Concours Général des Lycées 2023 — Matematica

A recursively defined sequence built from the function r(n) (largest k with n/k integer); show its terms are positive rationals and that every positive rational appears exactly once.

Problem 1: Let us be rational.

For every integer $n\ge 1$, let $r(n)$ denote the largest integer $k$ such that $\frac{n}{k}$ is an integer (so $r(n)=n$). One defines a sequence $(u_n{)}_{n\ge 1}$ by: $u_1=1$ and, for every integer $n\ge 2$, $u_n=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }{u}_{n-1}=0,\\ 1+2r(n)-\frac{1}{u_{n-1}}& \text{if }{u}_{n-1}\ne 0.\end{array}$

1. Give the values of $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ and $u_5$.

2. Show that for every integer $n\ge 1$, one has $r(n)=0$ if and only if $n$ is odd, and (if $n$ is even) $r(n)=r\left(\frac{n}{2}\right)+1$.

3. Determine the smallest values of $n$ for which $u_n=4$.

4. Show that, for every integer $n\ge 1$ for which $u_n\ne 0$, the term $u_n$ is a strictly positive rational number.

5. Show that every strictly positive rational number is equal to some term $u_n$ of the sequence.

6. Show that every strictly positive rational number is equal to a unique term $u_n$ of the sequence.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione, Fattorizzazione, Biiezione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Una sequenza definita ricorritivamente costruita dalla funzione r(n) (k più grande con n/k intero); mostrare che i suoi termini sono razionali positivi e che ogni razionale positivo appare esattamente una volta.

Il problema 1: siamo razionali.

Per ogni numero intero $n\ge 1$, $r(n)$ indichi il numero intero più grande $k$ in modo tale che $\frac{n}{k}$ sia un numero intero (così $r(n)=n$). Una sequenza $(u_n{)}_{n\ge 1}$ viene definita da: $u_1=1$ e, per ogni numero intero $n\ge 2$, $u_n=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }{u}_{n-1}=0,\\ 1+2r(n)-\frac{1}{u_{n-1}}& \text{if }{u}_{n-1}\ne 0.\end{array}$

1. Indicare i valori di $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ e $u_5$.

2. Mostrare che per ogni intero $n\ge 1$, si ha $r(n)=0$ se e solo se $n$ è odd, e (se $n$ è pari) $r(n)=r\left(\frac{n}{2}\right)+1$.

3. Determinare i valori più piccoli di $n$ per i quali $u_n=4$.

4. Mostra che per ogni numero intero $n\ge 1$ per il quale $u_n\ne 0$, il termine $u_n$ è un numero razionale rigorosamente positivo.

5. Mostrare che ogni numero razionale rigorosamente positivo è uguale a qualche termine $u_n$ della sequenza.

6. Mostrare che ogni numero razionale rigorosamente positivo è uguale a un termine unico $u_n$ della sequenza.

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Sympathetic polynomials: study existence/uniqueness of strictly positive roots of equations x^d + (1/n)x - 1 = 0 and their limits, then classify polynomials as initially/falsely/truly sympathetic and study convergence of the positive roots of a convergent sequence of such polynomials.

Problem 2: Sympathetic limit.

2.1 Some examples.

1. For every integer $n\ge 1$, consider the equation (in the unknown $x$) $x^2+\frac{1}{n}x-1=0.$ a. Show that this equation admits a unique strictly positive real solution; denote it $x_n$, and express $x_n$ as a function of $n$. b. Show that the sequence $(x_n{)}_{n\ge 1}$ converges, and compute its limit. c. Show that the limit found is a solution of the equation $x^2-1=0$.

2. For every integer $n\ge 1$, consider the equation (in the unknown $y$) $\frac{1}{n}{y}^2-y-1=0.$ a. Show that this equation admits a unique strictly positive real solution; denote it $y_n$. b. Show that the sequence $(y_n{)}_{n\ge 1}$ diverges.

