Concours Général des Lycées 2025 — Matematica

Addition on a parabola: an operation defined geometrically via secants/tangents to y=x^2 meeting the line y=-1; associativity, then a sequence of points and its convergence via heights of rationals.

Exercise 1: Addition on a parabola.

The plane is endowed with an orthonormal coordinate system $(O,\vec{ı},\vec{ȷ})$. For every point $M$ of the plane we denote its coordinates by $(x_M;y_M)$.

Let $\mathcal{P}$ be the parabola of equation $y=x^2$ and $\Delta$ the line of equation $y=-1$.

For all points $A$ and $B$ of $\mathcal{P}$ such that $y_A\ne y_B$, we denote by $A\oplus B$ the point of $\mathcal{P}$ whose abscissa is that of the intersection point of the line $(AB)$ with $\Delta$.

\textbf{Part 1: properties of $\oplus$.}

1. Let $A$ and $B$ be two points of $\mathcal{P}$ such that $y_A\ne y_B$. Express $x_{A\oplus B}$ in terms of $x_A$ and $x_B$.

2. Let $A$, $B$, $C$ be three points of $\mathcal{P}$. Suppose that $y_A\ne y_B,y_{A\oplus B}\ne y_C,y_B\ne y_C,y_A\ne y_{B\oplus C}.$ Show that the points $(A\oplus B)\oplus C$ and $A\oplus (B\oplus C)$ coincide (are confounded).

For every point $A$ of $\mathcal{P}$ distinct from the point $O$ (of coordinates $(0;0)$), we denote by $A\oplus A$ the point of $\mathcal{P}$ whose abscissa is that of the intersection point of the tangent to $\mathcal{P}$ at $A$ with $\Delta$.

3. Let $A$ be a point of $\mathcal{P}$ distinct from $O$. a. Express $x_{A\oplus A}$ in terms of $x_A$. b. Let $B$ be a point of $\mathcal{P}$ such that $y_{A\oplus A}\ne y_B,y_A\ne y_B,y_A\ne y_{A\oplus B}.$ Show that the points $(A\oplus A)\oplus B$ and $A\oplus (A\oplus B)$ coincide.

\textbf{Part 2: study of a sequence of points.}

Let $A$ be a point of $\mathcal{P}$. We associate to it a sequence of points $(A_n)$ defined by $A_0=A$ and the recurrence relation: $\text{for every integer }n\ge 0,A_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{A}_n\oplus A_n,& \text{if }{A}_n\ne 0,\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$ To lighten the notation, we set $x_n=x_{A_n}$.

4. Suppose, in this question, that $A$ is the point of coordinates $(3;9)$. a. Show that, for every $n$ in $\mathbb{N}$, one has $x_n\ne 0$. b. Show that the sequence $(x_n)$ does not converge.

One recalls that, for every $x$ in ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, there exists a unique pair of integers $(a,b)$ such that $b\ge 1$, $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ and $x=\frac{a}{b}$. One then denotes by $H(x)$ the largest of the integers $|a|$ and $|b|$, that is $H(x)=\max (|a|,|b|)$. For example $H\left(\frac{-4}{3}\right)=4$. One agrees moreover that $H(0)=1$.

For every point $P$ of the parabola $\mathcal{P}$ such that $x_P$ belongs to $\mathbb{Q}$, one sets $h(P)=\ln (H(x_P)).$

5. Show that, for every $c$ in ${\mathbb{N}}^{\ast }$, the set $E(c)=\{P\in \mathcal{P},x_P\in \mathbb{Q}\text{ and }h(P)\le c\}$ is finite.

6. Let $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$. Show that, if $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$, then $\mathrm{PGCD}(a^2-b^2,ab)=1$.

