Concours Général des Lycées 2021 — Matematica

Petits poids: for a finite sequence of n reals one defines its weight as the largest of the absolute partial-sum-type values |x_1|,|x_1+x_2|,…,|x_1+…+x_n|; Isabelle minimizes the weight over all orderings (value I), Clara uses a greedy algorithm (value C); compare I and C.

Probleme 1: “Petits poids” (Small weights). For every integer $n$ greater than or equal to $2$, and every finite sequence of $n$ reals $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, one calls weight of the sequence the largest of the values $|x_1|,|x_1+x_2|,\dots ,|x_1+x_2+\cdots +x_n|$. For example, for $n=4$ and $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4,4,0,-9)$, the weight of the sequence is equal to $8$, because $|x_1|=4$, $|x_1+x_2|=8$, $|x_1+x_2+x_3|=8$ and $|x_1+x_2+x_3+x_4|=1$. For $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-9,4,0,4)$, the weight is equal to $9$, because $|x_1|=9$, $|x_1+x_2|=5$, $|x_1+x_2+x_3|=5$ and $|x_1+x_2+x_3+x_4|=1$. One notes that the two finite sequences above are formed of the same numbers in a different order and that they have different weights.

1. Determine the weights of the following finite sequences: a. $(3,5,-6,-8,2)$ (and so $n=5$). b. $(1,2,3,\dots ,2014,2015,-2015,-2014,\dots ,-2,-1)$ (and so $n=4030$). c. In each of the two preceding examples, reorder the terms so as to obtain a smaller weight.

One gives to Isabelle and Clara the same finite sequence of $n$ reals $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Isabelle wishes to reorder these $n$ reals so as to obtain a finite sequence of minimal weight. To do this, she considers all the possible orderings of these $n$ reals, determines for each one the weight of the corresponding sequence, and chooses an order for which the weight is minimal. One notes $I$ this minimal weight. For her part, Clara, more hurried than Isabelle, adopts the following algorithm. She begins by choosing among the $n$ reals one number, noted $c_1$, so that the value of $|c_1|$ is the smallest possible. She then chooses the number $c_2$ among the $n-1$ reals that remain, so that the value of $|c_1+c_2|$ is the smallest possible. More generally, after having chosen the numbers $c_1,\dots ,c_i$ among the $n$ reals given at the start, she chooses $c_{i+1}$ among the $n-i$ remaining ones so that the value of $|c_1+\cdots +c_i+c_{i+1}|$ is the smallest possible. She finally obtains a finite sequence $(c_1,\dots ,c_n)$ of $n$ reals. One notes $C$ its weight.

2. Determine $I$ and $C$ in the two following cases. a. $n=3$ and $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-4$. b. $n=4$ and $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=-2$.

3. If $n=2$, show that $I=C$.

4. If $n=3$, show that $C\le \frac{3}{2}I$.

5. Let $n$ be an integer greater than or equal to $4$ and let $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ be the finite sequence given to Isabelle and Clara. One sets: $M=\max (|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|)S=|x_1+x_2+\cdots +x_n|N=\max (M,S)$ In other words, $M$ is the largest of the numbers $|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|$. Likewise, $N$ is the largest of the numbers $M$ and $S$. a. Show that $S\le I$. b. Show that $M\le 2I$. c. Show that $C\le N$. d. Deduce that $C\le 2I$. e. Determine $n$ reals $x_1,x_2,\dots ,x_n$ such that $C=2I$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

*Peter’s Weights: per una sequenza finita di n reals si definisce il suo peso come il più grande dei valori del tipo di somma parziale assoluta.

Problemi 1: “Peteits weights” (piccoli pesi). Per ogni numero intero $n$ maggiore o uguale a $2$ e per ogni sequenza finita di $n$ reale $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, si chiama peso della sequenza il più grande dei valori $|x_1|,|x_1+x_2|,\dots ,|x_1+x_2+\cdots +x_n|$. Per esempio, per $n=4$ e $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4,4,0,-9)$, il peso della sequenza è uguale a $8$, perché $|x_1|=4$, $|x_1+x_2|=8$, $|x_1+x_2+x_3|=8$ e $|x_1+x_2+x_3+x_4|=1$. Per $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-9,4,0,4)$, il peso è uguale a $9$, perché $|x_1|=9$, $|x_1+x_2|=5$, $|x_1+x_2+x_3|=5$ e $|x_1+x_2+x_3+x_4|=1$. Si nota che le due sequenze finite di cui sopra sono formate dai medesimi numeri in un ordine diverso e che hanno pesi diversi.

