China Girls' Mathematical Olympiad 2002

Find all positive integers n dividing 2003n+2002

Find all positive integers $n$ such that $2$ divides $2003n+2002$. (posed by Wu Weichao)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i numeri interi positivi n divisioni 2003n+2002

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $2$ divida $2003n+2002$. (Possibile da Wu Weichao)

src_cn_cgmo_2002__Q01

Summer camp scheduling: duty arrangements with uniqueness condition

$3n$ ($n$ is a positive integer) girl students took part in a summer camp. There were three girl students to be on duty every day. When the summer camp ended, it was found that any two of the $3n$ girl students had just one time to be on duty on the same day.

(1) When $n=3$, is there any arrangement satisfying the requirement above? Prove your conclusion.

(2) Prove that $n$ is an odd number.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Programmazione del campo estivo: accordi di servizio con condizione di unicità

Le ragazze parteciparono a un campo estivo. C’erano tre ragazze che dovevano essere al servizio ogni giorno. Quando il campo estivo è terminato, è stato scoperto che due delle ragazze studenti $3n$ avevano solo una volta di servizio nello stesso giorno.

(1) Quando $n=3$, esiste un accordo che soddisfi il requisito di cui sopra? Prova la tua conclusione.

(2) Prove che $n$ è un numero odd.

src_cn_cgmo_2002__Q02

Find all positive integers k for triangle-existence via inequality

Find all positive integers $k$ such that for any positive numbers $a$, $b$ and $c$ satisfying the inequality $k(ab+bc+ca)>5(a^2+b^2+c^2)$, there must exist a triangle with $a$, $b$ and $c$ as the lengths of its three sides respectively. (posed by Qian Zhanwang)

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i numeri interi positivi k per l’esistenza triangolare attraverso l’ineguaglianza

Trovare tutti i numeri interi positivi $k$ in modo tale che per tutti i numeri positivi $a$, $b$ e $c$ che soddisfano l’ineguaglianza $k(ab+bc+ca)>5(a^2+b^2+c^2)$, debba esistere un triangolo con $a$, $b$ e $c$ come lunghezze dei suoi tre lati rispettivamente. (Posizionato da Qian Zhanwang)

src_cn_cgmo_2002__Q03

Circles intersecting: prove ratio equality AH/HF = CD/CF

Circles $O_1$, $O_2$ intersect at two points $B$ and $C$, and $BC$ is the diameter of circle $O_1$. Construct a tangent line of circle $O_1$ at $C$ and intersecting circle $O_2$ at another point $A$. Join $AB$ to intersecting circle $O_1$ at point $E$, then join $CE$ and extend it to intersect circle $O_2$ at point $F$. Assume $H$ is an arbitrary point on line segment $AF$. Extend $HE$ and extend it to intersect circle $O_1$ at point $G$, and extend the line $HG$ to intersect the extension of line $AC$ at point $D$. Prove: $\frac{AH}{HF}=\frac{CD}{CF}.$ (posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circoli che si intersecano: prova l’uguaglianza del rapporto AH/HF = CD/CF

I cerchi $O_1$, $O_2$ si incrociano a due punti $B$ e $C$, e $BC$ è il diametro del cerchio $O_1$. Costruire una linea tangente del cerchio $O_1$ a $C$ e un cerchio intersezionante $O_2$ ad un altro punto $A$. Unire $AB$ al cerchio di intersezione $O_1$ al punto $E$, poi unire $CE$ e estendere al cerchio di intersezione $O_2$ al punto $F$. Supponiamo che $H$ sia un punto arbitrario sul segmento $AF$. Estendere $HE$ e estenderlo per incrociare il cerchio $O_1$ al punto $G$, e estendere la linea $HG$ per incrociare l’estensione della linea $AC$ al punto $D$. Prova: $\frac{AH}{HF}=\frac{CD}{CF}.$ (postato da Xiong Bin)

src_cn_cgmo_2002__Q04

Permutation sum inequality: prove lower bound (n-1)/(n+2)

