China Girls' Mathematical Olympiad 2004

Find all ‘good’ numbers in a given set

We say a positive integer $n$ is “good” if there is a permutation $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ of $1,2,\dots ,n$ such that $a_k+k$ is a perfect square for all $1\le k\le n$. Determine all the good numbers in the set $\{11,13,15,17,19\}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, method_casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 13, 15, 17, 19 Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i numeri “buoni” in un dato insieme

Diciamo che un intero positivo $n$ è “buono” se c’è una permutazione $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ di $1,2,\dots ,n$ tale che $a_k+k$ è un quadrato perfetto per tutti $1\le k\le n$. Determinare tutti i numeri buoni del set $\{11,13,15,17,19\}$.

Risposta: 13, 15, 17, 19 src_cn_cgmo_2004__Q01

Minimize a sum of three fractions in positive reals

Let $a$, $b$ and $c$ be positive real numbers. Determine the minimum value of $\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $-17+12\sqrt{2}$ Fonte: apri libro PDF

Minimizzare la somma di tre frazioni in reali positivi

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali positivi. Determinare il valore minimo di $\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}.$

Risposta: -17+12\sqrt{2} src_cn_cgmo_2004__Q02

Cover obtuse triangle inscribed in unit circle by isosceles right triangle

Let $ABC$ be an obtuse triangle inscribed in a circle of radius 1. Prove that triangle $ABC$ can be covered by an isosceles right-angled triangle with hypotenuse $\sqrt{2}+1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Coperta un triangolo obtusso inserito nel cerchio unitario con triangolo retto a uguale occhio

Che $ABC$ sia un triangolo obtusso inserito in un cerchio di raggio 1. Prove che il triangolo $ABC$ può essere coperto da un triangolo rettangolare con ipotenusa $\sqrt{2}+1$.

src_cn_cgmo_2004__Q03

Count hands of value 2004 from a 32-card deck with jokers

A deck of 32 cards has 2 different jokers each of which is numbered 0. There are 10 red cards numbered 1 through 10 and similarly for blue and green cards. One chooses a number of cards from the deck. If a card is chosen numbered $k$, then the value of the card is $2^k$, and the value of the hand is the sum of the values of cards in hand. Determine the number of hands having the value 2004.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1006009 Fonte: apri libro PDF

Conta le mani di valore 2004 da un mazzo di 32 carte con jokers

Un mazzo di 32 carte ha 2 giocatori diversi ognuno dei quali è numerato 0. Ci sono 10 carte rosse numerate da 1 a 10 e allo stesso modo per le carte blu e verdi. Uno sceglie una serie di carte dal mazzo. Se si sceglie una carta numerata $k$, il valore della carta è $2^k$ e il valore della mano è la somma dei valori delle carte in mano. Determinare il numero di mani con il valore 2004.

Risposta: 1006009 src_cn_cgmo_2004__Q04

Find maximum lambda with inequality constraint on positive reals

Determine the maximum value of constant $\lambda$ such that $u+v+w\ge \lambda$, where $u$, $v$ and $w$ are positive real numbers satisfying $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge 1$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

*Ricerca il lambda massimo con restrizione di disuguaglianza sui valori positivi *

Determinare il valore massimo della costante $\lambda$ in modo tale che $u+v+w\ge \lambda$, dove $u$, $v$ e $w$ sono numeri reali positivi che soddisfano $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge 1$.

Risposta: \sqrt{3} src_cn_cgmo_2004__Q05

Projection of EF on BC is constant for circle through A,E,D,F

Given an acute triangle $ABC$ with $O$ as its circumcenter. Line $AO$ and side $BC$ meet at $D$. Points $E$ and $F$ are on sides $AB$ and $AC$ respectively, such that points $A$, $E$, $D$ and $F$ are on a circle. Prove that the length of the projection of line segment $EF$ on side $BC$ does not depend on the positions of $E$ and $F$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

La proiezione di EF su BC è costante per il cerchio attraverso A,E,D,F

Date un triangolo acuto $ABC$ con $O$ come suo centro circundante. Linea $AO$ e lato $BC$ si incontrano a $D$. I punti $E$ e $F$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$, in modo tale che i punti $A$, $E$, $D$ e $F$ si trovino su un cerchio. Prove che la lunghezza della proiezione del segmento di linea $EF$ sul lato $BC$ non dipende dalle posizioni di $E$ e $F$.

src_cn_cgmo_2004__Q06

Count integers of form ip+jq with i+j<=n, p,q coprime

Let $p$, $q$ be two coprime positive integers, and let $n$ be a nonnegative integer. Determine the number of integers that can be written in the form $ip+jq$, where $i$ and $j$ are nonnegative integers with $i+j\le n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Conta i numeri interi della forma ip+jq con i+j<=n, p,q coprimo

Lasciate che $p$, $q$ siano due integri positivi coprimi, e lasciate che $n$ sia un intero non negativo. Determinare il numero di integri che possono essere scritti nella forma $ip+jq$, dove $i$ e $j$ sono integri non negativi con $i+j\le n$.

src_cn_cgmo_2004__Q07

Maximum non-overlapping crosses in 10x11 chessboard minus corners

When the unit squares at the four corners are removed from a three by three square, the remaining shape is called a cross. What is the maximum number of non-overlapping crosses placed within the boundary of a $10\times 11$ chessboard? (Each cross covers exactly five unit squares on the board.)

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15 Fonte: apri libro PDF

Massime croci non sovrapposti in scacchi da 10x11 meno angoli

Quando i quadrati di unità nei quattro angoli vengono rimossi da un quadrato di tre per tre, la forma rimanente viene chiamata croce. Qual è il numero massimo di croci non sovrapposti posizionati all’interno del confine di una scacchiera $10\times 11$? (Ogni croce copre esattamente cinque unità quadrate sulla tabella.)

Risposta: 15 src_cn_cgmo_2004__Q08