1. Determinare i pesi delle seguenti sequenze finite: a. $(3,5,-6,-8,2)$ (e quindi $n=5$). b. $(1,2,3,\dots ,2014,2015,-2015,-2014,\dots ,-2,-1)$ (e quindi $n=4030$). c. In ciascuno dei due esempi precedenti, riordinare i termini in modo da ottenere un peso minore.

Uno dà a Isabelle e Clara la stessa sequenza finita di $n$ reali $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Isabelle desidera riordinare questi reali $n$ in modo da ottenere una sequenza finita di peso minimo. Per fare ciò, considera tutti gli ordini possibili di questi reali $n$, determina per ciascuno il peso della sequenza corrispondente e sceglie un ordine per il quale il peso è minimo. Si nota $I$ questo peso minimo. Per sua parte, Clara, più affrettata di Isabelle, adotta l’algoritmo seguente. Inizia scegliendo tra i reali $n$ un numero, nota $c_1$, in modo che il valore di $|c_1|$ sia il più piccolo possibile. Sceglie quindi il numero $c_2$ tra i reali $n-1$ rimasti, in modo che il valore di $|c_1+c_2|$ sia il più piccolo possibile. Più in generale, dopo aver scelto i numeri $c_1,\dots ,c_i$ tra i reali $n$ indicati all’inizio, sceglie $c_{i+1}$ tra i rimanenti $n-i$ in modo che il valore di $|c_1+\cdots +c_i+c_{i+1}|$ sia il più piccolo possibile. Finalmente ottiene una sequenza finita $(c_1,\dots ,c_n)$ di $n$ reali. Uno nota $C$ il suo peso.

2. Determinare $I$ e $C$ nei due casi seguenti. a. $n=3$ e $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-4$. b. $n=4$ e $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=-2$.

3. Se $n=2$, indicare che $I=C$.

4. Se $n=3$, indicare che $C\le \frac{3}{2}I$.

5. Che $n$ sia un numero intero maggiore o uguale a $4$ e che $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ sia la sequenza finita data a Isabelle e Clara. Un insieme: $M=\max (|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|)S=|x_1+x_2+\cdots +x_n|N=\max (M,S)$ In altre parole, $M$ è il più grande dei numeri $|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|$. Allo stesso modo, $N$ è il più grande dei numeri $M$ e $S$. a. Mostra che $S\le I$. b. Mostra che $M\le 2I$. c. Mostra che $C\le N$. d. Riduzione di $C\le 2I$. e. Determinare i valori $n$ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tali da $C=2I$.

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Tetrahedra: properties of a tetrahedron ABCD; existence of the centroid G and of the circumscribed sphere; concurrency of altitudes (in O, in G, necessarily) and characterisation of regular tetrahedra; a criterion for concurrency of altitudes via dot products of unit direction vectors.

Probleme 2: “Tetraedres” (Tetrahedra). One calls tetrahedron the data, in space, of four non-coplanar points $A$, $B$, $C$, $D$. The edges of the tetrahedron are the segments $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BC]$, $[BD]$, $[CD]$. In questions 3 to 3., $ABCD$ designates a tetrahedron.

1.a. Show that there exists a unique point $G$ such that $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. b. One calls median issued from $A$ the line joining $A$ to the centroid of the triangle $BCD$, and one defines analogously the three other medians, issued from $B$, $C$ and $D$. Show that the medians are concurrent at the point $G$.

2. Show that there exists a unique sphere passing through $A$, $B$, $C$, $D$. One calls it the sphere circumscribed to the tetrahedron $ABCD$ and one notes $O$ its center.

3. One calls altitude issued from $A$ the line passing through $A$ orthogonal to the plane $BCD$. One defines analogously the three other altitudes, issued from $B$, $C$ and $D$. One says that a tetrahedron of space is regular if all its edges are of the same length. a. Is it true that the altitudes are concurrent at $O$ if and only if the tetrahedron is regular? b. Are the altitudes necessarily concurrent? c. Is it true that the altitudes are concurrent at $G$ if and only if the tetrahedron is regular?

