$, si ha $P_{2k+1}={\sum }_{j=k+1}^{2k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{j}\right)p^j(1-p{)}^{2k+1-j}.$ \textbf{3.} Dimostra che, per qualsiasi intero $k$ verificando $0\le k\le 11$, si ha $P_{2k+3}-P_{2k+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k+1}\right)p^{k+1}(1-p{)}^{k+1}(p-(1-p)).$ Si può liberamente utilizzare l’identità di Pascal: per $0<m<n$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right)$. [Nota: il lato destro preciso della formula di 2.2.3 è parzialmente illeggibile nella fonte.] \textbf{4.} Determinare, in base al valore di $p$, la strategia migliore per Franck.

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Triangles in space E with integer-coordinate vertices in an orthonormal frame. Preliminary results on the foot of an altitude and rationality, irrationality of sqrt(n) for non-square n, and arithmetic of sums of three squares. Then study of which triangles (equilateral, isosceles 3-3-2 and 2-2-3) admit a similar copy with all integer vertices, via the tangent of angles having the form rsqrt(k) with k square-free.*

\textbf{3 Problem 3: In space, all integers.}

We call a rational number a number that one can write in the form $\frac{a}{b}$, with $a$ and $b$ relative integers and $b\ne 0$. In particular, the sum, the difference, the product and the quotient of two rational numbers are rational numbers.

The space $\mathcal{E}$ is referred to an orthonormal frame $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. For a point $M(x;y;z)$ of $\mathcal{E}$ one denotes by $x$, $y$ and $z$ its coordinates.

Likewise, a point $M(x;y)$ of the plane $\mathcal{P}$ referred to an orthonormal frame $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ will be said to be an integer point when $x$ and $y$ are integers.

In all this problem, the triangles considered are assumed non-degenerate (non-flat).

\textbf{3.1 Some preliminary results.}

\textbf{1.} Let $ABC$ be a triangle of the plane $\mathcal{P}$ referred to a frame $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$, and let $H$ be the foot of the altitude issued from $A$ (that is, $H$ is the point of intersection between the line $(BC)$ and the perpendicular to $(BC)$ passing through $A$). \textbf{a.} Prove that $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{B{C}^2}\overrightarrow{BC}.$ \textbf{b.} Deduce that if $A$, $B$ and $C$ are integer points of the plane $\mathcal{P}$, then the coordinates of $H$ are rational. Are questions \textbf{a.} and \textbf{b.} above still valid? [Note: the end of question 3.1.1.b is partly illegible in the source.] \textbf{2.} Is there an equilateral triangle whose three vertices are integer points of the plane $\mathcal{P}$ referred to a frame $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$? \textbf{3.} Let $n$ be a natural integer. Prove that $\sqrt{n}$ is a rational number if and only if there exists an integer $m$ such that $n=m^2$. \textbf{4. a.} Prove that if $s$ is a relative integer, then there exists an integer $r$ such that $s^2$ is equal to $8r$, or $8r+1$, or $8r+4$. \textbf{b.} Prove that if $a$, $b$, $c$ and $d$ are integers such that $2a^2=b^2+c^2+d^2$, then $a=b=c=d=0$. [Note: the source writes the variable as $t$ in one place; read as $d$ for consistency with the equation.]

\textbf{3.2 Study of the triangles of the space $\mathcal{E}$ with integer vertices.}

We denote by $\theta$ the measure in radians of a non-right angle of a (non-degenerate) triangle; one has $\tan (\theta )=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$.

We denote by $k\ge 1$ a positive integer that is square-free, that is, $k$ is $1$ or is decomposed into a product of prime numbers pairwise distinct.

