Concours Général des Lycées 2018 — Matematica

Bernstein polynomials (properties, recurrence, partition of unity, probabilistic sums) and the geometric study of degree 0/1/2 Bezier curves.

Problem 1: Approximations of curves.

Part 1.1 - The Bernstein polynomials. For every natural number $n$ and every natural number $i$ between $0$ and $n$, we denote by $B_{n,i}$ the polynomial defined, for $p$ varying in the interval $[0;1]$, by: $B_{n,i}(p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i(1-p{)}^{n-i}$ with $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$ the binomial coefficient, $i$ among $n$. Thus $B_{0,0}(p)=1$, $B_{1,0}(p)=1-p$ and $B_{1,1}(p)=p$. These polynomials are called Bernstein polynomials.

1. a. Give the expression of $B_{2,0}(p)$, $B_{2,1}(p)$ and $B_{2,2}(p)$. b. Determine the expression of the Bernstein polynomials for $n=3$, namely $B_{3,0}(p)$, $B_{3,1}(p)$, $B_{3,2}(p)$ and $B_{3,3}(p)$.

2. a. What is the expression of $B_{n,0}(p)$ and of $B_{n,n}(p)$? b. Show that for all $n\ge 1$ and all $i$ between $1$ and $n-1$, $B_{n,i}(p)=(1-p)B_{n-1,i}(p)+p{B}_{n-1,i-1}(p)$

3. a. At which value(s) $p\in [0;1]$ does a Bernstein polynomial vanish? (One should reason by distinguishing cases according to the values of $n$ and of $i$.) b. What about its sign on $[0;1]$?

4. Show that the Bernstein polynomials of the same degree $n$ form a partition of unity: that is, for every natural number $n$, ${\sum }_{i=0}^n{B}_{n,i}(p)=B_{n,0}(p)+B_{n,1}(p)+\dots +B_{n,n-1}(p)+B_{n,n}(p)=1$

5. Determine the value of the sums: ${\sum }_{i=0}^{n}i{B}_{n,i}(p)\text{and}{\sum }_{i=0}^n{i}^2{B}_{n,i}(p)$ What do these sums represent in probabilistic terms?

Part 1.2 - Bezier curves. The plane is equipped with an orthonormal frame $(O,I,J)$. Let $n$ be a natural number. We are given $n+1$ non-aligned points of the plane $P_0,P_1,\dots ,P_{n-1},P_n$. The Bezier curve of degree $n$ and of control points $P_0,P_1,\dots ,P_{n-1},P_n$ is the set of points $M(p)$ of the plane, with $p$ varying in the interval $[0;1]$, such that: $\overrightarrow{OM(p)}={\sum }_{i=0}^n{B}_{n,i}(p)\overrightarrow{O{P}_i}$ In what follows we focus on Bezier curves of degree $0$, $1$ or $2$. We fix therefore $A$, $B$, $C$ three non-aligned points of the plane.

1. Recognize the geometric nature a. of the Bezier curve of degree $0$ and control point $A$. b. of the Bezier curve of degree $1$ and control points $B$ and $C$.

2. We consider the Bezier curve of degree $2$ and control points $A$, $B$ and $C$. a. Justify that the points $A$ and $C$ belong to this curve. Does the point $B$ belong to it? b. In this question we take the points of coordinates $A(-2;5)$, $B(2;1)$ and $C(4;3)$. Propose a construction of the points of this curve for $p=\frac{1}{4}$, $p=\frac{1}{2}$ and $p=\frac{3}{4}$. Sketch the curve freehand.

3. Show that this curve is necessarily inscribed in the triangle $ABC$.

4. What could be the geometric nature of this Bezier curve of degree $2$? Justify your answer.

Topic: Algebra, Geometria analitica, Probabilità Metodo: Coordinate, Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Polinomi di Bernstein (proprietà, ricorrenza, divisione di unità, somme probabilistiche) e lo studio geometrico delle curve di Bezier di grado 0/1/2.

Problema 1: Approximation delle curve.