4. In what follows, the dot product of two vectors $\vec{v}$ and $\vec{w}$ is noted $\vec{v}\cdot \vec{w}$. Let ${\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_4$ be four distinct non-coplanar lines concurrent at a point $H$. For $1\le i\le 4$ one chooses a unit direction vector ${\vec{u}}_i$ of ${\Delta }_i$ and, for $1\le i,j\le 4$, one notes $c_{ij}={\vec{u}}_i\cdot {\vec{u}}_j$. a. One supposes that there exists a tetrahedron $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ whose altitudes are concurrent at $H$ and such that $A_j\in {\Delta }_j$ for all $j\in \{1,2,3,4\}$. Show that $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}$. b. Conversely, if $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}\ne 0$, show that there exists a tetrahedron $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ whose altitudes are concurrent at $H$ and such that $A_j\in {\Delta }_j$ for all $j\in \{1,2,3,4\}$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Tetraedri: proprietà di un tetraedro ABCD; esistenza del centroide G e della sfera circoscritta; concomitanza di altitudini (in O, in G, necessariamente) e caratterizzazione di tetraedri regolari; un criterio per la concomitanza di altitudini tramite prodotti dotati di vettori di direzione unità.

Problemi 2: “Tetraedres” (Tetraedra). Si chiama tetraedro i dati, nello spazio, di quattro punti non coplanari $A$, $B$, $C$, $D$. I bordi del tetraedro sono i segmenti $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BC]$, $[BD]$, $[CD]$. Nella domanda da 3 a 3, $ABCD$ indica un tetraedro.

1.a. Indicare che esiste un punto unico $G$ tale che $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. b. Uno definisce la media emessa da $A$ la linea che unisce $A$ al centroide del triangolo $BCD$, e uno definisce in modo analogo le altre tre media emesse da $B$, $C$ e $D$. Indicare che i mediani sono simultanei al punto $G$.

2. Mostrare che esiste una sfera unica che attraversa $A$, $B$, $C$, $D$. Uno lo chiama la sfera circoscritta al tetraedro $ABCD$ e uno nota $O$ il suo centro.

3. Un’altitudine viene chiamata da $A$ la linea che passa attraverso $A$ ortogonale al piano $BCD$. Si definiscono in modo analogo le altre tre altitudini, emesse da $B$, $C$ e $D$. Si dice che un tetraedro di spazio sia regolare se tutti i suoi bordi sono della stessa lunghezza. a. È vero che le altitudini sono simultanee a $O$ se e solo se il tetraedro è regolare? b. Le altitudini sono necessariamente contemporanee? c. È vero che le altitudini sono simultanee a $G$ se e solo se il tetraedro è regolare?

4. In quanto segue, il prodotto del punto di due vettori $\vec{v}$ e $\vec{w}$ è indicato $\vec{v}\cdot \vec{w}$. Le linee ${\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_4$ devono essere quattro linee non coplanarie distinte, che sono simultanee in un punto $H$. Per $1\le i\le 4$ si sceglie un vettore di direzione unitaria ${\vec{u}}_i$ di ${\Delta }_i$ e, per $1\le i,j\le 4$, una nota $c_{ij}={\vec{u}}_i\cdot {\vec{u}}_j$. a. Si suppone che esista un tetraedro $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ le cui altitudini sono simultanee a $H$ e tale che $A_j\in {\Delta }_j$ per tutti $j\in \{1,2,3,4\}$. Mostrare che $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}$. b. Al contrario, se $c_{12}{c}_{34}=c_{13}{c}_{24}=c_{14}{c}_{23}\ne 0$, dimostrare che esiste un tetraedro $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ le cui altitudini sono simultanee a $H$ e tale che $A_j\in {\Delta }_j$ per tutti $j\in \{1,2,3,4\}$.

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Probability problem on the number D_n of balls eliminated/remaining: study the probabilities p_j that ball number j is eliminated in the first selection, the largest probability M_n, the most probable result via property P_n (P(D_n=n)=M_n), and a chain of inequalities P(D_n=k)<=P(D_n=k+1) for k<=n-2. ONLY questions 8-17 are visible in the images (the statement/setup and questions 1-7 are not shown).