\textbf{1.} Determine an equilateral triangle whose vertices are integer points of the space $\mathcal{E}$. \textbf{2.} Let $T$ be a triangle whose three vertices are integer points of $\mathcal{E}$. \textbf{a.} Prove that, for any non-right angle $\theta$ of $T$, the number ${\tan }^2(\theta )$ is rational. \textbf{b.} Prove that there exists a unique integer $k\ge 1$, square-free, such that for any angle $\theta$ of $T$, the number $\tan (\theta )$ can be written in the form $r\sqrt{k}$, where $r$ is a non-zero rational number. \textbf{c.} Using question \textbf{1.}, prove that there exist integers $a_1,a_2,a_3,u_1,u_2$ and $u_3$, not all zero, satisfying the system $E(k,k):\{\begin{array}{l}k(a_1^2+a_2^2+a_3^2)=u_1^2+u_2^2+u_3^2\\ a_1{u}_1+a_2{u}_2+a_3{u}_3=0\end{array}$ (Remark: the integer $k$ is the one found in question \textbf{2.b.}) [Note: the exact form of the system $E(\cdot ,\cdot )$ and its parameters is partly reconstructed from a partly illegible source.] \textbf{3.} Let $k$ be a strictly positive square-free integer. Suppose that there exist integers $a_1,a_2,a_3,u_1,u_2$ and $u_3$, not all zero, satisfying the system $E(3,k)$. Let $T$ be a triangle of the space $\mathcal{E}$. Suppose that, for any non-right angle $\theta$ of $T$, the number $\tan (\theta )$ can be written in the form $r\sqrt{k}$, where $r$ is a non-zero rational number. Show that there exists a triangle whose three vertices are integers and having the same angles as $T$. \textbf{4. a.} Let $T$ be an isosceles triangle of the space $\mathcal{E}$ whose sides are of lengths $3$, $3$ and $2$. Is there a triangle of the space $\mathcal{E}$ whose three vertices are integers and having the same angles as $T$? \textbf{b.} Let $T$ be an isosceles triangle of the space $\mathcal{E}$ whose sides are of lengths $2$, $2$ and $3$. Is there a triangle of the space $\mathcal{E}$ whose three vertices are integers and having the same angles as $T$? \textit{Remark:} One may freely use the following identity, valid for all reals $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ and $f$: $(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf{)}^2=(ae-bd{)}^2+(af-cd{)}^2+(bf-ce{)}^2.$

Topic: Geometria solida, Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Triangoli nello spazio E con vertici di coordinate interi in un quadro ortonormale. Risultati preliminari sul piano di un’altitudine e della razionalità, dell’irrazionalità di sqrt(n) per n non quadrati e dell’aritmetica delle somme di tre quadrati. Poi studiare quali triangoli (equilaterali, isosceles 3-3-2 e 2-2-3) ammettere una copia simile con tutti i vertici interi, attraverso la tangenza di angoli con la forma rsqrt(k) con k libero da quadrato.*

\textbf{3 Problema 3: nello spazio, tutti gli enti.}

Chiamiamo un numero razionale un numero che si può scrivere nella forma $\frac{a}{b}$, con $a$ e $b$ numeri interi relativi e $b\ne 0$. In particolare, la somma, la differenza, il prodotto e il quotiente di due numeri razionali sono numeri razionali.

Lo spazio $\mathcal{E}$ si riferisce a una cornice ortonormale $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. Per un punto $M(x;y;z)$ di $\mathcal{E}$ si denotano con $x$, $y$ e $z$ le sue coordinate.

Allo stesso modo, un punto $M(x;y)$ del piano $\mathcal{P}$ riferito a un quadro ortonormale $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ sarà detto un punto intero quando $x$ e $y$ sono numeri interi.

In tutto questo problema, i triangoli considerati sono presunti non degenerati (non piatti).

Alcuni risultati preliminari.