3. For every integer $n\ge 1$, consider the equation (in the unknown $z$) $z^3+\frac{1}{n}z-1=0.$ a. Show that this equation admits a unique strictly positive real solution; denote it $z_n$. b. i. Study the variations of the function $z\mapsto z^3+\frac{1}{n}z-1$ on the interval $[0,+\infty )$. ii. Deduce that the equation admits a unique strictly positive real solution, lying in the interval $[0,1]$. c. Show that the sequence $(z_n{)}_{n\ge 1}$ converges. d. Show that the limit $z_{\infty }$ of the sequence $(z_n{)}_{n\ge 1}$ is a solution of the equation $z^3-1=0$.

4. For every integer $n\ge 1$, consider the equation (in the unknown $t$) $\frac{1}{n}{t}^3-t^2-1=0.$ a. Show that this equation admits a unique strictly positive real solution; denote it $t_n$. b. Is the sequence $(t_n{)}_{n\ge 1}$ convergent? If so, what is its limit?

2.2 Sympathetic polynomials.

In what follows, one fixes an integer $d\ge 1$. The function $P$ is a polynomial of degree at most $d$ if there exist reals $a_0,a_1,\dots ,a_d$ such that, for every real $x$, $P(x)=a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0.$ Let $P:x\mapsto a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ be such a polynomial. One says that:

• $P$ is initially sympathetic if $a_0=-1$ and $a_k\le 0$ for every integer $k$ with $1\le k\le d$;

• $P$ is falsely sympathetic if $a_0=-1$ and $a_k<0$ for every integer $k$ with $1\le k\le d$;

• $P$ is truly sympathetic if $a_0=-1$ and there exists an integer $k$ with $1\le k\le d-1$ such that $a_1\le 0,\dots ,a_k\le 0$ and $a_{k+1}\ge 0,\dots ,a_d\ge 0$, with $a_d\ne 0$. Finally, one says that $P$ is sympathetic if it is initially sympathetic, falsely sympathetic, or truly sympathetic. [Note: the exact sign conditions in these four definitions are partly illegible in the source and the above reading is uncertain.]

5. Among the polynomials given (in the source), which ones are falsely sympathetic and initially sympathetic?

6. Show that any falsely sympathetic polynomial is: a. strictly negative on the interval $[0,+\infty )$; b. decreasing on the interval $[0,+\infty )$.

7. Show that any polynomial $P$ that is falsely sympathetic and initially sympathetic satisfies: $P$ is decreasing on an interval $[0,r]$, $P$ is strictly increasing on $[r,+\infty )$, $P$ is strictly negative on $[0,r]$, and the equation $P(x)=0$ admits a unique solution on $[r,+\infty )$.

8. Let $P$ be a truly sympathetic polynomial. a. Show that there exist a real $b>0$, an integer $\ell \ge 0$ and a truly sympathetic polynomial $Q$ such that $P^{\prime }(x)=b{x}^{\ell }Q(x)$ for every real $x$. b. Show that there exists a real $r>0$ such that $P$ satisfies the same properties as in question 7.

9. For which sympathetic polynomials $P$ does the equation $P(x)=0$ admit a unique strictly positive solution? Give, in the form of a sign table, the sign of $P$ on the interval $[r,+\infty )$.

2.3 Back to the ideas.

From now on, consider truly sympathetic polynomials $P_1,P_2,\dots$ of degree at most $d$. One writes each polynomial $P_n$ in the form $P_n:x\mapsto a_{d,n}{x}^d+a_{d-1,n}{x}^{d-1}+\cdots +a_{1,n}x+a_{0,n}.$ One assumes moreover that, for every integer $k$ with $0\le k\le d$, the sequence $(a_{k,n}{)}_{n\ge 1}$ converges; let $a_k$ denote its limit. Consider the polynomial $P_{\infty }$ defined by $P_{\infty }:x\mapsto a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_0.$ For every real $r$, denote by $x_n$ the unique strictly positive solution of the equation $P_n(x)=0$. One studies the possible convergence of the sequence $(x_n{)}_{n\ge 1}$.