Probleme (probability; title not visible, concerns a quantity $D_n$ counting balls; ONLY questions 8 onward are visible in the supplied images). It is now time to study the law of $D_n$ itself.

8. Determine, for every integer $j$ such that $0\le j\le 2n$, the probability $p_j$ that the ball of number $j$ is eliminated during the first selection.

9. Show that, if $n\ge 3$, then $p_j\ge \frac{1}{2n}$ for every integer $j$ such that $0\le j\le 2n$.

10. One notes $M_n$ the largest of the probabilities $\mathbb{P}[D_n=j]$ when $0\le j\le 2n$. Show that $M_n$ tends to $0$ when $n$ tends to $+\infty$.

2.4 Most probable result. One recalls that, for two events $A$ and $B$, one notes $A\setminus B$ the event according to which $A$ is realized but not $B$. Moreover, if $\mathbb{P}[B]\ne 0$, one notes ${\mathbb{P}}_B[A]$ the conditional probability of $A$ knowing $B$. One wishes here to show, for every integer $n\ge 1$, that $\mathbb{P}[D_n=n]=M_n$. To this end, one will show the following property ${\mathcal{P}}_n$: For every integer $k$ such that $0\le k\le n-1$, one has $\mathbb{P}[D_n=k]\le \mathbb{P}[D_n=k+1]$.

11. Show that, if ${\mathcal{P}}_n$ is true, then $\mathbb{P}[D_n=n]=M_n$. Show ${\mathcal{P}}_1$.

12. Show ${\mathcal{P}}_1$.

One now supposes that one has an integer $n\ge 2$ such that ${\mathcal{P}}_{n-1}$ is true and an integer $k$ such that $0\le k\le n-1$.

13. For every integer $\ell$ between $0$ and $2n$, distinct from $k$ and $k+1$, one notes $X_{\ell }$ the event according to which the three balls of numbers $k$, $k+1$ and $\ell$ are chosen in the first selection. a. Why, if $\ell >k+1$, does one have ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k]=0$ and ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k+1]=\mathbb{P}[D_{n-1}=k]$? b. Give analogous results on ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k]$ and ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k+1]$ when $\ell <k$. c. One notes now $X$ the event according to which the two balls of numbers $k$ and $k+1$ are chosen at the first selection. Show that ${\mathbb{P}}_X[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_X[D_n=k+1]$.

14. Let $Y$ be the event according to which one of the balls of numbers $k$ and $k+1$ is eliminated at the first selection. a. Show that ${\mathbb{P}}_{Y\setminus X}[D_n=k]={\mathbb{P}}_{Y\setminus X}[D_n=k+1]$. b. Deduce that ${\mathbb{P}}_Y[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_Y[D_n=k+1]$.

15. Let $a,b$ and $c$ be the numbers of the three balls chosen at the first selection, with $a<b<c$. a. Let $G$ be the event according to which $c<k$. Show that ${\mathbb{P}}_G[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_G[D_n=k+1]$. b. Let $H$ be the event according to which $a<k$ and $k+1<c$. Show that ${\mathbb{P}}_H[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_H[D_n=k+1]$. c. Let $I$ be the event according to which $k+1<a$. Show that, if $k\le n-2$, then: ${\mathbb{P}}_I[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_I[D_n=k+1]$.

16. Show that, if $k\le n-2$, then $\mathbb{P}[D_n=k]\le \mathbb{P}[D_n=k+1]$.

17. Show ${\mathcal{P}}_n$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Ricorsione, Induzione, Conteggio, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Problema di probabilità sul numero D_n di palle eliminate/rimanenti: studiare le probabilità p_j che il numero di palla j venga eliminato nella prima selezione, la probabilità più grande M_n, il risultato più probabile attraverso la proprietà P_n (P(D_n=n)=M_n), e una catena di disuguaglianze P(D_n=k)<=P(D_n=k+1) per k<=n-2. SOLO le domande da 8 a 17 sono visibili nelle immagini (la dichiarazione/impostazione e le domande da 1-7 non sono mostrate).

Problemi (probabilità; titolo non visibile, riguarda una quantità $D_n$ di palle di conteggio; solo le domande 8 in poi sono visibili nelle immagini fornite). Ora è il momento di studiare la legge del $D_n$ stesso.