Parte 1.1 - I polinomi di Bernstein. Per ogni numero naturale $n$ e per ogni numero naturale $i$ tra $0$ e $n$, indichiamo con $B_{n,i}$ il polinomio definito, per $p$ che varia nell’intervallo $[0;1]$, da: $B_{n,i}(p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i(1-p{)}^{n-i}$ con $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$ il coefficiente binomio, $i$ tra $n$. Quindi $B_{0,0}(p)=1$, $B_{1,0}(p)=1-p$ e $B_{1,1}(p)=p$. Questi polinomi sono chiamati polinomi di Bernstein.

1. a. Indicare l’espressione di $B_{2,0}(p)$, $B_{2,1}(p)$ e $B_{2,2}(p)$. b. Determinare l’espressione dei polinomi di Bernstein per $n=3$, vale a dire $B_{3,0}(p)$, $B_{3,1}(p)$, $B_{3,2}(p)$ e $B_{3,3}(p)$.

2. a. Qual è l’espressione di $B_{n,0}(p)$ e di $B_{n,n}(p)$? b. Indicare che per tutti i $n\ge 1$ e tutti i $i$ tra $1$ e $n-1$, $B_{n,i}(p)=(1-p)B_{n-1,i}(p)+p{B}_{n-1,i-1}(p)$

3. a. A quale valore (s) $p\in [0;1]$ un polinomio di Bernstein scompare? (Si deve ragionare distinguendo i casi secondo i valori di $n$ e di $i$.) b. E il suo segno su $[0;1]$?

4. Mostrare che i polinomi di Bernstein dello stesso grado $n$ formano una partizione di unità: cioè, per ogni numero naturale $n$, ${\sum }_{i=0}^n{B}_{n,i}(p)=B_{n,0}(p)+B_{n,1}(p)+\dots +B_{n,n-1}(p)+B_{n,n}(p)=1$

5. Determinare il valore delle somme: ${\sum }_{i=0}^{n}i{B}_{n,i}(p)\text{and}{\sum }_{i=0}^n{i}^2{B}_{n,i}(p)$ Cosa rappresentano queste somme in termini di probabilità?

Parte 1.2 - Curve di Bezier. L’aereo è dotato di una cornice ortonormale $(O,I,J)$. $n$ sia un numero naturale. Ci sono dati $n+1$ punti non allineati del piano $P_0,P_1,\dots ,P_{n-1},P_n$. La curva di Bezier di grado $n$ e dei punti di controllo $P_0,P_1,\dots ,P_{n-1},P_n$ è l’insieme dei punti $M(p)$ del piano, con $p$ che varia nell’intervallo $[0;1]$, in modo tale che: $\overrightarrow{OM(p)}={\sum }_{i=0}^n{B}_{n,i}(p)\overrightarrow{O{P}_i}$ In quanto segue ci concentriamo sulle curve di Bezier di grado $0$, $1$ o $2$. Quindi, fissamo $A$, $B$, $C$ tre punti non allineati del piano.

1. Riconoscere la natura geometrica a. della curva di Bezier di grado $0$ e del punto di controllo $A$. b. della curva di Bezier di grado $1$ e dei punti di controllo $B$ e $C$.

2. Si considera la curva di Bezier di grado $2$ e i punti di controllo $A$, $B$ e $C$. a. giustificare che i punti $A$ e $C$ appartengono a questa curva. Il punto $B$ ne appartiene? b. In questa domanda prendiamo i punti delle coordinate $A(-2;5)$, $B(2;1)$ e $C(4;3)$. Proporre una costruzione dei punti di questa curva per $p=\frac{1}{4}$, $p=\frac{1}{2}$ e $p=\frac{3}{4}$. Segna la curva a mano libera.

3. Mostrare che questa curva è necessariamente inserita nel triangolo $ABC$.

4. Qual potrebbe essere la natura geometrica di questa curva di Bezier di grado $2$? Giustifica la tua risposta.

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Discrete Dirichlet problem on a connected graph: assign reals to blue points so each equals the average of its neighbors, with given values at yellow points; existence (monotone iteration) and uniqueness of the solution.