10. Let $t$ be a fixed real. Show that the sequence $(P_n(t){)}_{n\ge 1}$ converges to $P_{\infty }(t)$.

11. Show that the polynomial $P_{\infty }$ is sympathetic.

12. Suppose in this question that the polynomial $P_{\infty }$ is truly sympathetic, and let $x_{\infty }$ be the unique strictly positive solution of the equation $P_{\infty }(x)=0$. a. Let $x,x^{\prime }$ be reals with $0<x<x_{\infty }<x^{\prime }$. Show that there exists an integer $M_{x,x^{\prime }}$ such that $P_n(x)<0<P_n(x^{\prime })$ for every integer $n\ge M_{x,x^{\prime }}$. b. Show that the sequence $(x_n{)}_{n\ge 1}$ converges to $x_{\infty }$.

13. Suppose in this question that the polynomial $P_{\infty }$ is falsely sympathetic. Show that $(x_n{)}_{n\ge 1}$ diverges to $+\infty$.

14. Recover the results of the first part.

Topic: Algebra, Equazioni funzionali, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Polinomi simpatici: studiare l’esistenza/unicità di radici rigorosamente positive di equazioni x^d + (1/n)x - 1 = 0 e i loro limiti, quindi classificare i polinomi come inizialmente/falso/vero simpatici e studiare la convergenza delle radici positive di una sequenza convergente di tali polinomi.

Problema 2: limite di sintesi.

2.1 Alcuni esempi.

1. Per ogni numero intero $n\ge 1$, considera l’equazione (nel sconosciuto $x$) $x^2+\frac{1}{n}x-1=0.$ a. Mostrare che questa equazione ammette una soluzione reale strettamente positiva unica; indicarla $x_n$ ed esprimere $x_n$ come funzione di $n$. b. Indicare che la sequenza $(x_n{)}_{n\ge 1}$ converge e calcolare il suo limite. c. Indicare che il limite trovato è una soluzione dell’equazione $x^2-1=0$.

2. Per ogni numero intero $n\ge 1$, considera l’equazione (nel sconosciuto $y$) $\frac{1}{n}{y}^2-y-1=0.$ a. Mostrare che questa equazione ammette una soluzione reale strettamente positiva unica; indicarla $y_n$. b. Indicare che la sequenza $(y_n{)}_{n\ge 1}$ diverge.

3. Per ogni numero intero $n\ge 1$, considera l’equazione (nel sconosciuto $z$) $z^3+\frac{1}{n}z-1=0.$ a. Mostrare che questa equazione ammette una soluzione reale strettamente positiva unica; indicarla $z_n$. b. i. Studiare le variazioni della funzione $z\mapsto z^3+\frac{1}{n}z-1$ nell’intervallo $[0,+\infty )$. ii. Deduzione che l’equazione ammetta una soluzione reale strettamente positiva unica, situata nell’intervallo $[0,1]$. c. Indicare che la sequenza $(z_n{)}_{n\ge 1}$ converge. d. Indicare che il limite $z_{\infty }$ della sequenza $(z_n{)}_{n\ge 1}$ è una soluzione dell’equazione $z^3-1=0$.

4. Per ogni numero intero $n\ge 1$, considera l’equazione (nel sconosciuto $t$) $\frac{1}{n}{t}^3-t^2-1=0.$ a. Mostrare che questa equazione ammette una soluzione reale strettamente positiva unica; indicarla $t_n$. b. La sequenza $(t_n{)}_{n\ge 1}$ è convergente? Se sì, qual è il suo limite?

