China Girls' Mathematical Olympiad 2003

Triangle area inequalities with ratio x on segment DE

Let $ABC$ be a triangle. Points $D$ and $E$ are on sides $AB$ and $AC$ respectively, and point $F$ is on line segment $DE$. Let $\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{DE}=x$. Prove that $S_{△CEF}=x(1-x)S_{△ABC}$ and $\sqrt{S_{△ABE}}+\sqrt{S_{△ADF}}\le \sqrt{S_{△ABC}}.$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

ineguaglianze di superficie triangolare con rapporto x sul segmento DE

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. I punti $D$ e $E$ sono rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$, mentre il punto $F$ è sul segmento di linea $DE$. Let $\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{DE}=x$. Provare che $S_{△CEF}=x(1-x)S_{△ABC}$ e $\sqrt{S_{△ABE}}+\sqrt{S_{△ADF}}\le \sqrt{S_{△ABC}}.$

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Find max minus min of seat-position-value sum for 47 students in 6x8 grid

There are 47 students in a class with seats arranged in 6 rows $\times$ 8 columns, and the seat in the $i$-th row and $j$-th column is denoted by $(i,j)$. Now, an adjustment is made for students’ seats in the new school term. For a student with the original seat $(i,j)$, if his/her new seat is $(m,n)$, we say that the student is moved by $[m,n]-[i,j]=m-i+n-j$ and define the position value of the student as $|m-i+n-j|$. Let $S$ denote the sum of the position values of all students. Determine the difference between the greatest and smallest possible values of $S$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca la somma massima meno min del valore della posizione del sedile per 47 studenti nella griglia 6x8

Ci sono 47 studenti in una classe con sedi disposti in 6 righe $\times$ 8 colonne, e il posto nella riga $i$-th e $j$-th colonna è indicato da $(i,j)$. Ora, viene fatto un aggiustamento per i posti degli studenti nel nuovo semestre scolastico. Per uno studente con il sedile originale $(i,j)$, se il suo nuovo sedile è $(m,n)$, diciamo che lo studente è spostato da $[m,n]-[i,j]=m-i+n-j$ e definiamo il valore della posizione dello studente come $|m-i+n-j|$. $S$ indichi la somma dei valori di posizione di tutti gli studenti. Determinare la differenza tra i valori più grandi e più piccoli possibili di $S$.

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Five nonneg reals summing to 1: neighboring products on circle

(1) For any five nonneg real numbers $a$, $b$, $c$, $d$ and $e$ with their sum equal to $1$, it is always possible to arrange them around a circle such that there are always two neighboring numbers with their product not less than $\frac{1}{4}$.

(2) For any five nonneg real numbers $a$, $b$, $c$, $d$ and $e$ with their sum equal to $1$, it is always possible to arrange them around a circle such that there are two neighboring numbers with their product not greater than $\frac{1}{9}$.

(posed by Qian Zhanwang)

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework, Disuguaglianze Abilita: Modellizzazione, Stima, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Cinque valori reali non negativi sommati a 1: prodotti vicini sul cerchio

(1) Per tutti i cinque numeri reali non negativi $a$, $b$, $c$, $d$ e $e$ con la loro somma uguale a $1$, è sempre possibile organizzarli intorno a un cerchio in modo che ci siano sempre due numeri vicini con il loro prodotto non inferiore a $\frac{1}{4}$.

(2) Per tutti i cinque numeri reali non negativi $a$, $b$, $c$, $d$ e $e$ con la loro somma uguale a $1$, è sempre possibile organizzarli attorno a un cerchio in modo che ci siano due numeri vicini il cui prodotto non è maggiore di $\frac{1}{9}$.

(Posizionato da Qian Zhanwang)

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Sequence with a_{n+1}=a_n^2-a_n+1: prove sum of reciprocal products < 1

Let $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ be a sequence of real numbers such that $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ for $n=1,2,\dots$. Prove that $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\cdots +\frac{1}{a_1{a}_2\cdots a_{2003}}<1.$ (posed by Li Shenghong)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Telescoping, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Sequenza con a_{n+1}=a_n^2-a_n+1: prova somma di prodotti reciproci < 1

$\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ sia una sequenza di numeri reali come $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ per $n=1,2,\dots$. Dimostrare che $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\cdots +\frac{1}{a_1{a}_2\cdots a_{2003}}<1.$ (posato da Li Shenghong)

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Scalene triangle angle bisectors with DE=DF: prove ratio and obtuse angle

Let the sides of a scalene triangle $△ABC$ satisfy $AB\ne AC$. Let $D$, $E$, $F$ be points on $BC$, $CA$, $AB$ respectively, such that $AD$, $BE$, $CF$ are angle bisectors of the triangle. Assume that $DE=DF$. Let $b=CA$, $c=AB$, $s=\frac{a+b+c}{2}$. Prove that: (1) $\frac{b}{c}=\frac{s-b}{s-c}$; (2) $\angle BAC>90^{\circ }$. (posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Bissettori di angolo triangolare di scalene con DE=DF: prova rapporto e angolo obtusso

Lasciate che i lati di un triangolo scaleno $△ABC$ soddisfino $AB\ne AC$. I punti $D$, $E$, $F$ siano punti rispettivamente su $BC$, $CA$, $AB$, in modo che $AD$, $BE$, $CF$ siano bisettiori angolari del triangolo. Supponiamo che $DE=DF$. Let $b=CA$, $c=AB$, $s=\frac{a+b+c}{2}$. Prove che: (1) $\frac{b}{c}=\frac{s-b}{s-c}$; (2) $\angle BAC>90^{\circ }$. (Posizionato da Xiong Bin)

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At most half of proper divisors of n end in digit 5

Let $n\ge 2$ be a positive integer, and let $S_n$ be the set of all positive integer divisors of $n$ (not including $1$ and $n$ itself). Prove that at most half of the elements in $S_n$ have their last digits equal to $5$. (posed by Feng Zanting)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Doppio conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Al massimo la metà dei divisori propri di n fine nella cifra 5

Che $n\ge 2$ sia un intero positivo, e che $S_n$ sia l’insieme di tutti i divisori interi positivi di $n$ (esclusi $1$ e $n$ stesso). Prova che almeno la metà degli elementi di $S_n$ ha le ultime cifre uguali a $5$. (Possibile da Feng Zanting)

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