7. Show that there exist two reals $m$ and $M$ such that, for every point $P$ of the parabola $\mathcal{P}$ such that $x_P$ belongs to ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, one has $m+h(P\oplus P)\le 2h(P)\le h(P\oplus P)+M.$

8. Let $(u_n)$ be a real sequence. One sets $v_0=0\text{ and, for every integer }n\ge 1,v_n={\sum }_{k=0}^{n-1}|u_{k+1}-u_k|.$ One supposes that the sequence $(v_n)$ is bounded above (majorée) and one wishes to show that the sequence $(u_n)$ converges. a. Show that the sequence $(v_n)$ converges. b. Show that for every natural integer $n$ one has $0\le u_{n+1}-u_n+|u_{n+1}-u_n|\le 2|u_{n+1}-u_n|$. c. Deduce that the sequence $(u_n+v_n)$ converges. d. Conclude.

9. Let $A$ again be the point of coordinates $(3;9)$ and let $(A_n)$ be the recurrent sequence associated to $A$. For every natural integer $n$, one sets $t_n=\frac{h(A_n)}{2^n}$. Show that the sequence $(t_n)$ converges.

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Coordinate, Fattorizzazione, Congruenze, Telescoping Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Aggregazione su una parabola: un’operazione definita geometricamente tramite sezioni/tangenti a y=x^2 che raggiungono la linea y=-1; associazione, quindi una sequenza di punti e la sua convergenza tramite altezze di razionali.

Esercizio 1: Aggiunta su una parabola.

Il piano è dotato di un sistema di coordinate ortonormali $(O,\vec{ı},\vec{ȷ})$. Per ogni punto $M$ del piano indichiamo le sue coordinate con $(x_M;y_M)$.

$\mathcal{P}$ sia la parabola dell’equazione $y=x^2$ e $\Delta$ la linea dell’equazione $y=-1$.

Per tutti i punti $A$ e $B$ di $\mathcal{P}$ in modo tale che $y_A\ne y_B$, indichiamo con $A\oplus B$ il punto di $\mathcal{P}$ la cui abcissa è quella del punto di intersezione della linea $(AB)$ con $\Delta$.

\textbf{Parte 1: proprietà di $\oplus$.}

1. I punti $A$ e $B$ siano due punti di $\mathcal{P}$ in modo tale che $y_A\ne y_B$. Esprimere $x_{A\oplus B}$ in termini di $x_A$ e $x_B$.

2. I punti $A$, $B$, $C$ siano tre punti di $\mathcal{P}$. Supponiamo che $y_A\ne y_B,y_{A\oplus B}\ne y_C,y_B\ne y_C,y_A\ne y_{B\oplus C}.$ Mostri che i punti $(A\oplus B)\oplus C$ e $A\oplus (B\oplus C)$ coincidono (sono confusi).

Per ogni punto $A$ di $\mathcal{P}$ distinto dal punto $O$ (di coordinate $(0;0)$), indichiamo con $A\oplus A$ il punto di $\mathcal{P}$ la cui abcissa è quella del punto di intersezione della tangente a $\mathcal{P}$ a $A$ con $\Delta$.

3. Il $A$ deve essere un punto di $\mathcal{P}$ distinto da $O$. a. Esprimere $x_{A\oplus A}$ in termini di $x_A$. b. Il punto $B$ deve essere un punto di $\mathcal{P}$ tale che $y_{A\oplus A}\ne y_B,y_A\ne y_B,y_A\ne y_{A\oplus B}.$ dimostri che i punti $(A\oplus A)\oplus B$ e $A\oplus (A\oplus B)$ coincidono.

\textbf{Parte 2: studio di una sequenza di punti.}

Il punto $A$ deve essere $\mathcal{P}$. A questo si associa una sequenza di punti $(A_n)$ definiti da $A_0=A$ e la relazione di ricorrenza: $\text{for every integer }n\ge 0,A_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{A}_n\oplus A_n,& \text{if }{A}_n\ne 0,\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$ Per alleggerire la notazione, si impone $x_n=x_{A_n}$.

4. Supponiamo, in questa domanda, che $A$ sia il punto delle coordinate $(3;9)$. a. Mostra che per ogni $n$ in $\mathbb{N}$, uno ha $x_n\ne 0$. b. Indicare che la sequenza $(x_n)$ non converge.