8. Determinare, per ogni numero intero $j$ tale che $0\le j\le 2n$, la probabilità $p_j$ che la palla di numero $j$ venga eliminata durante la prima selezione.

9. Indicare che, se $n\ge 3$, allora $p_j\ge \frac{1}{2n}$ per ogni intero $j$ tale che $0\le j\le 2n$.

10. Una nota $M_n$ la più grande delle probabilità $\mathbb{P}[D_n=j]$ quando $0\le j\le 2n$. Mostra che $M_n$ tende a $0$ quando $n$ tende a $+\infty$.

2.4 Risultato più probabile. Si ricorda che, per due eventi $A$ e $B$, si nota $A\setminus B$ l’evento secondo il quale $A$ è realizzato ma non $B$. Inoltre, se $\mathbb{P}[B]\ne 0$, si nota ${\mathbb{P}}_B[A]$ la probabilità condizionata di $A$ conoscere $B$. Qui si desidera mostrare, per ogni numero intero $n\ge 1$, che $\mathbb{P}[D_n=n]=M_n$. A tal fine, si mostrerà la seguente proprietà ${\mathcal{P}}_n$: Per ogni numero intero $k$ tale che $0\le k\le n-1$, si ha $\mathbb{P}[D_n=k]\le \mathbb{P}[D_n=k+1]$.

11. Mostra che, se ${\mathcal{P}}_n$ è vero, allora $\mathbb{P}[D_n=n]=M_n$. Indicare ${\mathcal{P}}_1$.

12. Indicare ${\mathcal{P}}_1$.

Si suppone ora che si abbia un intero $n\ge 2$ tale che ${\mathcal{P}}_{n-1}$ sia vero e un intero $k$ tale che $0\le k\le n-1$.

13. Per ogni numero intero $\ell$ tra $0$ e $2n$, distinto da $k$ e $k+1$, si nota $X_{\ell }$ l’evento secondo il quale le tre sfere di numeri $k$, $k+1$ e $\ell$ sono scelte nella prima selezione. a. Perché, se $\ell >k+1$, ci sono ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k]=0$ e ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k+1]=\mathbb{P}[D_{n-1}=k]$? b. Risultati analoghi per ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k]$ e ${\mathbb{P}}_{X_{\ell }}[D_n=k+1]$ quando $\ell <k$. c. Si nota ora $X$ l’evento in base al quale le due palle di numeri $k$ e $k+1$ vengono scelte alla prima selezione. Mostra che ${\mathbb{P}}_X[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_X[D_n=k+1]$.

14. $Y$ sia l’evento in base al quale una delle sfere di numeri $k$ e $k+1$ viene eliminata alla prima selezione. a. Mostra che ${\mathbb{P}}_{Y\setminus X}[D_n=k]={\mathbb{P}}_{Y\setminus X}[D_n=k+1]$. b. Riduzione di ${\mathbb{P}}_Y[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_Y[D_n=k+1]$.

15. $a,b$ e $c$ siano i numeri delle tre palle scelte nella prima selezione, con $a<b<c$. a. $G$ sia l’evento secondo il quale $c<k$. Mostra che ${\mathbb{P}}_G[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_G[D_n=k+1]$. b. L’evento $H$ deve essere quello secondo cui $a<k$ e $k+1<c$. Mostra che ${\mathbb{P}}_H[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_H[D_n=k+1]$. c. Il $I$ deve essere l’evento secondo il quale $k+1<a$. Indicare che, se $k\le n-2$, allora: ${\mathbb{P}}_I[D_n=k]\le {\mathbb{P}}_I[D_n=k+1]$.

16. Indicare che, se $k\le n-2$, allora $\mathbb{P}[D_n=k]\le \mathbb{P}[D_n=k+1]$.

17. Indicare ${\mathcal{P}}_n$.

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Que la force soit avec f!: a positive function f on an interval I subset of [0,+inf) is called k-strong or k-weak depending on the sign of (y^k f(y) - x^k f(x))(f(y)/y^k - f(x)/x^k); examples, equivalent criteria, monotonicity of g_k=x^k f and h_k=f/x^k, derivative criteria, products/compositions, and applications to inequalities (a,b,c power means and a sin/tan inequality).

