Concours Général des Lycées 2020 — Matematica

Pointed numbers: an integer n>=2 is pointed if there exist n consecutive integers each having a prime factor p>n; existence, large pointed numbers, counting via binomial coefficients and logarithmic estimates.

Problem 1: Pointed numbers (Nombres pointus).

Let $n$ be a natural number with $n\ge 2$. We say that $n$ is pointed if there exist $n$ consecutive integers each of which admits a prime factor $p>n$ (the inequality $p\ge n$ does not suffice).

For example, $1$ is pointed, and it is enough that the integer $n$ itself has no prime factor $p>n$; thus $5$ is not pointed since $5$ has no prime factor strictly greater than $5$. On the other hand $4$ is not pointed. The numbers $146$, $147=3\times 7^2$ and $2+2\times 3$ are pointed.

We seek to establish the following property $\mathcal{P}$: for every integer $m\ge 1$, there exists an integer $n$ such that the $m$ consecutive integers $n+1,n+2,\dots ,n+m$ are all pointed.

1.1 Some examples.

1. Is the number $2020$ pointed?
2. Which is the smallest pointed natural number not equal to $1$?
3. Which is the smallest pointed number possessing at least two distinct prime factors?
4. Show that there exist infinitely many non-pointed numbers.
5. Show that there exist infinitely many pointed numbers.
6. Establish the non-pointed numbers between $1$ and $20$. What is the maximal length of a sequence of consecutive non-pointed numbers between $1$ and $20$?

1.2 A bit on large pointed numbers. We set $0!=1$ and $\ell !=1\times 2\times \cdots \times \ell =\ell (\ell -1)!$ for every integer $\ell \ge 1$. Let $k$ and $n$ be two natural numbers with $k\le n$. We recall that the number $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ is an integer; we denote it $F_{n,k}$. 7. a. Compute the values of the numbers $F_{5,1}$ and $F_{5,k}$. b. Show that, if $k=0$ or $k=n$, then $F_{n,k}=1$. c. Show that, if $1\le k\le n-1$, then $F_{n,k}=F_{n-1,k}+F_{n-1,k-1}$. d. Deduce that, for every natural number $n$ and every natural number $k\le n$, $F_{n,k}$ is a multiple of $2^n$. In the parts that follow, for a natural number $n$, we denote by ${\mathrm{P}}_n$ the set of prime numbers $p$ such that $n+1\le p\le 2n$, and we denote by ${\pi }_n$ the number of elements of ${\mathrm{P}}_n$. 8. a. Show that, for every prime number $p$ belonging to the set ${\mathrm{P}}_n$, the integer $F_{2n,n}$ is divisible by $p$. b. Show that ${\pi }_n\le n$. c. Show that, if $p$ and $q$ are two distinct prime numbers belonging to the set ${\mathrm{P}}_n$, then $F_{2n,n}$ is divisible by $d$ (the product). d. Deduce that $n^{{\pi }_n}\le 2^{2n}$.