Problem 2: A so discreet Mr. Dirichlet.

Let $\mathcal{S}$ be a non-empty finite set of points of the plane. Certain pairs of points of $\mathcal{S}$ are joined by segments, in such a way that, by following these segments, possibly in several steps, it is always possible to go from one point of $\mathcal{S}$ to any other (possible intersections between the segments are not taken into account, and a point is never joined to itself).

Two points of $\mathcal{S}$ joined by a segment are called neighbors.

If $M$ is a point of $\mathcal{S}$, we denote by $V(M)$ the set of neighbors of $M$, and we denote by $d(M)$ the number of neighbors of $M$, called the degree of $M$.

Each point of $\mathcal{S}$ has been colored either blue or yellow, and there is at least one yellow point in the set $\mathcal{S}$. To each yellow point, Gustav has assigned a real number of his choice. The mathematician Maryam then wishes to assign a real to each blue point (not necessarily the same number for one blue point as another) so as to satisfy the following property $(\mathcal{P})$: $(\mathcal{P})$ The number assigned to any blue point is the average of the numbers assigned to its neighbors.

Part 2.1 - Some examples to begin with.

1. In this question only, suppose that $\mathcal{S}=\{A,B,C\}$, with $A$ neighbor of $B$, itself neighbor of $C$ as in the drawing below. Moreover, $A$ is the only yellow point and Gustav has assigned to it the real $a$. What numbers must Maryam then assign to $B$ and to $C$ in order to satisfy the property $(\mathcal{P})$?

2. For the three following questions suppose that $\mathcal{S}=\{A,B,C,D,E\}$. The points $A$ and $E$ are the only yellow points, and Gustav has assigned to them respectively the reals $a$ and $e$. a. The links being indicated according to the following scheme, what numbers must Maryam then assign to each of the points $B$, $C$ and $D$ in order to satisfy the property $(\mathcal{P})$? (linear path $A-B-C-D-E$) b. Same question for the following scheme. c. Same question for the following scheme (complete-graph type, see figure).

3. In this question only one generalizes the scheme of question 2.c with an arbitrary number of points. Suppose that $n\ge 1$ is an integer, that $\mathcal{S}=\{P_0,P_1,P_2,\dots ,P_n,P_{n+1}\}$ and that every point of $\mathcal{S}$ is a neighbor of every other point of $\mathcal{S}$. Moreover, $P_0$ and $P_{n+1}$ are the only yellow points, and Gustav has assigned to them respectively the reals $a$ and $b$. What numbers must Maryam then assign to each of the points $P_i$ for $i=1,\dots ,n$ in order to satisfy the property $(\mathcal{P})$?

Part 2.2 - Study of the general case. We denote respectively by $\mathcal{J}$ the set of yellow points, and by $\mathcal{B}$ the set of blue points. Thus $\mathcal{S}=\mathcal{J}\cup \mathcal{B}$. When Gustav assigns a real to each yellow point, this amounts to defining a function $k$ from $\mathcal{J}$ into $\mathbb{R}$. The objective of Maryam is therefore to construct a function $f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}$ such that: $f(M)=k(M)\text{if }M\text{ is yellow}(1)$ $f(M)=\frac{f(P_1)+\dots +f(P_d)}{d}\text{if }M\text{ is blue}(2)$ where $d=d(M)$ is the degree of $M$ (which depends on $M$) and $P_1,\dots ,P_d$ are the neighbors of $M$. We then say that $f$ is a solution for the attribution $k$. In this part, suppose given such an attribution $k$. We denote by $K$ the largest of the numbers $k(M)$ when $M$ ranges over the set $\mathcal{J}$.

Part 2.3 - Existence of a solution.