Probleme 3: “Que la force soit avec $f$ !” (May the force be with $f$!). In all of this problem, $k$ designates a non-zero natural integer, $I$ an interval included in $]0,+\infty [$, and $f$ a function defined on $I$ with strictly positive values. One says that the function $f$ is “$k$-strong” if, for all reals $x$ and $y$ belonging to $I$, $\left(y^{k}f(y)-x^{k}f(x)\right)\left(\frac{f(y)}{y^k}-\frac{f(x)}{x^k}\right)\ge 0$ One says that $f$ is “$k$-weak” if, for all reals $x$ and $y$ belonging to $I$, $\left(y^{k}f(y)-x^{k}f(x)\right)\left(\frac{f(y)}{y^k}-\frac{f(x)}{x^k}\right)\le 0$

3.1 Some examples and properties.

1. Show that the function $f_1$ defined on the interval $]0,+\infty [$ by $f_1(x)=x^2$ is $1$-strong and $3$-weak.
2. Show that the function $f_2$ defined on the interval $]0,1[$ by $f_2(x)=\exp (x)$ is $1$-weak but not $1$-strong.
3. Show that the function $f_3$ defined on the interval $]1,+\infty [$ by $f_3(x)=\exp (x)$ is $1$-strong but not $1$-weak.
4. Show that the function $f_4$ defined on the interval $]0,+\infty [$ by $f_4(x)=\frac{1}{x}$ is $k$-weak for every integer $k\ge 1$.
5. Does there exist a function defined on the interval $]0,+\infty [$ that is $k$-strong for every integer $k\ge 1$?

3.2 Some criteria of strength and weakness. 6. Show that $f$ is $k$-strong if and only if $\frac{x^k}{y^k}+\frac{y^k}{x^k}\le \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}$ for all reals $x$ and $y$ belonging to $I$, and that $f$ is $k$-weak if and only if $\frac{x^k}{y^k}+\frac{y^k}{x^k}\ge \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}$ for all reals $x$ and $y$ belonging to $I$. 7. Show that $f$ is $k$-strong if and only if $\frac{\max (x^k,y^k)}{\min (x^k,y^k)}\le \frac{\max (f(x),f(y))}{\min (f(x),f(y))}$ for all reals $x$ and $y$ belonging to $I$, and that $f$ is $k$-weak if and only if $\frac{\max (x^k,y^k)}{\min (x^k,y^k)}\ge \frac{\max (f(x),f(y))}{\min (f(x),f(y))}$ for all reals $x$ and $y$ belonging to $I$. 8. One notes $g_k$ and $h_k$ the functions defined on $I$ by: $g_k(x)=x^{k}f(x)\text{and}{h}_k(x)=\frac{f(x)}{x^k}$ a. Show that, if $g_k$ and $h_k$ are monotone, then $f$ is $k$-strong or $k$-weak. b. Show that, if $f$ is $k$-weak, then $g_k$ and $h_k$ are monotone. c. Let $f$ be the function defined on the interval $I=]0,+\infty [$ by $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{if }0<x<1\\ 4& \text{if }x=1\\ x& \text{if }1<x<2\\ 4x& \text{if }2\le x\end{array}$ Show that $f$ is $1$-strong but that the functions $g_1$ and $h_1$ are not monotone. 9. One supposes in this question that $f$ is differentiable on $I$ and that its derivative $f^{\prime }$ is continuous on $I$. a. Show that, if $|f^{\prime }(x)|\ge k\frac{f(x)}{x}$ for every real $x\in I$, then $f$ is $k$-strong. b. Show that, if $|f^{\prime }(x)|\le k\frac{f(x)}{x}$ for every real $x\in I$, then $f$ is $k$-weak. c. Show that the converses of questions 9.a. and 9.b. are true.

3.3 A multitude of strong and weak functions. One says that the function $f$ is “strong” if there exists an integer $k\ge 1$ for which $f$ is $k$-strong, and “weak” if there exists an integer $k\ge 1$ for which $f$ is $k$-weak. 10. Show that, if $f$ is weak, the function $F$ defined on $I$ by $F(x)=\frac{1}{f(x)}$ is strong. 11. Show that, if two functions $f$ and $g$ defined on $I$ are weak, the functions $f+g$, $f\times g$ and $\frac{f}{g}$ are weak. 12. Show, with the help of counter-examples, that if two functions $f$ and $g$ defined on $I$ are strong, the functions $f+g$, $f\times g$ and $\frac{f}{g}$ are not necessarily strong. 13. Let $f$ be a function defined on $I$ with strictly positive values, and $g$ a function defined on $]0,+\infty [$. a. Show that, if $f$ and $g$ are weak, the function $g\circ f$ is weak. b. Show that, if $f$ and $g$ are strong, the function $g\circ f$ is strong.