1.3 These sets with few elements. Let $b$ be a natural number with $b\ne 0$. Let $f_b:]0,+\infty [\to \mathbb{R}$ be the function defined by $f_b(x)=\frac{(\ln (x){)}^b}{x}\text{for }x>0.$ 9. a. Let $x$ be a real number such that $x>1$, and let $y=\ln (x)>0$. Show that $f_b(x)=\frac{b^b}{(\exp (y)/y{)}^b}.$ b. Deduce that ${\lim }_{x\to +\infty }{f}_b(x)=0$. In all the rest of this part, we consider natural numbers $\ell$ and $n$ with $n\ge 2$. 10. We denote by $A_{\ell }$ the set of nonzero natural numbers having all their prime factors inferior or equal to $2^{\ell }$. a. The prime numbers inferior to $2^{\ell }$: what is the cardinality of this set? b. Denote by $p_1,p_2,\dots ,p_k$ the prime numbers inferior or equal to $2^{\ell }$, numbered in increasing order. Let $a$ be an element of $A_{\ell }$ inferior or equal to $n$. Show that there exist natural numbers ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ such that $a=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \cdots \times p_k^{{\alpha }_k}$. c. Deduce that $A_{\ell }$ has at most ${\left(\frac{\ln (n)}{\ln (2)}+1\right)}^{2^{\ell }}$ elements inferior or equal to $n$. d. We set $b=2^{\ell }$. Show that $A_{\ell }$ has at most $\frac{2}{(\ln (2){)}^{2^{\ell }}}=f_b(2n)\times n$ elements inferior or equal to $n$. 11. a. Let $k$ be a nonzero natural number. We recall the set ${\mathrm{P}}_{j,k}$ designates the set of prime numbers $p$ such that $2^k+1\le p\le 2\times 2^k$, and let ${\pi }_{j,k}$ be the number of its elements. We denote by $B_{\ell ,1}$ the set of nonzero natural numbers having all their prime factors superior to $2^{\ell }$ and inferior or equal to $n$. Show ${\mathrm{P}}_{j,1}\cup {\mathrm{P}}_{j,2}\cup \dots$ b. Show that any element of the set $B_{\ell ,1}$ is… c. Let $\mu$ be a nonzero natural number. Determine the nonzero natural numbers inferior or equal to $n$ that are multiples of $\mu$ and inferior or equal to $n/p$. d. Deduce that the set $B_{\ell ,1}$ has at most $n\times {\pi }_n/2^k$ elements inferior or equal to $n$. e. Let $p_1,p_2$ be two distinct prime numbers. Show that the number of nonzero natural numbers inferior or equal to $n$ that are multiples of $p_1$ and of $p_2$ is inferior or equal to $n/(p_1\times p_2)$. f. Deduce that $B_{\ell ,1}$ has at most $4n/4^{\ell }$ elements inferior or equal to $n$. g. Deduce that $B_{\ell ,1}$ has at most $4n/4^{\ell }$ elements inferior or equal to $n$. 12. For every integer $k\ge 2$, we also denote by $C_k$ the set $\{B_{k-1}\cup B_{k-2}\cup \dots \}$ or $B_{k,2}$. a. What is the largest element of the set $C_2$? b. Deduce that the set $C_4$ has at most $\frac{4n}{k^2}\le \frac{4n}{k(k-1)}$ elements inferior or equal to $n$. 13. We now fix $\ell \ge 2$, and we denote by $D_{\ell }$ the set of nonzero natural numbers that belong to $C_k$ for no $k$. a. Show that any element of $\{1,\dots ,n\}$ belonging to $D_{\ell }$ belongs to one of the sets $C_2,C_3,\dots ,C_{\ell }$. b. Show that, for every integer $k\ge 2$, one has $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.$ c. Deduce that $D_{\ell }$ has at most $8n/(\ell -1)$ elements inferior or equal to $n$.

1.4 Many pointed numbers. In this part, we consider a fixed nonzero natural number $n$. 14. Show that there exists an integer $\ell \ge 2$ such that, for every integer $n\ge 1$, the set $D_{\ell }$ has at most $n$ elements inferior or equal to $3$ (inferior or equal to $3\delta n$). In what follows, we consider such an integer $\ell$. 15. a. Let $n$ be a nonzero natural number. Show that, if $n$ is not pointed, then $n$ belongs to $A_{\ell }$ or to $D_{\ell }$. b. Show that there exist at least $n/2$ natural numbers inferior or equal to $n$ that are not pointed (inferior or equal to $3\delta n$). 16. Show that there exists an integer $n\ge 1$ such that $\exp (\delta n)$ for every $n\ge 1$. 17. Deduce that there exists a natural number $k$ inferior or equal to $2\delta n$ such that each of the integers $mk+1,mk+2,\dots ,m(k+1)$ is pointed. 18. Prove the property $\mathcal{P}$ introduced in the preamble of the statement.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Conteggio, Disuguaglianze, Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico, Stima, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Numeri puntati: un intero n>=2 è puntato se esistono n numeri interi consecutivi ognuno con un fattore primo p>n; esistenza, grandi numeri puntati, conteggiamento tramite coefficienti binomiali e stime logaritmiche.

Problema 1: Numeri puntati (Nombres pointus).

$n$ sia un numero naturale con $n\ge 2$. Diciamo che $n$ è puntato se esistono $n$ numeri interi consecutivi che ciascuno di essi ammette un fattore primo $p>n$ (l’ineguaglianza $p\ge n$ non è sufficiente).

Ad esempio, $1$ è puntato, e basta che il numero intero $n$ stesso non abbia fattore primo $p>n$; quindi $5$ non è puntato poiché $5$ non ha fattore primo strettamente superiore a $5$. D’altra parte $4$ non è puntato. I numeri $146$, $147=3\times 7^2$ e $2+2\times 3$ sono puntati.