1. Suppose in this question that $k(M)\ge 0$ for every point $M\in \mathcal{J}$. We construct then, by recurrence, the following sequence $(f_n)$ of functions: We set $f_0(M)=k(M)$ if $M$ is yellow, and $f_0(M)=0$ if $M$ is blue. Then, for every integer $n\ge 0$, we set: $f_{n+1}(M)=k(M)\text{if }M\text{ is yellow,}$ $f_{n+1}(M)=\frac{f_n(P_1)+\dots +f_n(P_d)}{d}\text{if }M\text{ is blue,}$ where $d=d(M)$ is the degree of $M$ and $P_1,\dots ,P_d$ are the neighbors of $M$. a. Prove that, for all $n\ge 0$ and every point $M\in \mathcal{S}$, one has $0\le f_n(M)\le f_{n+1}(M)\le K$. b. Deduce the existence of a solution for the attribution $k$.
2. Prove that if $f$ is a solution for the attribution $k$ and if $\alpha$ is a constant, then the function $f+\alpha$ is also a solution for the attribution $k+\alpha$.
3. Deduce that there always exists a solution to our problem in general, that is, without the hypothesis of question 1: $k(M)\ge 0$ for every point $M\in \mathcal{J}$.

Part 2.4 - Uniqueness of the solution. Suppose in this subpart that we have a solution $f$ for this attribution $k$. 4. Prove that, for every point $M\in \mathcal{S}$, one has $f(M)\le K$. 5. Suppose that $g$ is also a solution for the attribution $k$. a. Justify that the function $f-g$ satisfies condition (2). b. What is $f-g$ on $\mathcal{J}$? c. Deduce that $f=g$. 6. What can be said about $f$ if there is only one yellow point?

Topic: Combinatoria, Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione, Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Discrete Dirichlet problema su un grafico connesso: assegnare reali a punti blu in modo che ciascuno è uguale alla media dei suoi vicini, con dati valori a punti gialli; esistenza (iteration monotone) e unicità della soluzione.

Il problema 2: un signor così discreto . Diricletto.

$\mathcal{S}$ sia un insieme finito non vuoto di punti del piano. Alcune coppie di punti di $\mathcal{S}$ sono unite da segmenti, in modo che, seguendo questi segmenti, eventualmente in diversi passaggi, sia sempre possibile passare da un punto di $\mathcal{S}$ a un altro (le possibili intersezioni tra i segmenti non sono prese in considerazione e un punto non viene mai unito a se stesso).

Due punti di $\mathcal{S}$ uniti da un segmento sono chiamati vicini.

Se $M$ è un punto di $\mathcal{S}$, indichiamo con $V(M)$ l’insieme dei vicini di $M$, e indichiamo con $d(M)$ il numero dei vicini di $M$, chiamato il grado di $M$.

Ogni punto di $\mathcal{S}$ è stato colorato blu o giallo e nel set $\mathcal{S}$ c’è almeno un punto giallo. Ad ogni punto giallo, Gustav ha assegnato un numero reale di sua scelta. La matematica Maryam vuole poi assegnare un reale a ogni punto blu (non necessariamente lo stesso numero per un punto blu come un altro) per soddisfare la seguente proprietà $(\mathcal{P})$: $(\mathcal{P})$ Il numero assegnato a qualsiasi punto blu è la media dei numeri assegnati ai suoi vicini.

Parte 2.1 - Alcuni esempi per cominciare. 1. Solo in questa domanda, supponiamo che $\mathcal{S}=\{A,B,C\}$, con $A$ vicinato di $B$, se stesso vicinato di $C$ come nel disegno di seguito. Inoltre, $A$ è l’unico punto giallo e Gustav gli ha assegnato il vero $a$. Quali numeri Maryam deve quindi assegnare a $B$ e a $C$ per soddisfare la proprietà $(\mathcal{P})$?

2. Per le tre domande seguenti supponiamo che $\mathcal{S}=\{A,B,C,D,E\}$. I punti $A$ e $E$ sono gli unici punti gialli, ai quali Gustav ha assegnato rispettivamente i valori $a$ e $e$. a. Se i collegamenti sono indicati secondo il seguente schema, quali numeri Maryam deve quindi assegnare a ciascuno dei punti $B$, $C$ e $D$ per soddisfare la proprietà $(\mathcal{P})$? (corso lineare $A-B-C-D-E$) b. La stessa domanda per il seguente schema. c. La stessa domanda per il seguente schema (tipo di grafico completo, cfr. figura).