3.4 Application to the demonstration of inequalities. 14. Let $a,b$ and $c$ be three strictly positive reals, and $n$ a non-zero natural integer. Show that: ${\left(\frac{a+c}{b+c}\right)}^n+{\left(\frac{b+c}{a+c}\right)}^n\le {\left(\frac{a}{b}\right)}^n+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ 15. In this question, one may use the fact that the functions $\cos$ and $\sin$ are differentiable on $]0,\frac{\pi }{2}[$ with derivatives respectively ${\cos }^{\prime }=-\sin$ and ${\sin }^{\prime }=\cos$. The function $\tan$ is defined on $]0,\frac{\pi }{2}[$ by $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$. Let $a$ and $b$ be two real numbers of the interval $]0,\frac{\pi }{2}[$, show that: $\frac{\sin (a)}{\sin (b)}+\frac{\sin (b)}{\sin (a)}\le \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le \frac{\tan (a)}{\tan (b)}+\frac{\tan (b)}{\tan (a)}$

Topic: Algebra, Disuguaglianze, Insiemi e funzioni, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze, Casework, Trigonometria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Que la force soit avec f!: una funzione positiva f su un sottoinsieme di intervalli I di [0,+inf) è chiamata k-forte o k-fragile a seconda del segno di (y^k f(y) - x^k f(x)) f(y)/y^k - f(x)/x^k); esempi, criteri equivalenti, monotonia di g_k=x^k f e h_k=f/x^k, criteri derivati, prodotti/composti e applicazioni alle disuguaglianze (a,b,c mezzi di potenza e una disuguaglianza sin/tanc).

Problemi 3: “Que la force soit avec $f$ !” (La forza sia con $f$!). In tutto questo problema, $k$ designa un intero naturale non zero, $I$ un intervallo incluso in $]0,+\infty [$, e $f$ una funzione definita su $I$ con valori strettamente positivi. Si dice che la funzione $f$ è “$k$-forte” se, per tutti i valori $x$ e $y$ appartenenti a $I$, $\left(y^{k}f(y)-x^{k}f(x)\right)\left(\frac{f(y)}{y^k}-\frac{f(x)}{x^k}\right)\ge 0$ Si dice che $f$ è “$k$-debole” se, per tutti i valori $x$ e $y$ appartenenti a $I$, $\left(y^{k}f(y)-x^{k}f(x)\right)\left(\frac{f(y)}{y^k}-\frac{f(x)}{x^k}\right)\le 0$

3.1 Alcuni esempi e proprietà. 1. Indicare che la funzione $f_1$ definita nell’intervallo $]0,+\infty [$ da $f_1(x)=x^2$ è $1$-forte e $3$-debole. 2. Indicare che la funzione $f_2$ definita nell’intervallo $]0,1[$ da $f_2(x)=\exp (x)$ è $1$ debole ma non $1$ forte. 3. Indicare che la funzione $f_3$ definita nell’intervallo $]1,+\infty [$ da $f_3(x)=\exp (x)$ è $1$-forte ma non $1$-debole. 4. Indicare che la funzione $f_4$ definita nell’intervallo $]0,+\infty [$ da $f_4(x)=\frac{1}{x}$ è $k$ debole per ogni intero $k\ge 1$. 5. Esiste una funzione definita nell’intervallo $]0,+\infty [$ che è $k$-forte per ogni numero intero $k\ge 1$?