\textbf{1.} Che $ABC$ sia un triangolo del piano $\mathcal{P}$ riferito a un quadro $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$, e che $H$ sia il piede dell’altitudine emessa da $A$ (cioè, $H$ è il punto di intersezione tra la linea $(BC)$ e la perpendicolare a $(BC)$ che attraversa $A$). \textbf{a.} Prova che $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{B{C}^2}\overrightarrow{BC}.$ \textbf{b.} Deduci che se $A$, $B$ e $C$ sono punti interi del piano $\mathcal{P}$, le coordinate di $H$ sono razionali. Le domande di cui sopra sono ancora valide? [Nota: la fine della domanda 3.1.1.b è parzialmente illeggibile nella fonte.] \textbf{2.} C’è un triangolo equilaterale le cui tre vertici sono punti interi del piano $\mathcal{P}$ riferito a un quadro $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$? \textbf{3.} Lasciate $n$ essere un intero naturale. Prova che $\sqrt{n}$ è un numero razionale se e solo se esiste un intero $m$ tale che $n=m^2$. - Sì, signore. a.} Prova che se $s$ è un numero intero relativo, allora esiste un numero intero $r$ tale che $s^2$ sia uguale a $8r$, o $8r+1$, o $8r+4$. \textbf{b.} Prova che se $a$, $b$, $c$ e $d$ sono integri tali da $2a^2=b^2+c^2+d^2$, allora $a=b=c=d=0$. [Nota: la fonte scrive la variabile come $t$ in un solo luogo; si legge come $d$ per la coerenza con l’equazione.]

\textbf{3.2 Studio dei triangoli dello spazio $\mathcal{E}$ con vertici interi.}

Indichiamo con $\theta$ la misura in radiani di un angolo non retto di un triangolo (non degenerato); uno ha $\tan (\theta )=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$.

Indichiamo con $k\ge 1$ un intero positivo che è libero dal quadrato, cioè $k$ è $1$ o si decompone in un prodotto di numeri primi separati in coppia.

\textbf{1.} Determina un triangolo equilaterale le cui vertici sono punti interi dello spazio $\mathcal{E}$. \textbf{2.} $T$ sia un triangolo le cui tre cime sono punti interi di $\mathcal{E}$. \textbf{a.} Prova che, per qualsiasi angolo non retto $\theta$ di $T$, il numero ${\tan }^2(\theta )$ è razionale. \textbf{b.} Prova che esiste un intero unico $k\ge 1$, libero da quadrati, in modo che per qualsiasi angolo $\theta$ di $T$, il numero $\tan (\theta )$ possa essere scritto nella forma $r\sqrt{k}$, dove $r$ è un numero razionale non zero. \textbf{c.} Usando la domanda \textbf{1.}, dimostrare che esistono integri $a_1,a_2,a_3,u_1,u_2$ e $u_3$, non tutti zero, soddisfacendo il sistema $E(k,k):\{\begin{array}{l}k(a_1^2+a_2^2+a_3^2)=u_1^2+u_2^2+u_3^2\\ a_1{u}_1+a_2{u}_2+a_3{u}_3=0\end{array}$ (Ricorda: l’intero $k$ è quello trovato in questione \textbf{2.b.}) [Nota: la forma esatta del sistema $E(\cdot ,\cdot )$ e i suoi parametri sono parzialmente ricostruiti da una fonte parzialmente illeggibile.] \textbf{3.} $k$ sia un intero a quadrato libero strettamente positivo. Supponiamo che esistano integri $a_1,a_2,a_3,u_1,u_2$ e $u_3$, non tutti zero, che soddisfano il sistema $E(3,k)$. $T$ sia un triangolo dello spazio $\mathcal{E}$. Supponiamo che, per qualsiasi angolo non retto $\theta$ di $T$, il numero $\tan (\theta )$ possa essere scritto nella forma $r\sqrt{k}$, dove $r$ è un numero razionale non zero. Mostrare che esiste un triangolo le cui tre vertici sono numeri interi e che hanno gli stessi angoli di $T$. - Sì, signore. a.} Il $T$ deve essere un triangolo a uguali dimensioni dello spazio $\mathcal{E}$ i cui lati sono di lunghezza $3$, $3$ e $2$. C’è un triangolo dello spazio $\mathcal{E}$ le cui tre vertici sono numeri interi e hanno gli stessi angoli di $T$? \textbf{b.} $T$ sia un triangolo a uguali dimensioni dello spazio $\mathcal{E}$ i cui lati sono di lunghezza $2$, $2$ e $3$. C’è un triangolo dello spazio $\mathcal{E}$ le cui tre vertici sono numeri interi e hanno gli stessi angoli di $T$? \textit{Rimarca:} Si può liberamente utilizzare la seguente identità, valida per tutti i veri $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$: $(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf{)}^2=(ae-bd{)}^2+(af-cd{)}^2+(bf-ce{)}^2.$

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