3. In questa domanda solo uno generalizza il sistema della domanda 2.c con un numero arbitrario di punti. Supponiamo che $n\ge 1$ sia un numero intero, che $\mathcal{S}=\{P_0,P_1,P_2,\dots ,P_n,P_{n+1}\}$ e che ogni punto di $\mathcal{S}$ sia un vicino di ogni altro punto di $\mathcal{S}$. Inoltre, $P_0$ e $P_{n+1}$ sono gli unici punti gialli e Gustav ha assegnato loro rispettivamente i valori $a$ e $b$. Quali numeri Maryam deve quindi assegnare a ciascuno dei punti $P_i$ per $i=1,\dots ,n$ per soddisfare la proprietà $(\mathcal{P})$?

Parte 2.2 - Studio del caso generale. Indichiamo rispettivamente con $\mathcal{J}$ l’insieme dei punti gialli e con $\mathcal{B}$ l’insieme dei punti blu. Quindi $\mathcal{S}=\mathcal{J}\cup \mathcal{B}$. Quando Gustav assegna un reale a ogni punto giallo, ciò equivale a definire una funzione $k$ da $\mathcal{J}$ a $\mathbb{R}$. L’obiettivo di Maryam è quindi quello di costruire una funzione $f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}$ tale che: $f(M)=k(M)\text{if }M\text{ is yellow}(1)$ $f(M)=\frac{f(P_1)+\dots +f(P_d)}{d}\text{if }M\text{ is blue}(2)$ dove $d=d(M)$ è il grado di $M$ (che dipende da $M$) e $P_1,\dots ,P_d$ sono i vicini di $M$. Quindi diciamo che $f$ è una soluzione per l’attribuzione $k$. In questa parte, supponiamo che, data tale attribuzione $k$. Indichiamo con $K$ il più grande dei numeri $k(M)$ quando $M$ si estende sul set $\mathcal{J}$.

Parte 2.3 - Esistenza di una soluzione. 1. Supponiamo in questa domanda che $k(M)\ge 0$ per ogni punto $M\in \mathcal{J}$. Quindi, per ricorrenza, costruiamo la seguente sequenza $(f_n)$ di funzioni: impostamo $f_0(M)=k(M)$ se $M$ è giallo, e $f_0(M)=0$ se $M$ è blu. Quindi, per ogni intero $n\ge 0$, impostamo: $f_{n+1}(M)=k(M)\text{if }M\text{ is yellow,}$ $f_{n+1}(M)=\frac{f_n(P_1)+\dots +f_n(P_d)}{d}\text{if }M\text{ is blue,}$ dove $d=d(M)$ è il grado di $M$ e $P_1,\dots ,P_d$ sono i vicini di $M$. a. Prove che per tutti $n\ge 0$ e per ogni punto $M\in \mathcal{S}$ si ha $0\le f_n(M)\le f_{n+1}(M)\le K$. b. Riduzione dell’esistenza di una soluzione per l’attribuzione $k$. 2. Prova che se $f$ è una soluzione per l’attribuzione $k$ e se $\alpha$ è una costante, allora la funzione $f+\alpha$ è anche una soluzione per l’attribuzione $k+\alpha$. 3. Deduci che esiste sempre una soluzione al nostro problema in generale, cioè senza l’ipotesi della domanda 1: $k(M)\ge 0$ per ogni punto $M\in \mathcal{J}$.

Parte 2.4 - Unicità della soluzione. Supponiamo che in questa sottoparte abbiamo una soluzione $f$ per questa attribuzione $k$. 4. Prove che per ogni punto $M\in \mathcal{S}$, uno ha $f(M)\le K$. 5. Supponiamo che $g$ sia anche una soluzione per l’attribuzione $k$. a. giustificare che la funzione $f-g$ soddisfi la condizione (2). b. Che cos’è $f-g$ su $\mathcal{J}$? c. Riduzione di $f=g$. 6. Cosa si può dire di $f$ se c’è solo un punto giallo?