2.2 Polinomi simpatici.

In quanto segue, si fissa un intero $d\ge 1$. La funzione $P$ è un polinomio di grado al massimo $d$ se esistono reali $a_0,a_1,\dots ,a_d$ in modo tale che, per ogni reale $x$, $P(x)=a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0.$ $P:x\mapsto a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ sia tale polinomio. Si dice che: - $P$ è inizialmente simpatico se $a_0=-1$ e $a_k\le 0$ per ogni intero $k$ con $1\le k\le d$; - $P$ è falsamente simpatico se $a_0=-1$ e $a_k<0$ per ogni intero $k$ con $1\le k\le d$; - $P$ è veramente simpatico se $a_0=-1$ e esiste un intero con $1\le k\le d-1$ tale che $a_1\le 0,\dots ,a_k\le 0$ e $a_{k+1}\ge 0,\dots ,a_d\ge 0$, con $a_d\ne 0$. Infine, si dice che $P$ è comprensivo se è inizialmente comprensivo, falsamente comprensivo o veramente comprensivo. [Nota: le condizioni esatte del segno di queste quattro definizioni sono parzialmente illeggibili nella fonte e la lettura di cui sopra è incerta.]

5. Tra i polinomi dati (in fonte), quali sono falsamente simpatici e inizialmente simpatici?

6. Mostrare che qualsiasi polinomio falsamente simpatico è: a. strettamente negativo nell’intervallo $[0,+\infty )$; b. diminuzione nell’intervallo $[0,+\infty )$.

7. Mostrare che qualsiasi polinomio $P$ che è falsamente simpatico e inizialmente simpatico soddisfa: $P$ diminuisce su un intervallo $[0,r]$, $P$ aumenta rigorosamente su $[r,+\infty )$, $P$ è rigorosamente negativo su $[0,r]$, e l’equazione $P(x)=0$ ammette una soluzione unica su $[r,+\infty )$.

8. Lasciate che $P$ sia un polinomio veramente simpatico. a. Mostrare che esiste un reale $b>0$, un intero $\ell \ge 0$ e un polinomio veramente simpatico $Q$ tale che $P^{\prime }(x)=b{x}^{\ell }Q(x)$ per ogni reale $x$. b. Mostrare che esiste una $r>0$ reale tale che $P$ soddisfi le stesse proprietà della domanda 7.

9. Per quali polinomi simpatici $P$ l’equazione $P(x)=0$ ammette una soluzione unica strettamente positiva? Indicare, sotto forma di tabella di segni, il segno di $P$ nell’intervallo $[r,+\infty )$.

2.3 Torniamo alle idee.

Da ora in poi, consideriamo i polinomi veramente simpatetici $P_1,P_2,\dots$ di grado al massimo $d$. Si scrive ogni polinomio $P_n$ nella forma $P_n:x\mapsto a_{d,n}{x}^d+a_{d-1,n}{x}^{d-1}+\cdots +a_{1,n}x+a_{0,n}.$ Si suppone inoltre che, per ogni numero intero $k$ con $0\le k\le d$, la sequenza $(a_{k,n}{)}_{n\ge 1}$ converge; lasciate $a_k$ indicare il suo limite. Considera il polinomio $P_{\infty }$ definito da $P_{\infty }:x\mapsto a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_0.$ Per ogni reale $r$, indicare con $x_n$ la soluzione unica strettamente positiva dell’equazione $P_n(x)=0$. Si studia la possibile convergenza della sequenza $(x_n{)}_{n\ge 1}$.

10. Lasciate che $t$ sia un reale fisso. Indicare che la sequenza $(P_n(t){)}_{n\ge 1}$ converge a $P_{\infty }(t)$.

11. Mostra che il polinomio $P_{\infty }$ è simpatico.

12. Supponiamo in questa domanda che il polinomio $P_{\infty }$ sia veramente simpatico, e lasciamo che $x_{\infty }$ sia la soluzione unica strettamente positiva dell’equazione $P_{\infty }(x)=0$. a. $x,x^{\prime }$ siano reali con $0<x<x_{\infty }<x^{\prime }$. Mostrare che esiste un intero $M_{x,x^{\prime }}$ tale che $P_n(x)<0<P_n(x^{\prime })$ per ogni intero $n\ge M_{x,x^{\prime }}$. b. Indicare che la sequenza $(x_n{)}_{n\ge 1}$ converge a $x_{\infty }$.