Assume $P_1,P_2,\dots ,P_n$ ($n\ge 2$) is an arbitrary permutation of $1,2,\dots ,n$. Prove that $\frac{1}{P_1+P_2}+\frac{1}{P_2+P_3}+\cdots +\frac{1}{P_{n-2}+P_{n-1}}+\frac{1}{P_{n-1}+P_n}>\frac{n-1}{n+2}.$ (posed by Qiu Zonghu)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

*Ineguaglianza della somma di permutazione: dimostra il limite inferiore (n-1)/(n+2) *

Supponiamo che $P_1,P_2,\dots ,P_n$ ($n\ge 2$) sia una permutazione arbitraria di $1,2,\dots ,n$. Prove che $\frac{1}{P_1+P_2}+\frac{1}{P_2+P_3}+\cdots +\frac{1}{P_{n-2}+P_{n-1}}+\frac{1}{P_{n-1}+P_n}>\frac{n-1}{n+2}.$ (posato da Qiu Zonghu)

src_cn_cgmo_2002__Q05

Find all positive integer pairs (x,y) with x^y = y^(x-y)

Find all pairs of positive integers $(x,y)$ satisfying $x^y=y^{x-y}$. (posed by Pan Chengbiao)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

*Ricerca tutte le coppie di integri positivi (x,y) con x^y = y^(x-y) *

Trova tutte le coppie di integri positivi $(x,y)$ che soddisfano $x^y=y^{x-y}$. (Possibile da Pan Chengbiao)

src_cn_cgmo_2002__Q06

Orthic triangle perimeter at most half of acute triangle perimeter

An acute triangle $ABC$ has three altitudes $AD$, $BE$ and $CF$ respectively. Prove that the perimeter of triangle $DEF$ is not over half of the perimeter of triangle $ABC$. (posed by Qi Jianxin)

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Perimetro del triangolo orizzonte alla metà del perimetro del triangolo acuto

Un triangolo acuto $ABC$ ha rispettivamente tre altitudini $AD$, $BE$ e $CF$. Prova che il perimetro del triangolo $DEF$ non è superiore alla metà del perimetro del triangolo $ABC$. (Posizionato da Qi Jianxin)

src_cn_cgmo_2002__Q07

Maximize number of distinct permutations from 8-point projections

Assume that $A_1,A_2,\dots ,A_8$ are eight points taken arbitrarily on a plane. For a directed line $l$ taken arbitrarily on the plane, the projections of $A_1,A_2,\dots ,A_8$ on line $l$ are $P_1,P_2,\dots ,P_8$ according to the direction of line $l$. We get one permutation for $1,2,\dots ,8$, namely, $i_1,i_2,i_3,i_4,i_5,i_6,i_7,i_8$. Assume that after these eight points are projected to every directed line on the plane, we get the number of different permutations as $N_8=N(A_1,\dots ,A_8)$. Find the maximum value of $N_8$. (posed by Su Chun)

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Maximizzare il numero di permutazioni distinte da proiezioni a 8 punti

Supponiamo che $A_1,A_2,\dots ,A_8$ siano otto punti presi arbitrariamente su un piano. Per una linea diretta $l$ presa arbitrariamente sul piano, le proiezioni di $A_1,A_2,\dots ,A_8$ sulla linea $l$ sono $P_1,P_2,\dots ,P_8$ secondo la direzione della linea $l$. Abbiamo una permutazione per $1,2,\dots ,8$, vale a dire, $i_1,i_2,i_3,i_4,i_5,i_6,i_7,i_8$. Supponiamo che dopo che questi otto punti sono proiettati su ogni linea diretta sul piano, otteniamo il numero di diverse permutazioni come $N_8=N(A_1,\dots ,A_8)$. Trova il valore massimo di $N_8$. (Posizionato da Su Chun)

src_cn_cgmo_2002__Q08