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Golden-number (base-phi) representations: equivalence rule 011<->100, every natural number is golden, pure golden representations (no two consecutive 1s), golden content, bounds, existence/uniqueness, and an algorithm applied to 2018.

Problem 3: The golden numbers.

We denote by $\phi$ the largest real root of the equation $x^2=x+1$. The number $\phi$, known since Antiquity, is called the golden number. A real $x$ is said to be a golden number (‘nombre en or’) if there exist:

• two natural numbers $p$ and $q$
• integers $a_p,a_{p-1},\cdots ,a_0,\dots ,a_{-q}$ taking only the values $0$ or $1$ such that: $x=a_p{\phi }^p+a_{p-1}{\phi }^{p-1}+\dots +a_1\phi +a_0+a_{-1}{\phi }^{-1}+\cdots +a_{-q}{\phi }^{-q}$ In this case, we will write $x▹a_p{a}_{p-1}\cdots a_0,a_{-1}\cdots a_{-q}$. For example, if $x={\phi }^3+{\phi }^2+1+\frac{1}{\phi }+\frac{1}{{\phi }^4}$, we will write $x▹1101,1001$. We will then say that $1101,1001$ is a golden representation of $x$. It is clear that one may add, at the beginning or at the end of the representation, as many $0$s as one wishes. A sequence of a representation is a string of $0$s and $1$s that appears in the representation. In the previous example, $10110$ is a sequence of the representation $1101,1001$.

Part 3.1 - All natural numbers are golden.

1. Show that, in the golden representation of a real $x$, one can replace any sequence $011$ by $100$ and conversely, in order to obtain another golden representation of $x$. For example the real whose golden representation is $1101,1001$ also admits $1110,0001$ and $1101,0111$ as golden representations. One will say that the two sequences $011$ and $100$ are equivalent.
2. More generally, give a sequence in which there are never two consecutive $1$s and which is equivalent to $011\cdots 1$ where there are $n$ occurrences of the digit $1$.
3. Show that the integers $2$ and $3$ are golden numbers and give a golden representation of them.
4. Show that every natural number admits a golden representation.

Part 3.2 - Representation golden and pure. We say that a representation $x▹a_p{a}_{p-1}\cdots a_0,a_{-1}\cdots a_{-q}$ of a number $x$ is pure golden (‘en or pur’) if for all $i$, $a_i{a}_{i+1}=0$ In other words, a representation of $x$ is pure golden if and only if it never contains two consecutive $1$s. Let $x$ be a non-zero real; if $x▹a_p{a}_{p-1}\cdots a_0,a_{-1}\cdots a_{-q}$, one defines the golden content (‘teneur en or’) of the representation as being equal to the exponent of the largest power of $\phi$ whose coefficient equals $1$, in the equality $x=a_p{\phi }^p+\dots +a_{-q}{\phi }^{-q}$. For example, the golden content of the representation $1101,1001$ is equal to $3$ and that of $0,0010$ is equal to $-3$.

1. Give a pure golden representation of the integers $2$, $3$, $4$ and $5$.
2. Let $x$ be a real having a pure golden representation of golden content equal to $n$. a. Show that ${\phi }^n\le x<{\phi }^{n+1}$. b. Show that the pure golden representation of a real, if it exists, is unique.
3. Let $x$ be a non-zero real having a pure golden representation. a. Express the golden content of the pure golden representation of $x$ with the help of the natural logarithm and integer-part functions. b. Write an algorithm allowing to determine this representation. c. Apply your algorithm for $x=2018$.
4. Show that a golden real necessarily has a pure golden representation.
5. Show that there exist strictly positive reals that are not golden.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Representazioni di numeri d’oro (base-phi): regola di equivalenza 011<->100, ogni numero naturale è oro, rappresentazioni d’oro puro (nessun 1 consecutivo), contenuto d’oro, confini, esistenza/unicità e un algoritmo applicato al 2018.

Problema 3: i numeri d’oro.