13. Supponiamo in questa domanda che il polinomio $P_{\infty }$ sia falsamente simpatico. Indicare che $(x_n{)}_{n\ge 1}$ diverge da $+\infty$.

14. Riprendi i risultati della prima parte.

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In an orthonormal frame, study polynomials whose graph passes through all vertices of a regular k-gon centered at O: case of equilateral triangles, squares centered at O, the lower bound d >= k-1, and the sufficiency of every d >= k-1 (via Chebyshev polynomials).

Problem 3: Polynomials and regular polygons.

The plane is equipped with an orthonormal frame $\mathcal{R}=(O;I,J)$. Let $k$ be an integer with $k\ge 3$. The points $M_1,M_2,\dots ,M_k$ are the vertices of a regular polygon with center $O$ such that: their abscissas are pairwise distinct; the points appear in trigonometric order (counter-clockwise around $O$); and $M_1{M}_2=M_2{M}_3=\cdots =M_{k-1}{M}_k=M_k{M}_1$ (it is a regular polygon; for $k=4$ it is a square).

One says that a function $P$ is a polynomial of degree $d$ if there exist reals $a_0,a_1,\dots ,a_d$ with $a_d\ne 0$ such that $P(x)=a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ for every real $x$. One also says that such a polynomial $P$ has no more than $d$ real solutions. The function $P:x\mapsto 0$ is called the zero polynomial. Finally, given a polynomial $P$ (zero or not), one denotes by ${\mathcal{C}}_P$ the graph (representative curve) of $P$ in the frame $\mathcal{R}$.

3.1 Equilateral triangles.

1. Let $P$ be a polynomial of degree 1. Does there exist an equilateral triangle whose vertices belong to ${\mathcal{C}}_P$?

2. Consider the points $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{3}\right),B\left(-1;\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\text{and}C\left(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right).$ a. Show that $A$, $B$, $C$ form an equilateral triangle with center $O$. b. Show that $A$, $B$, $C$ belong to the graph of the polynomial $Q:x\mapsto \frac{\sqrt{3}}{3}\left(3x^2-2\right)$. c. Show that $A$, $B$, $C$ belong to the graph of the polynomial $R:x\mapsto \frac{\sqrt{3}}{3}\left(3x^2-2\right)+x\left(x^2-1\right)$. d. Show that, for every integer $d\ge 2$, there exists a polynomial of degree $d$ whose graph contains the points $A$, $B$, $C$.

3.2 Squares with center $O$.

In what follows, consider a polynomial $P$ and a square $ABCD$ with center $O$ whose four vertices belong to ${\mathcal{C}}_P$.

3. a. Express the coordinates of the points $B$, $C$, $D$ as functions of those of $A$. Show that the abscissas of $A$, $B$, $C$, $D$ are pairwise distinct. b. Show that $P$ is non-zero and that its degree is at least 2.

4. Suppose in this question that there exist reals $a$, $b$, $c$ such that $P:x\mapsto x^3+a{x}^2+bx+c$. a. Show that $a=0$ and $c=0$. b. Show that the respective abscissas of $A$, $B$, $C$, $D$ are solutions of the equation $P(P(x))+x=0$. c. Show that the polynomial $Q:x\mapsto x^9+3b{x}^7+3b^2{x}^5+b(b^2+1)x^3+b^{2}x+b^2+1$ admits at least two distinct strictly positive real roots. d. Show that $b<0$. e. Suppose there exist reals $\alpha$ and $\beta$ with $\alpha <\beta$ such that $Q(x)=(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$ for every real $x$. Show that then $b=-\sqrt{8}$, and determine the values of $\alpha$ and $\beta$. [Note: the exact form of the factorization and constant are partly illegible; this reading is uncertain.]