Si ricorda che, per ogni $x$ in ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, esiste una coppia unica di integri $(a,b)$ come $b\ge 1$, $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ e $x=\frac{a}{b}$. Uno poi indica con $H(x)$ il più grande degli enti $|a|$ e $|b|$, cioè $H(x)=\max (|a|,|b|)$. Ad esempio $H\left(\frac{-4}{3}\right)=4$. Si è inoltre d’accordo che $H(0)=1$.

Per ogni punto $P$ della parabola $\mathcal{P}$ tale che $x_P$ appartenga a $\mathbb{Q}$, un insieme $h(P)=\ln (H(x_P)).$

5. Mostra che per ogni $c$ in ${\mathbb{N}}^{\ast }$, l’insieme $E(c)=\{P\in \mathcal{P},x_P\in \mathbb{Q}\text{ and }h(P)\le c\}$ è finito.

6. Let $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$. Indicare che, se $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$, allora $\mathrm{PGCD}(a^2-b^2,ab)=1$.

7. Mostrare che esistono due valori reali $m$ e $M$ in modo tale che, per ogni punto $P$ della parabola $\mathcal{P}$ in modo tale che $x_P$ appartenga a ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, uno abbia $m+h(P\oplus P)\le 2h(P)\le h(P\oplus P)+M.$

8. Lasciate che $(u_n)$ sia una sequenza reale. Una serie $v_0=0\text{ and, for every integer }n\ge 1,v_n={\sum }_{k=0}^{n-1}|u_{k+1}-u_k|.$ Si suppone che la sequenza $(v_n)$ sia delimitata sopra (majorée) e si desidera mostrare che la sequenza $(u_n)$ converge. a. Indicare che la sequenza $(v_n)$ converge. b. Mostrare che per ogni intero naturale $n$ ci sono $0\le u_{n+1}-u_n+|u_{n+1}-u_n|\le 2|u_{n+1}-u_n|$. c. Riduzione che la sequenza $(u_n+v_n)$ converge. d. Conclusione.

9. Let $A$ essere nuovamente il punto delle coordinate $(3;9)$ e let $(A_n)$ essere la sequenza ricorrente associata a $A$. Per ogni intero naturale $n$, un insieme $t_n=\frac{h(A_n)}{2^n}$. Indicare che la sequenza $(t_n)$ converge.

src_cgen_2025__Q01

Positive and bounded sequences: for the recurrence u_{n+2}=u_{n+1}^2 - alpha u_n^4 with u_0=u_1=1, determine which real alpha make all terms positive (property P) and which make the sequence bounded (property B).

Exercise 2: Positive sequence and bounded sequence.

For every real $\alpha$, one calls \emph{sequence associated to $\alpha$} the sequence $(u_n)$ defined by $u_0=u_1=1$ and $u_{n+2}=u_{n+1}^2-\alpha u_n^4$ for every integer $n\ge 0$. One says that $\alpha$ \emph{verifies the property} $\mathcal{P}$ if all the terms of the sequence $(u_n)$ associated to $\alpha$ are strictly positive, and that $\alpha$ \emph{verifies the property} $\mathcal{B}$ if the sequence $(u_n)$ associated to $\alpha$ is bounded.

\textbf{Part 1: Property $\mathcal{P}$.}

1. Which are the reals $\alpha$ that verify the property $\mathcal{P}$ and that belong a. to the interval $[1;+\infty [$? b. to the interval $]-\infty ;0]$?

2. Let $\alpha$ be a real belonging to the interval $]0;1[$ and $(u_n)$ the sequence associated to it; suppose, in this question, that $\alpha$ verifies the property $\mathcal{P}$. a. Show that $0<u_{n+1}\le u_n\le 1$ for every integer $n\ge 0$. b. What is the limit of the sequence $(u_n)$? c. For every real $n\ge 0$, one sets $x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n^2}$. Express $x_{n+1}$ in terms of $\alpha$ and of $x_n$. d. Show that the sequence $(x_n)$ admits a finite limit, which one denotes $x_{\infty }$, and express $x_{\infty }^2(1-x_{\infty })$ in terms of $\alpha$. e. Deduce that $\alpha \le \frac{4}{27}$.