Indichiamo con $\phi$ la radice reale più grande dell’equazione $x^2=x+1$. Il numero $\phi$, conosciuto fin dall’antichità, è chiamato numero d’oro. Un $x$ reale si dice un numero d’oro (“nombre en or”) se esiste: - due numeri naturali $p$ e $q$ - numeri interi $a_p,a_{p-1},\cdots ,a_0,\dots ,a_{-q}$ che assumono solo i valori $0$ o $1$ in modo tale che: $x=a_p{\phi }^p+a_{p-1}{\phi }^{p-1}+\dots +a_1\phi +a_0+a_{-1}{\phi }^{-1}+\cdots +a_{-q}{\phi }^{-q}$ In questo caso, scriveremo $x▹a_p{a}_{p-1}\cdots a_0,a_{-1}\cdots a_{-q}$. Per esempio, se $x={\phi }^3+{\phi }^2+1+\frac{1}{\phi }+\frac{1}{{\phi }^4}$, scriveremo $x▹1101,1001$. Diciamo quindi che $1101,1001$ è una rappresentazione dorata di $x$. È chiaro che si possono aggiungere, all’inizio o alla fine della rappresentazione, quante $0$ si desiderano. Una sequenza di una rappresentazione è una stringa di $0$s e $1$s che appare nella rappresentazione. Nel precedente esempio, $10110$ è una sequenza della rappresentazione $1101,1001$.

Parte 3.1 - Tutti i numeri naturali sono d’oro. 1. Mostrare che, nella rappresentazione dorata di un reale $x$, si può sostituire qualsiasi sequenza $011$ da $100$ e viceversa, al fine di ottenere un’altra rappresentazione dorata di $x$. Ad esempio il reale la cui rappresentazione dorata è $1101,1001$ ammette anche $1110,0001$ e $1101,0111$ come rappresentazioni dorate. Si dirà che le due sequenze $011$ e $100$ sono equivalenti. 2. Più in generale, indicare una sequenza in cui non ci sono mai due $1$ consecutive ed è equivalente a $011\cdots 1$ in cui ci sono $n$ episodi del numero $1$. 3. Indicare che i numeri interi $2$ e $3$ sono numeri d’oro e darne una rappresentazione d’oro. 4. Mostrare che ogni numero naturale ammette una rappresentazione dorata.

Parte 3.2 - Rappresentazione dorata e pura. Diciamo che una rappresentazione $x▹a_p{a}_{p-1}\cdots a_0,a_{-1}\cdots a_{-q}$ di un numero $x$ è di puro oro (‘en o pur’) se per tutti $i$, $a_i{a}_{i+1}=0$ In altre parole, una rappresentazione di $x$ è di puro oro se e solo se non contiene mai due $1$ consecutivi. Se $x$ è un reale non-zero, se $x▹a_p{a}_{p-1}\cdots a_0,a_{-1}\cdots a_{-q}$, si definisce il contenuto dorato (“teneur en or”) della rappresentazione come uguale all’ esponente della potenza più grande di $\phi$ il cui coefficiente è uguale a $1$, nell’uguaglianza $x=a_p{\phi }^p+\dots +a_{-q}{\phi }^{-q}$. Ad esempio, il contenuto dorato della rappresentazione $1101,1001$ è uguale a $3$ e quello di $0,0010$ è uguale a $-3$. 1. Indicare una rappresentazione in oro puro degli integri $2$, $3$, $4$ e $5$. 2. Il $x$ deve essere un reale che abbia una rappresentazione di oro puro del contenuto dorato pari a $n$. a. Mostra che ${\phi }^n\le x<{\phi }^{n+1}$. b. Mostrate che la pura rappresentazione d’oro di un reale, se esiste, è unica. 3. Lasciate che $x$ sia un reale non-zero con una rappresentazione di oro puro. a. Esprimere il contenuto dorato della rappresentazione dorata pura di $x$ con l’aiuto del logaritmo naturale e delle funzioni di parte integrale. b. Scrivi un algoritmo che permetta di determinare questa rappresentazione. c. Applicare l’algoritmo per $x=2018$. 4. Mostrate che una reale d’oro ha necessariamente una rappresentazione d’oro puro. 5. Mostrate che esistono realtà strettamente positive che non sono d’oro.

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