Cerchiamo di stabilire la seguente proprietà $\mathcal{P}$: per ogni numero intero $m\ge 1$, esiste un numero intero $n$ in modo che tutti i numeri interi consecutivi $m$ $n+1,n+2,\dots ,n+m$ siano puntati.

1.1 Alcuni esempi. 1. Il numero $2020$ è puntato? 2. Qual è il numero naturale puntato più piccolo non uguale a $1$? 3. Quale è il numero più piccolo puntato che possiede almeno due fattori primi distinti? 4. Mostrare che esistono infiniti numeri non puntati. 5. Mostrare che esistono infinitamente molti numeri punti. 6. Indicare i numeri non indicati tra $1$ e $20$. Qual è la lunghezza massima di una sequenza di numeri consecutivi non puntati tra $1$ e $20$?

1.2 Un po’ sui numeri a grandi punte. Abbiamo impostato $0!=1$ e $\ell !=1\times 2\times \cdots \times \ell =\ell (\ell -1)!$ per ogni intero $\ell \ge 1$. $k$ e $n$ siano due numeri naturali con $k\le n$. Ricordiamo che il numero $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ è un numero intero; lo denonizziamo $F_{n,k}$. 7. a. Calcolare i valori dei numeri $F_{5,1}$ e $F_{5,k}$. b. Indicare che, se $k=0$ o $k=n$, allora $F_{n,k}=1$. c. Indicare che, se $1\le k\le n-1$, allora $F_{n,k}=F_{n-1,k}+F_{n-1,k-1}$. d. Deduzione che per ogni numero naturale $n$ e per ogni numero naturale $k\le n$, $F_{n,k}$ è un multiple di $2^n$. Nelle parti che seguono, per un numero naturale $n$, indichiamo con ${\mathrm{P}}_n$ l’insieme dei numeri primi $p$ tale che $n+1\le p\le 2n$, e indichiamo con ${\pi }_n$ il numero di elementi di ${\mathrm{P}}_n$. 8. a. Mostra che per ogni numero primo $p$ appartenente al set ${\mathrm{P}}_n$, l’intero $F_{2n,n}$ è divisibile per $p$. b. Mostra che ${\pi }_n\le n$. c. Indicare che, se $p$ e $q$ sono due numeri primi distinti appartenenti all’insieme ${\mathrm{P}}_n$, allora $F_{2n,n}$ è divisibile da $d$ (il prodotto). d. Riduzione di $n^{{\pi }_n}\le 2^{2n}$.