3.2 Alcuni criteri di forza e debolezza. 6. Indicare che $f$ è $k$-forte se e solo se $\frac{x^k}{y^k}+\frac{y^k}{x^k}\le \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}$ per tutti i valori $x$ e $y$ appartenenti a $I$, e che $f$ è $k$-debole se e solo se $\frac{x^k}{y^k}+\frac{y^k}{x^k}\ge \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}$ per tutti i valori $x$ e $y$ appartenenti a $I$. 7. Indicare che $f$ è $k$-forte se e solo se $\frac{\max (x^k,y^k)}{\min (x^k,y^k)}\le \frac{\max (f(x),f(y))}{\min (f(x),f(y))}$ per tutti i reali $x$ e $y$ appartenenti a $I$, e che $f$ è $k$-debole se e solo se $\frac{\max (x^k,y^k)}{\min (x^k,y^k)}\ge \frac{\max (f(x),f(y))}{\min (f(x),f(y))}$ per tutti i reali $x$ e $y$ appartenenti a $I$. 8. Una nota $g_k$ e $h_k$ le funzioni definite su $I$ da: $g_k(x)=x^{k}f(x)\text{and}{h}_k(x)=\frac{f(x)}{x^k}$ a. Indicare che, se $g_k$ e $h_k$ sono monotoni, allora $f$ è $k$-forte o $k$-debole. b. Indicare che, se $f$ è $k$ debole, $g_k$ e $h_k$ sono monotoni. c. Se $f$ è la funzione definita nell’intervallo $I=]0,+\infty [$ da $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{if }0<x<1\\ 4& \text{if }x=1\\ x& \text{if }1<x<2\\ 4x& \text{if }2\le x\end{array}$ Mostri che $f$ è $1$-forte ma che le funzioni $g_1$ e $h_1$ non sono monotone. 9. In questa domanda si suppone che $f$ sia differenziabile su $I$ e che la sua derivata $f^{\prime }$ sia continua su $I$. a. Mostra che, se $|f^{\prime }(x)|\ge k\frac{f(x)}{x}$ per ogni reale $x\in I$, allora $f$ è $k$-forte. b. Mostrare che, se $|f^{\prime }(x)|\le k\frac{f(x)}{x}$ per ogni reale $x\in I$, allora $f$ è $k$ debole. c. Mostrare che le conversazioni delle domande 9.a. e 9.b. sono veri.

3.3 Una moltitudine di funzioni forti e deboli. Si dice che la funzione $f$ è “forte” se esiste un intero $k\ge 1$ per il quale $f$ è $k$-forte, e “debole” se esiste un intero $k\ge 1$ per il quale $f$ è $k$-debole. 10. Indicare che, se $f$ è debole, la funzione $F$ definita su $I$ da $F(x)=\frac{1}{f(x)}$ è forte. 11. Indicare che, se due funzioni $f$ e $g$ definite su $I$ sono deboli, le funzioni $f+g$, $f\times g$ e $\frac{f}{g}$ sono deboli. 12. Mostrare, con l’aiuto di esempi contrastanti, che se due funzioni $f$ e $g$ definite su $I$ sono forti, le funzioni $f+g$, $f\times g$ e $\frac{f}{g}$ non sono necessariamente forti. 13. Che $f$ sia una funzione definita su $I$ con valori rigorosamente positivi, e $g$ una funzione definita su $]0,+\infty [$. a. Indicare che, se $f$ e $g$ sono deboli, la funzione $g\circ f$ è debole. b. Indicare che, se $f$ e $g$ sono forti, la funzione $g\circ f$ è forte.

3.4 Applicazione alla dimostrazione delle disuguaglianze. 14. Lasciate che $a,b$ e $c$ siano tre reali strettamente positivi e $n$ un intero naturale non zero. Mostra che: ${\left(\frac{a+c}{b+c}\right)}^n+{\left(\frac{b+c}{a+c}\right)}^n\le {\left(\frac{a}{b}\right)}^n+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ 15. In questa domanda si può usare il fatto che le funzioni $\cos$ e $\sin$ sono differenziabili su $]0,\frac{\pi }{2}[$ con derivati rispettivamente ${\cos }^{\prime }=-\sin$ e ${\sin }^{\prime }=\cos$. La funzione $\tan$ è definita su $]0,\frac{\pi }{2}[$ da $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$. Che $a$ e $b$ siano due numeri reali dell’intervallo $]0,\frac{\pi }{2}[$, mostrando che: $\frac{\sin (a)}{\sin (b)}+\frac{\sin (b)}{\sin (a)}\le \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le \frac{\tan (a)}{\tan (b)}+\frac{\tan (b)}{\tan (a)}$

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