3. Which are the reals $\alpha$ that verify the property $\mathcal{P}$?

\textbf{Part 2: Property $\mathcal{B}$.}

4. Which are the reals $\alpha$ that verify the property $\mathcal{B}$ and that belong a. to the interval $]-\infty ;0[$? b. to the interval $[0;1]$?

5. Let $\alpha$ be a real belonging to the interval $]2;+\infty [$ and $(u_n)$ the sequence associated to it. For every $n\ge 0$, one denotes by $v_n$ the largest of the reals $|u_0|,|u_1|,\dots ,|u_n|$, that is $v_n=\max (|u_0|,|u_1|,\dots ,|u_n|)$. a. Show that, for every integer $n\ge 1$, one has $v_n=|u_{n-1}|$, or $v_n=|u_n|$. b. Does the real $\alpha$ verify the property $\mathcal{B}$?

6. Let $\alpha$ be a real belonging to the interval $\left[\frac{9}{7};2\right]$ and $(u_n)$ the sequence associated to it. a. For every real $x$, one sets $P(x)=\alpha x^3-x-1$ and $Q(x)=8x^3-116x^2+494x-441$. Show that $P\left(\frac{11-2\alpha }{7}\right)=\frac{(2-\alpha )Q(\alpha )}{7^3}.$ b. Study the variations of the function $x\mapsto P(x)$ on the interval $[1;+\infty [$ and of the function $x\mapsto Q(x)$ on the interval $[1;2]$. c. What is the sign of $Q(\alpha )$? d. Compare the reals $\frac{11-2\alpha }{7}$ and $-u_3$. e. Does the real $\alpha$ verify the property $\mathcal{B}$?

7. Let $\alpha$ be a real belonging to the interval $\left]1;\frac{9}{7}\right[$. For every real $x$, one sets $S_0(x)=x$, $S_1(x)=1$, then $S_{k+2}(x)=S_{k+1}(x{)}^2-\alpha S_k(x{)}^4$ for every integer $k\ge 0$. One \emph{admits} for the moment that there exists a real $t(\alpha )>1$ such that $1<S_4(x)\le S_3(x{)}^2\le t(\alpha {)}^2{S}_4(x)$ for every real $x\in [1;t(\alpha )]$. a. Let $n\ge 0$ be an integer such that $1\le u_{n+1}\le u_n^2\le t(\alpha {)}^2{u}_{n+1}$; one sets $x_n=\sqrt{\frac{u_n^2}{u_{n+1}}}$. Show that $u_{n+k}=u_{n+1}^{2^{k-1}}{S}_k(x_n)$ for every integer $k\ge 1$. b. Does the real $\alpha$ verify the property $\mathcal{B}$?

8. One now shows that the unique positive real $t(\alpha )$ such that $t(\alpha {)}^4=\frac{\alpha +2}{3}$ verifies the hypotheses of question 7. a. Show that $S_4(x)\le S_3(x{)}^2$ for every real $x$. b. Show that $0<S_2(x{)}^2\le \frac{7(\alpha -1)}{12}$ for every real $x\in [1;t(\alpha )]$. c. Show that $1<S_4(x)$ for every real $x\in [1;t(\alpha )]$. d. Show that $S_3(x{)}^2\le \frac{2+x^4}{3}{S}_4(x)\le x^2{S}_4(x)$ when $x=t(\alpha )$. e. Study the variations of the function $x\mapsto \frac{S_4(x)}{S_3(x{)}^2}$ on the interval $[1;t(\alpha )]$. f. Conclude.