5. a. Show that there exists a polynomial $P$ of degree 3 and a square $ABCD$ with center $O$ whose vertices belong to ${\mathcal{C}}_P$. b. For which integers $d$ does there exist a polynomial of degree $d$ whose graph contains the points $A$, $B$, $C$, $D$ as in question 5.a?

3.3 Where one proves that $d\ge k-1$.

Let $M_1,\dots ,M_k$ be the vertices of a regular polygon with center $O$. Suppose in this question that there exists a polynomial $P$, of degree $d$, whose graph contains the vertices $M_1,\dots ,M_k$. One wishes to prove that $d\ge k-1$. For every $i$, let $(x_i;y_i)$ be the coordinates of $M_i$ in the frame $\mathcal{R}$.

6. a. Why may one assume that the abscissa $x_1$ is less than or equal to $x_2,x_3,\dots ,x_k$ and that the $y_i$ are non-zero? b. Show that the abscissas $x_i$ are pairwise distinct and the ordinates $y_i$ are non-zero. c. Show that there exist a real $R>0$ and a real $\theta$ in the interval $[0,\pi /4)$ such that $x_1=-R\cos (\theta )$ and $y_1=-R\sin (\theta )$. d. Show that $x_1<x_2<x_3<\cdots <x_k$. [Note: the precise ordering chain is partly illegible.] e. Show that $P$ admits a root on each of the $k-1$ intervals $[x_1,x_2],[x_2,x_3],\dots ,[x_{k-1},x_k]$. [Note: the precise list of intervals is partly illegible; this reading is uncertain.] f. Conclude that $d\ge k-1$.

3.4 Where one proves that every $d\ge k-1$ works.

Suppose in this question that the abscissas $x_i$ are pairwise distinct, and one wants to prove that, for every integer $d\ge k-1$, there exists a polynomial of degree $d$ whose graph contains the points $M_1,M_2,\dots ,M_k$.

7. Let $a$ and $b$ be two reals. In the frame $\mathcal{R}$, consider the points $A(\cos (a),\sin (a))$, $B(\cos (a+b),\sin (a+b))$ and $C(-\sin (a),\cos (a))$. a. Show that the frame ${\mathcal{R}}^{\prime }=(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ is orthonormal. b. What are the coordinates of the point $B$ in the frame ${\mathcal{R}}^{\prime }$? c. Deduce that $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ and $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$.

8. Consider the sequence of polynomials defined by $T_0:x\mapsto 1$, $T_1:x\mapsto x$, and $T_{n+2}:x\mapsto 2x{T}_{n+1}(x)-T_n(x)$ for every integer $n\ge 0$. a. Show that $T_n(\cos (\theta ))=\cos (n\theta )$ for every integer $n\ge 0$ and every real $\theta$. b. Let $\theta$ be a real, and let $\ell$ and $j$ be two integers. Show that $T_{\ell -1}\left(\cos \left(\theta +\frac{2j\pi }{\ell }\right)\right)=\cos (\ell \theta )\cos \left(\theta +\frac{2j\pi }{\ell }\right)+\sin (\ell \theta )\sin \left(\theta +\frac{2j\pi }{\ell }\right)$. [Note: this identity is partly illegible in the source; the reading is uncertain.] c. Show that, for every integer $d\ge k-1$, there exists a polynomial of degree $d$ whose graph contains the points $M_1,M_2,\dots ,M_k$.

Topic: Geometria analitica, Algebra, Trigonometria, Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria, Ricorsione, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

In un quadro ortonormale, studiare polinomi il cui grafico passa attraverso tutti i vertici di un k-gon regolare centrato a O: caso di triangoli equilaterali, quadrati centrati a O, il limite inferiore d >= k-1, e la sufficienza di ogni d >= k-1 (via polinomi di Chebyshev).