1.3 Questi insieme con pochi elementi. $b$ sia un numero naturale con $b\ne 0$. $f_b:]0,+\infty [\to \mathbb{R}$ sia la funzione definita da $f_b(x)=\frac{(\ln (x){)}^b}{x}\text{for }x>0.$ 9. a. $x$ sia un numero reale tale che $x>1$, e $y=\ln (x)>0$. Mostrare che $f_b(x)=\frac{b^b}{(\exp (y)/y{)}^b}.$ b. Riduzione di ${\lim }_{x\to +\infty }{f}_b(x)=0$. In tutto il resto di questa parte, consideriamo i numeri naturali $\ell$ e $n$ con $n\ge 2$. 10. Indichiamo con $A_{\ell }$ l’insieme di numeri naturali non zero che hanno tutti i loro fattori primi inferiori o uguali a $2^{\ell }$. a. I numeri primi inferiori a $2^{\ell }$: qual è la cardinalità di questo insieme? b. Denotare con $p_1,p_2,\dots ,p_k$ i numeri primi inferiori o uguali a $2^{\ell }$, numerati in ordine crescente. Il $a$ deve essere un elemento di $A_{\ell }$ inferiore o uguale a $n$. Indicare che esistono numeri naturali ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ tali da $a=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \cdots \times p_k^{{\alpha }_k}$. c. Riduzione che $A_{\ell }$ abbia almeno ${\left(\frac{\ln (n)}{\ln (2)}+1\right)}^{2^{\ell }}$ elementi inferiori o uguali a $n$. d. Abbiamo impostato $b=2^{\ell }$. Indicare che $A_{\ell }$ ha almeno $\frac{2}{(\ln (2){)}^{2^{\ell }}}=f_b(2n)\times n$ elementi inferiori o uguali a $n$. 11. a. $k$ sia un numero naturale non zero. Ricordiamo che l’insieme ${\mathrm{P}}_{j,k}$ designa l’insieme dei numeri primi $p$ in modo tale che $2^k+1\le p\le 2\times 2^k$, e che ${\pi }_{j,k}$ sia il numero dei suoi elementi. Indichiamo con $B_{\ell ,1}$ l’insieme di numeri naturali non zero che hanno tutti i loro fattori primi superiori a $2^{\ell }$ e inferiori o uguali a $n$. Indicare ${\mathrm{P}}_{j,1}\cup {\mathrm{P}}_{j,2}\cup \dots$ b. Mostrare che qualsiasi elemento dell’insieme $B_{\ell ,1}$ è… c. $\mu$ sia un numero naturale non zero. Determinare i numeri naturali non zero inferiori o uguali a $n$ che sono multipli di $\mu$ e inferiori o uguali a $n/p$. d. Deduzione che l’insieme $B_{\ell ,1}$ abbia al massimo $n\times {\pi }_n/2^k$ elementi inferiori o uguali a $n$. e. $p_1,p_2$ siano due numeri primi distinti. Indicare che il numero di numeri naturali non zero inferiori o uguali a $n$ che sono multipli di $p_1$ e di $p_2$ è inferiore o uguale a $n/(p_1\times p_2)$. f. Riduzione che $B_{\ell ,1}$ abbia almeno $4n/4^{\ell }$ elementi inferiori o uguali a $n$. g. Riduzione che $B_{\ell ,1}$ abbia almeno $4n/4^{\ell }$ elementi inferiori o uguali a $n$. 12. Per ogni intero $k\ge 2$, indichiamo anche con $C_k$ l’insieme $\{B_{k-1}\cup B_{k-2}\cup \dots \}$ o $B_{k,2}$. a. Qual è l’elemento più grande dell’insieme $C_2$? b. Deduzione che l’insieme $C_4$ abbia al massimo $\frac{4n}{k^2}\le \frac{4n}{k(k-1)}$ elementi inferiori o uguali a $n$. 13. Ora si fissa $\ell \ge 2$, e si denota con $D_{\ell }$ l’insieme di numeri naturali non zero che appartengono a $C_k$ per nessun $k$. a. Indicare che qualsiasi elemento di $\{1,\dots ,n\}$ appartenente a $D_{\ell }$ appartiene a uno degli insiemi $C_2,C_3,\dots ,C_{\ell }$. b. Mostrare che per ogni numero intero $k\ge 2$, uno ha $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.$ c. Riduzione che $D_{\ell }$ abbia almeno $8n/(\ell -1)$ elementi inferiori o uguali a $n$.

1.4 Molti numeri puntati. In questa parte, consideriamo un numero naturale fisso non zero $n$. 14. Mostrare che esiste un intero $\ell \ge 2$ tale che, per ogni intero $n\ge 1$, l’insieme $D_{\ell }$ abbia al massimo $n$ elementi inferiori o uguali a $3$ (inferiori o uguali a $3\delta n$). In quanto segue, consideriamo tale numero intero $\ell$. 15. a. $n$ sia un numero naturale non zero. Indicare che, se $n$ non è puntato, allora $n$ appartiene a $A_{\ell }$ o a $D_{\ell }$. b. Mostrare che esistono almeno $n/2$ numeri naturali inferiori o uguali a $n$ che non sono puntati (inferiori o uguali a $3\delta n$). 16. Indicare che esiste un numero intero $n\ge 1$ tale da $\exp (\delta n)$ per ogni $n\ge 1$. 17. Deduire che esiste un numero naturale $k$ inferiore o uguale a $2\delta n$ in modo tale che ciascuno dei numeri interi $mk+1,mk+2,\dots ,m(k+1)$ sia puntato. 18. Provare la proprietà $\mathcal{P}$ introdotta nel preambolo della dichiarazione.

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An explosive number: the sequence x_{n+1}=(1+1/x_n)^n with x_1=a; the function f_n(x)=(1+1/x)^n; an explosivity criterion; proving there is a unique explosive number via a contraction argument.

Problem 2: An explosive number (Un nombre explosif).