9. Which are the reals $\alpha$ that verify the property $\mathcal{B}$?

Topic: Algebra, Disuguaglianze, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Disuguaglianze, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenze positive e limitate: per la ricorrenza u_{n+2}=u_{n+1}^2 - alfa u_n^4 con u_0=u_1=1, determinare quale alfa reale rende tutti i termini positivi (proprietà P) e quali rendono la sequenza limitata (proprietà B).

Esercizio 2: sequenza positiva e sequenza limitata.

Per ogni $\alpha$ reale, si chiama \emph{sequenza associata a $\alpha$} la sequenza $(u_n)$ definita da $u_0=u_1=1$ e $u_{n+2}=u_{n+1}^2-\alpha u_n^4$ per ogni intero $n\ge 0$. Si dice che $\alpha$ \emph{verifica la proprietà} $\mathcal{P}$ se tutti i termini della sequenza $(u_n)$ associati a $\alpha$ sono strettamente positivi, e che $\alpha$ \emph{verifica la proprietà} $\mathcal{B}$ se la sequenza $(u_n)$ associata a $\alpha$ è limitata.

\textbf{Parte 1: Proprietà $\mathcal{P}$.}

1. Quali sono i reals $\alpha$ che verificano la proprietà $\mathcal{P}$ e che appartengono a. all’intervallo $[1;+\infty [$? b. all’intervallo $]-\infty ;0]$?

2. Che $\alpha$ sia un reale appartenente all’intervallo $]0;1[$ e $(u_n)$ la sequenza associata a esso; supponiamo, in questa domanda, che $\alpha$ verifichi la proprietà $\mathcal{P}$. a. Indicare che $0<u_{n+1}\le u_n\le 1$ per ogni numero intero $n\ge 0$. b. Qual è il limite della sequenza $(u_n)$? c. Per ogni $n\ge 0$ reale, un set $x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n^2}$. Esprimere $x_{n+1}$ in termini di $\alpha$ e di $x_n$. d. Indicare che la sequenza $(x_n)$ ammette un limite finito, che si denota $x_{\infty }$, ed esprimere $x_{\infty }^2(1-x_{\infty })$ in termini di $\alpha$. e. Riduzione di $\alpha \le \frac{4}{27}$.

3. Quali sono i reals $\alpha$ che verificano la proprietà $\mathcal{P}$?

\textbf{Parte 2: Proprietà $\mathcal{B}$.}

4. Quali sono i reals $\alpha$ che verificano la proprietà $\mathcal{B}$ e che appartengono a. all’intervallo $]-\infty ;0[$? b. all’intervallo $[0;1]$?

5. $\alpha$ sia un reale appartenente all’intervallo $]2;+\infty [$ e $(u_n)$ la sequenza associata ad esso. Per ogni $n\ge 0$, uno denota con $v_n$ il più grande dei valori reali $|u_0|,|u_1|,\dots ,|u_n|$, cioè $v_n=\max (|u_0|,|u_1|,\dots ,|u_n|)$. a. Mostrare che per ogni intero $n\ge 1$, uno ha $v_n=|u_{n-1}|$, o $v_n=|u_n|$. b. Il $\alpha$ reale verifica la proprietà $\mathcal{B}$?

6. $\alpha$ sia un reale appartenente all’intervallo $\left[\frac{9}{7};2\right]$ e $(u_n)$ la sequenza associata ad esso. a. Per ogni $x$ reale, un set $P(x)=\alpha x^3-x-1$ e $Q(x)=8x^3-116x^2+494x-441$. Mostra che $P\left(\frac{11-2\alpha }{7}\right)=\frac{(2-\alpha )Q(\alpha )}{7^3}.$ b. Studiare le variazioni della funzione $x\mapsto P(x)$ sull’intervallo $[1;+\infty [$ e della funzione $x\mapsto Q(x)$ sull’intervallo $[1;2]$. c. Qual è il segno di $Q(\alpha )$? d. Confronta i reali $\frac{11-2\alpha }{7}$ e $-u_3$. e. Il vero $\alpha$ verifica la proprietà $\mathcal{B}$?