Problema 3: Polinomi e poligoni regolari.

L’aereo è dotato di una cornice ortonormale $\mathcal{R}=(O;I,J)$. $k$ sia un numero intero con $k\ge 3$. I punti $M_1,M_2,\dots ,M_k$ sono i vertici di un poligono regolare con centro $O$ in modo tale che: le loro abscisse siano a coppia distinte; i punti appaiono in ordine trigonometrico (in senso contrario all’orologio intorno a $O$); e $M_1{M}_2=M_2{M}_3=\cdots =M_{k-1}{M}_k=M_k{M}_1$ (è un poligono regolare; per $k=4$ è un quadrato).

Si dice che una funzione $P$ è un polinomio di grado $d$ se esistono reali $a_0,a_1,\dots ,a_d$ con $a_d\ne 0$ in modo tale che $P(x)=a_d{x}^d+a_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ per ogni reale $x$. Si dice anche che un tale polinomio $P$ non ha più di $d$ soluzioni reali. La funzione $P:x\mapsto 0$ è chiamata polinomio zero. Infine, dato un polinomio $P$ (zero o meno), si indica con ${\mathcal{C}}_P$ il grafico (curva rappresentativa) di $P$ nel quadro $\mathcal{R}$.

3.1 Triangoli equilaterali.

1. Che $P$ sia un polinomio di grado 1. Esiste un triangolo equilaterale le cui vertici appartengono a ${\mathcal{C}}_P$?

2. Considerare i punti $A\left(1;\frac{\sqrt{3}}{3}\right),B\left(-1;\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\text{and}C\left(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right).$ a. Indicare che $A$, $B$, $C$ formano un triangolo equilaterale con centro $O$. b. Indicare che $A$, $B$, $C$ appartengono al grafico del polinomio $Q:x\mapsto \frac{\sqrt{3}}{3}\left(3x^2-2\right)$. c. Indicare che $A$, $B$, $C$ appartengono al grafico del polinomio $R:x\mapsto \frac{\sqrt{3}}{3}\left(3x^2-2\right)+x\left(x^2-1\right)$. d. Mostra che per ogni intero $d\ge 2$ esiste un polinomio di grado $d$ il cui grafico contiene i punti $A$, $B$, $C$.

3.2 Quadrati con centro $O$.

In quanto segue, consideriamo un polinomio $P$ e un quadrato $ABCD$ con centro $O$ le cui quattro vertici appartengono a ${\mathcal{C}}_P$.

3. a. Esprimere le coordinate dei punti $B$, $C$, $D$ come funzioni di quelle di $A$. Mostrare che le abscisse di $A$, $B$, $C$, $D$ sono separate in coppia. b. Indicare che $P$ non è zero e che il suo grado è almeno 2.

4. Supponiamo in questa domanda che esistano reali $a$, $b$, $c$ tali che $P:x\mapsto x^3+a{x}^2+bx+c$. a. Indicare che $a=0$ e $c=0$. b. Indicare che le rispettive abscisse di $A$, $B$, $C$, $D$ sono soluzioni dell’equazione $P(P(x))+x=0$. c. Mostrare che il polinomio $Q:x\mapsto x^9+3b{x}^7+3b^2{x}^5+b(b^2+1)x^3+b^{2}x+b^2+1$ ammette almeno due radici reali rigorosamente positive distinte. d. Mostra che $b<0$. e. Supponiamo che esistano i valori $\alpha$ e $\beta$ con $\alpha <\beta$ in modo tale che $Q(x)=(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$ per ogni $x$ reale. Indicare quindi $b=-\sqrt{8}$ e determinare i valori di $\alpha$ e $\beta$. [Nota: la forma esatta della fatturazione e della costante sono parzialmente illeggibili; questa lettura è incerta.]