If $a$ is a strictly positive real number, we define the sequence $(x_n)$ by $x_1=a$ and $x_{n+1}={\left(1+\frac{1}{x_n}\right)}^n\text{for every integer }n\ge 1,$ which we call the sequence associated to $a$. We say that the number $a$ is explosive if the sequence $(x_n)$ associated to $a$ diverges to $+\infty$. The goal of the problem is to prove that there exists a unique explosive number.

For every integer $n\ge 1$, we designate by $f_n$ the function defined on ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ by $f_n(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^n\text{for every real }x>0,$ so that for every integer $n\ge 1$, we have $x_{n+1}=f_n(x_n)$. Throughout the problem, for every real $t$, the exponential of $t$ is denoted $\exp (t)$.

2.1 A bounding of $f_n(x)$. Let $x$ be a strictly positive real.

1. Show that $\frac{1}{x+1}\le {\int }_x^{x+1}\frac{dt}{t}\le \frac{1}{x}$.
2. Deduce that $\frac{1}{x+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}$.
3. Deduce that, for every integer $n\ge 1$, one has $\exp \left(\frac{n}{x+1}\right)\le f_n(x)\le \exp \left(\frac{n}{x}\right).$

2.2 A criterion of explosivity. 4. Let $a$ be a strictly positive real and $(x_n)$ the sequence associated to $a$. Can the sequence $(x_n)$ be bounded above? Can it be convergent? For every integer $n\ge 1$, we set $y_n=\frac{n+1}{\ln (x_{n+1})}$. 5. a. Study the variations of the function $g$ defined on $]2,+\infty [$ by $g(x)=\frac{x}{\ln (x+1)}\text{for every real }x\ge 0.$ b. Deduce that, for every integer $n\ge 0$, one has $y_n>e$. c. Show that, for every integer $n\ge 2$, one has $x_n>1$ and $y_{n-1}\le \frac{n}{\ln (x_n)}$. 6. Let $a$ be a strictly positive real and $(x_n)$ the sequence associated to it. a. Show that, for every integer $n\ge 8$, if $x_n<y_{n-1}$ then $x_{n+1}>1$ and $x_{n+2}\ge e$. b. Deduce that, if $a$ is explosive, then $x_n>1$ and $x_{n+1}>e$ for every integer $n\ge 8$. c. Show that, if $a$ is explosive, then $x_n>e$ for every integer $n\ge 8$. d. Show that $a$ is explosive if and only if $y_{n-1}\le x_n\le \frac{e}{\ln (x_n)}$ for every integer $n\ge 8$. 7. Let $a$, $\beta$ and $\gamma$ be three strictly positive reals such that $a<\beta <\gamma$. Show that, if $a$ and $\gamma$ are explosive, then $\beta$ also is.

2.3 A unique explosive number. Let $r$ and $s$ be two functions defined on ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ and such that $s(x)>0$ for all $x>0$. We designate by $r\circ s$ the function defined on ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ by $r\circ s(x)=r(s(x))$ for all $x>0$. We then set $h_1=f_1$ and $h_n=f_n\circ h_{n-1}\text{for every integer }n\ge 2.$ Moreover, we denote by $h_n[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$ the set of reals $h_n(x)$ as $x$ runs over ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. 8. a. Make explicit the expression of $h_2(x)$ for every real $x>0$. b. Show that, for every integer $n\ge 1$, the function $h_n$ is continuous on ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. 9. a. Show that, for every integer $n\ge 1$, the function $h_n$ is strictly monotone on ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. b. With the help of the calculator and without further justification, determine approximate values to $10^{-3}$ of the reals $a$ and $b$ such that $h_8[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$ is the corresponding interval. Verify that $a<e$ and $b>e$. c. Show that, for every integer $n\ge 9$, one has $e\in ]c,n]\subset h_{n-1}[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$. d. Deduce that, for every integer $n\ge 9$, one has $]a,n]\subset h_{n-1}[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$. For every real $n\ge 9$, we set $J_n=[y_{n-1},n/\ln (y_n)]$ and we denote by $I_n$ the set of strictly positive reals such that $h_{n-1}(x)\in J_n$. 10. a. Show that, for every integer $n\ge 9$, there exist reals $a_n$ and $b_n$ such that $J_n=]a_n,b_n]$. b. Show that, for every integer $n\ge 9$, one has $J_{n+1}\subset J_n$. 11. a. Show that $a$ and $\beta$ are explosive. b. Show that a single $x>0$ is explosive if and only if $a\le x\le b$. 12. a. Show that, for every integer $n\ge 9$ and every real $x\in I_n$, one has $|f_n^{\prime }(x)|\ge \left|f_n\left(\frac{n}{\ln (x)}\right)\right|.$ b. Deduce that, for every integer $n\ge 9$ and every real $x\in I_n$, one has $|f_n^{\prime }(x)|\ge \frac{y_n[\ln (y_n){]}^2}{n}\exp \left(-\frac{1+\ln (y_n)}{n+\ln (y_n)}\ln (y_n)\right).$ c. Show that $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{y_n\ln (n)}{n}=1$ and $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (y_n)}{\ln (n)}=1$. d. Deduce that there exists a real $N>9$ such that, for every integer $n\ge N$ and every real $x\in I_n$, one has $|f_n^{\prime }(x)|\ge 2$. 13. In this question, we designate by $N$ such an integer. a. Deduce from question 12.d that, for every integer $n\ge N$ and every real $x\in I_n$, one has $|f_n(x)-f_n(y)|\ge 2|x-y|.$ b. Show that, if $a<\beta$, then there exists a strictly positive real $C$ such that $|a_n-{\beta }_n|\ge C\times 2^n$ for every integer $n\ge N$. 14. a. Show that there exists a unique explosive number. b. With the help of the calculator and indicating the algorithm used, give an approximate value of $a$ to within $10^{-2}$.