7. $\alpha$ sia un reale appartenente all’intervallo $\left]1;\frac{9}{7}\right[$. Per ogni $x$ reale, un set $S_0(x)=x$, $S_1(x)=1$, quindi $S_{k+2}(x)=S_{k+1}(x{)}^2-\alpha S_k(x{)}^4$ per ogni numero intero $k\ge 0$. Uno \emph{admits} per il momento che esiste un reale $t(\alpha )>1$ tale che $1<S_4(x)\le S_3(x{)}^2\le t(\alpha {)}^2{S}_4(x)$ per ogni reale $x\in [1;t(\alpha )]$. a. $n\ge 0$ sia un numero intero tale che $1\le u_{n+1}\le u_n^2\le t(\alpha {)}^2{u}_{n+1}$; un insieme $x_n=\sqrt{\frac{u_n^2}{u_{n+1}}}$. Indicare che $u_{n+k}=u_{n+1}^{2^{k-1}}{S}_k(x_n)$ per ogni numero intero $k\ge 1$. b. Il vero $\alpha$ verifica la proprietà $\mathcal{B}$?

8. Uno mostra ora che l’unico reale positivo $t(\alpha )$ tale che $t(\alpha {)}^4=\frac{\alpha +2}{3}$ verifica le ipotesi della domanda 7. a. Indicare che $S_4(x)\le S_3(x{)}^2$ per ogni reale $x$. b. Indicare che $0<S_2(x{)}^2\le \frac{7(\alpha -1)}{12}$ per ogni reale $x\in [1;t(\alpha )]$. c. Indicare che $1<S_4(x)$ per ogni reale $x\in [1;t(\alpha )]$. d. Indicare che $S_3(x{)}^2\le \frac{2+x^4}{3}{S}_4(x)\le x^2{S}_4(x)$ quando $x=t(\alpha )$. e. Studiare le variazioni della funzione $x\mapsto \frac{S_4(x)}{S_3(x{)}^2}$ nell’intervallo $[1;t(\alpha )]$. f. Conclusione.

9. Quali sono i reals $\alpha$ che verificano la proprietà $\mathcal{B}$?

src_cgen_2025__Q02

Functional equation f(x+1)=1/2+sqrt(f(x)-f(x)^2): exhibit a continuous solution, prove every solution is periodic, and produce infinitely many continuous solutions with f(0)=1/2.

Exercise 3.

One says that a function $f$ verifies the property $\mathcal{E}$ if, for every real $x$, $f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x{)}^2}.$

1. Propose a continuous function that verifies the property $\mathcal{E}$.

2. One recalls that a function $g$ defined on $\mathbb{R}$ is periodic if there exists a real $T>0$ such that $\text{for every real }x,g(x+T)=g(x).$ Let $f$ be a function verifying $\mathcal{E}$. Show that $f$ is periodic.

3. Propose an infinity of continuous functions $f$ verifying $\mathcal{E}$ and such that $f(0)=\frac{1}{2}$.

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria, Ricorsione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale f(x+1)=1/2+sqrt(f(x)-f(x)^2): mostrare una soluzione continua, dimostrare che ogni soluzione è periodica, e produrre infinite soluzioni continue con f(0)=1/2.

Esercizio 3.

Si dice che una funzione $f$ verifica la proprietà $\mathcal{E}$ se, per ogni reale $x$, $f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x{)}^2}.$

1. Propone una funzione continua che verifica la proprietà $\mathcal{E}$.

2. Si ricorda che una funzione $g$ definita su $\mathbb{R}$ è periodica se esiste una $T>0$ reale tale che $\text{for every real }x,g(x+T)=g(x).$ $f$ sia una funzione che verifica $\mathcal{E}$. Indicare che $f$ è periodico.

3. Proporre un’infinità di funzioni continue $f$ che verificano $\mathcal{E}$ e che $f(0)=\frac{1}{2}$.

src_cgen_2025__Q03