5. a. Mostra che esiste un polinomio $P$ di grado 3 e un quadrato $ABCD$ con centro $O$ le cui vertici appartengono a ${\mathcal{C}}_P$. b. Per quali integri $d$ esiste un polinomio di grado $d$ il cui grafico contiene i punti $A$, $B$, $C$, $D$ come nella domanda 5.a?

3.3 Quando si dimostra che $d\ge k-1$.

$M_1,\dots ,M_k$ siano i vertici di un poligono regolare con centro $O$. Supponiamo in questa domanda che esista un polinomio $P$, di grado $d$, il cui grafico contiene i vertici $M_1,\dots ,M_k$. Si desidera dimostrare che $d\ge k-1$. Per ogni $i$, $(x_i;y_i)$ sono le coordinate di $M_i$ nel quadro $\mathcal{R}$.

6. a. Perché si può presumere che l’abcissa $x_1$ sia inferiore o uguale a $x_2,x_3,\dots ,x_k$ e che $y_i$ non siano zero? b. Indicare che le abscisse $x_i$ sono in coppia distinte e che le ordinate $y_i$ non sono zero. c. Indicare che nell’intervallo $[0,\pi /4)$ esistono un $R>0$ reale e un $\theta$ reale in modo tale che $x_1=-R\cos (\theta )$ e $y_1=-R\sin (\theta )$. d. Mostra che $x_1<x_2<x_3<\cdots <x_k$. [Nota: la catena di ordinazione precisa è parzialmente illeggibile.] e. Indicare che $P$ ammette una radice su ciascuno degli intervalli $k-1$ $[x_1,x_2],[x_2,x_3],\dots ,[x_{k-1},x_k]$. [Nota: l’elenco preciso degli intervalli è parzialmente illeggibile; questa lettura è incerta.] f. Concludere che $d\ge k-1$.

3.4 Dove si dimostra che ogni $d\ge k-1$ funziona.

Supponiamo in questa domanda che le abscisse $x_i$ siano in coppia distinte, e si voglia dimostrare che, per ogni numero intero $d\ge k-1$, esiste un polinomio di grado $d$ il cui grafico contiene i punti $M_1,M_2,\dots ,M_k$.

7. Che $a$ e $b$ siano due valori reali. Nel quadro $\mathcal{R}$, considerate i punti $A(\cos (a),\sin (a))$, $B(\cos (a+b),\sin (a+b))$ e $C(-\sin (a),\cos (a))$. a. Indicare che il telaio ${\mathcal{R}}^{\prime }=(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ è ortonormale. b. Quali sono le coordinate del punto $B$ nel quadro ${\mathcal{R}}^{\prime }$? c. Riduzione di $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ e $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$.

8. Considera la sequenza di polinomi definiti da $T_0:x\mapsto 1$, $T_1:x\mapsto x$ e $T_{n+2}:x\mapsto 2x{T}_{n+1}(x)-T_n(x)$ per ogni intero $n\ge 0$. a. Indicare che $T_n(\cos (\theta ))=\cos (n\theta )$ per ogni numero intero $n\ge 0$ e ogni reale $\theta$. b. Lasciate che $\theta$ sia reale, e lasciate che $\ell$ e $j$ siano due numeri interi. Mostra che $T_{\ell -1}\left(\cos \left(\theta +\frac{2j\pi }{\ell }\right)\right)=\cos (\ell \theta )\cos \left(\theta +\frac{2j\pi }{\ell }\right)+\sin (\ell \theta )\sin \left(\theta +\frac{2j\pi }{\ell }\right)$. [Nota: questa identità è parzialmente illeggibile nella fonte; la lettura è incerta.] c. Mostra che per ogni numero intero $d\ge k-1$ esiste un polinomio di grado $d$ il cui grafico contiene i punti $M_1,M_2,\dots ,M_k$.

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