Topic: Algebra, Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Ricorsione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Un numero esplosivo: la sequenza x_{n+1}=(1+1/x_n)^n con x_1=a; la funzione f_n(x)=(1+1/x)^n; un criterio di esplosività; dimostrando l’esistenza di un numero esplosivo unico tramite un argomento di contrazione.

Problema 2: Numero esplosivo (Un nombre explosif).

Se $a$ è un numero reale rigorosamente positivo, definiamo la sequenza $(x_n)$ da $x_1=a$ e $x_{n+1}={\left(1+\frac{1}{x_n}\right)}^n\text{for every integer }n\ge 1,$ che chiamiamo la sequenza associata a $a$. Diciamo che il numero $a$ è esplosivo se la sequenza $(x_n)$ associata a $a$ diverge da $+\infty$. L’obiettivo del problema è dimostrare che esiste un numero esplosivo unico.

Per ogni intero $n\ge 1$, designhiamo con $f_n$ la funzione definita su ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ da $f_n(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^n\text{for every real }x>0,$ in modo che per ogni intero $n\ge 1$, abbiamo $x_{n+1}=f_n(x_n)$. In tutto il problema, per ogni reale $t$, l’esponenziale di $t$ è indicato $\exp (t)$.

2.1 Un delimitamento di $f_n(x)$. Che il $x$ sia un reale rigorosamente positivo. 1. Mostra che $\frac{1}{x+1}\le {\int }_x^{x+1}\frac{dt}{t}\le \frac{1}{x}$. 2. Riduzione di $\frac{1}{x+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}$. 3. Deduci che, per ogni numero intero $n\ge 1$, uno ha $\exp \left(\frac{n}{x+1}\right)\le f_n(x)\le \exp \left(\frac{n}{x}\right).$

2.2 Criterio di esplosività. 4. Che $a$ sia un reale rigorosamente positivo e $(x_n)$ la sequenza associata a $a$. La sequenza $(x_n)$ può essere dilimitata sopra? Può essere convergente? Per ogni intero $n\ge 1$, impostamo $y_n=\frac{n+1}{\ln (x_{n+1})}$. 5. a. Studiare le variazioni della funzione $g$ definita su $]2,+\infty [$ da $g(x)=\frac{x}{\ln (x+1)}\text{for every real }x\ge 0.$ b. Deduci che, per ogni numero intero $n\ge 0$, uno ha $y_n>e$. c. Mostrare che per ogni numero intero $n\ge 2$, uno ha $x_n>1$ e $y_{n-1}\le \frac{n}{\ln (x_n)}$. 6. Che $a$ sia un reale strettamente positivo e $(x_n)$ la sequenza associata a esso. a. Indicare che, per ogni numero intero $n\ge 8$, se $x_n<y_{n-1}$ allora $x_{n+1}>1$ e $x_{n+2}\ge e$. b. Se $a$ è esplosivo, dedurre che $x_n>1$ e $x_{n+1}>e$ per ogni numero intero $n\ge 8$. c. Indicare che, se $a$ è esplosivo, allora $x_n>e$ per ogni numero intero $n\ge 8$. d. Indicare che $a$ è esplosivo se e solo se $y_{n-1}\le x_n\le \frac{e}{\ln (x_n)}$ per ogni numero intero $n\ge 8$. 7. Se $a$, $\beta$ e $\gamma$ sono tre valori rigorosamente positivi tali che $a<\beta <\gamma$. Indicare che, se $a$ e $\gamma$ sono esplosivi, allora anche $\beta$ lo è.

2.3 Numero esplosivo unico. Lasciate che $r$ e $s$ siano due funzioni definite su ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ e tali che $s(x)>0$ per tutte le $x>0$. Indichiamo con $r\circ s$ la funzione definita su ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ con $r\circ s(x)=r(s(x))$ per tutti $x>0$. Quindi impostamo $h_1=f_1$ e $h_n=f_n\circ h_{n-1}\text{for every integer }n\ge 2.$ Inoltre, indichiamo con $h_n[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$ l’insieme di reali $h_n(x)$ come $x$ corre su ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. 8. a. Indicare esplicitamente l’espressione di $h_2(x)$ per ogni $x>0$ reale. b. Mostra che per ogni numero intero $n\ge 1$, la funzione $h_n$ è continua su ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. 9. a. Mostra che per ogni numero intero $n\ge 1$, la funzione $h_n$ è strettamente monotona su ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. b. Con l’aiuto del calcolatore e senza ulteriori giustificazioni, determinare valori approssimativi a $10^{-3}$ dei valori reali $a$ e $b$ in modo tale che $h_8[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$ sia l’intervallo corrispondente. Verificare che $a<e$ e $b>e$. c. Mostrare che per ogni intero $n\ge 9$, uno ha $e\in ]c,n]\subset h_{n-1}[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$. d. Deduci che, per ogni intero $n\ge 9$, uno ha $]a,n]\subset h_{n-1}[{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }]$. Per ogni reale $n\ge 9$, imponiamo $J_n=[y_{n-1},n/\ln (y_n)]$ e denonizziamo con $I_n$ l’insieme di reali rigorosamente positivi come $h_{n-1}(x)\in J_n$. 10. a. Mostrare che per ogni numero intero $n\ge 9$ esistono valori reali $a_n$ e $b_n$ tali da $J_n=]a_n,b_n]$. b. Mostrare che per ogni numero intero $n\ge 9$, uno ha $J_{n+1}\subset J_n$. 11. a. Indicare che $a$ e $\beta$ sono esplosivi. b. Indicare che un singolo $x>0$ è esplosivo se e solo se $a\le x\le b$. 12. a. Mostrare che per ogni intero $n\ge 9$ e per ogni reale $x\in I_n$, si ha $|f_n^{\prime }(x)|\ge \left|f_n\left(\frac{n}{\ln (x)}\right)\right|.$ b. Deduci che, per ogni intero $n\ge 9$ e per ogni reale $x\in I_n$, si ha $|f_n^{\prime }(x)|\ge \frac{y_n[\ln (y_n){]}^2}{n}\exp \left(-\frac{1+\ln (y_n)}{n+\ln (y_n)}\ln (y_n)\right).$ c. Indicare che $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{y_n\ln (n)}{n}=1$ e $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (y_n)}{\ln (n)}=1$. d. Deduci che esiste un $N>9$ reale in modo tale che, per ogni intero $n\ge N$ e per ogni reale $x\in I_n$, si abbia $|f_n^{\prime }(x)|\ge 2$. 13. In questa domanda, indichiamo con $N$ un tale intero. a. Dalla domanda 12.d si deduce che per ogni intero $n\ge N$ e per ogni reale $x\in I_n$ si ha $|f_n(x)-f_n(y)|\ge 2|x-y|.$ b. Mostrare che, se $a<\beta$, allora esiste un reale $C$ strettamente positivo tale che $|a_n-{\beta }_n|\ge C\times 2^n$ per ogni intero $n\ge N$. 14. a. Mostrare che esiste un numero esplosivo unico. b. Con l’aiuto del calcolatore e indicando l’algoritmo utilizzato, indicare un valore approssimativo di $a$ all’interno di $10^{-2}$.

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