China Girls' Mathematical Olympiad 2005

Prove CE/BF = AJ/AK using circumcircle and perpendicular bisectors

As shown in the following figure, point $P$ lies on the circumcircle of triangle $ABC$. Lines $AB$ and $CP$ meet at $E$, and lines $AC$ and $BP$ meet at $F$. The perpendicular bisector of line segment $AB$ meets line segment $AC$ at $K$, and the perpendicular bisector of line segment $AC$ meets line segment $AB$ at $J$. Prove that $\frac{CE}{BF}=\frac{AJ}{AK}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove CE/BF = AJ/AK utilizzando bisettori circoncircolari e perpendicolari

Come mostrato nella figura seguente, il punto $P$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ABC$. Le linee $AB$ e $CP$ si incontrano a $E$ e le linee $AC$ e $BP$ si incontrano a $F$. Il bisettore perpendicolare del segmento di linea $AB$ incontra il segmento di linea $AC$ a $K$, e il bisettore perpendicolare del segmento di linea $AC$ incontra il segmento di linea $AB$ a $J$. Provare che $\frac{CE}{BF}=\frac{AJ}{AK}.$

src_cn_cgmo_2005__Q01

Find all real triples satisfying a system with coefficients 12 and 13

Find all triples $(x,y,z)$ of real numbers such that $\{\begin{array}{l}{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=12\left(y+\frac{1}{2}\right),\\ {\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=13\left(z+\frac{1}{2}\right),\\ xy+yz+zx=1.\end{array}$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $\left(\frac{1}{5},\frac{2}{3},1\right)$ and $\left(-\frac{1}{5},\frac{2}{3},1\right)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i tripli veri che soddisfano un sistema con i coefficienti 12 e 13

Trovare tutti i triples $(x,y,z)$ dei numeri reali in modo tale che $\{\begin{array}{l}{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=12\left(y+\frac{1}{2}\right),\\ {\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=13\left(z+\frac{1}{2}\right),\\ xy+yz+zx=1.\end{array}$

Risposta: $\left(\frac{1}{5},\frac{2}{3},1\right)$ and $\left(-\frac{1}{5},\frac{2}{3},1\right)$ src_cn_cgmo_2005__Q02

Determine if a convex polyhedron with specified edge-face incidence exists

Determine if there exists a convex polyhedron such that (1) it has 12 edges, 6 faces and 8 vertices; (2) it has 4 faces with each pair of them sharing a common edge of the polyhedron.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: Yes Fonte: apri libro PDF

Determine se esiste un poliedro convexo con specificata incidenza sul bordo della faccia

Determinare se esiste un poliedro convex tale che (1) abbia 12 bordi, 6 facce e 8 vertici; (2) abbia 4 facce, ciascuna coppia di cui condivide un bordo comune del poliedro.

Risposta: Yes src_cn_cgmo_2005__Q03

Find all positive reals a for which a valid partition of the integers exists

Determine all positive real numbers $a$ such that there exists a positive integer $n$ and sets $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ satisfying the following conditions: (1) every set $A_i$ has finitely many elements; (2) every pair of distinct sets $A_i$ and $A_j$ do not share any common element; (3) the union of sets $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ is the set of all integers; (4) for every set $A_i$, the positive difference of any pair of elements in $A_i$ is at least $a^i$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio, Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $0<a<2$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutti i reali positivi a per i quali esiste una partizione valida degli integri

Determinare tutti i numeri reali positivi $a$ in modo tale che esista un intero positivo $n$ e set $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ che soddisfino le seguenti condizioni: (1) ogni set $A_i$ ha finitamente molti elementi; (2) ogni coppia di set $A_i$ e $A_j$ distinte non condivide alcun elemento comune; (3) l’unione di set $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ è l’insieme di tutti gli enti; (4) per ogni set $A_i$, la differenza positiva di qualsiasi coppia di elementi in $A_i$ è almeno $a^i$.

Risposta: $0<a<2$ src_cn_cgmo_2005__Q04

Prove upper bound x^2+4y^2 ≤ 2/9 given positive reals satisfying constraint

Let $x,y$ be positive real numbers with $x^2+4y^2=x-y$. Prove that $x^2+4y^2\le \frac{2}{9}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove il limite superiore x^2+4y^2 ≤ 2/9 dato i risultati positivi che soddisfano la limitazione

$x,y$ siano numeri reali positivi con $x^2+4y^2=x-y$. Prove che $x^2+4y^2\le \frac{2}{9}$.

src_cn_cgmo_2005__Q05

Define good integer via lattice-point rational/irrational conditions; find minimum and test 2005

An integer $n$ is called a good number if $n\ge 3$ and there are $n$ lattice points $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ in the coordinate plane satisfying the following conditions. If line segment $P_i{P}_j$ has a rational (irrational) length, then $P_i$ is such that both line segments $P_i{P}_k$ and $P_i{P}_l$ have irrational lengths; and if line segment $P_i{P}_j$ has an irrational length, then there is $P_k$ such that both line segments $P_k{P}_i$ and $P_k{P}_j$ have rational lengths. (A point in the coordinate plane is a lattice point if both of its coordinates are integers.) (1) Determine the minimum good number. (2) Determine if 2005 is a good number.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Grafi, Conteggio, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: Minimum good number is 5; 2005 is a good number. Fonte: apri libro PDF

Definire un buon intero attraverso condizioni razionali/irrazionali del punto reticolo; trovare il minimo e eseguire la prova 2005

Un numero intero $n$ è chiamato un numero buono se $n\ge 3$ e ci sono $n$ punti reticolari $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ nel piano delle coordinate che soddisfano le seguenti condizioni. Se il segmento di linea $P_i{P}_j$ ha una lunghezza razionale (irrazionale), allora $P_i$ è tale che entrambi i segmenti di linea $P_i{P}_k$ e $P_i{P}_l$ abbiano lunghezze irrazionali; e se il segmento di linea $P_i{P}_j$ ha una lunghezza irrazionale, allora c’è $P_k$ tale che entrambi i segmenti di linea $P_k{P}_i$ e $P_k{P}_j$ abbiano lunghezze razionali. (Un punto del piano delle coordinate è un punto reticolare se entrambe le sue coordinate sono numeri interi.) (1) Determina il numero buono minimo. (2) Determinare se il 2005 è un buon numero.

Risposta: Minimum good number is 5; 2005 is a good number. src_cn_cgmo_2005__Q06

Prove sum of reciprocals ≤ (m+n)/m for an antichain subset of {1,…,m}

Let $m$ and $n$ be positive integers with $m\ge 2$. Set $S=\{1,2,\cdots ,m\}$ and $T=\{a_1,a_2,\cdots ,a_k\}$ is a subset of $S$ such that every number in $S$ is not divisible by any two distinct numbers in $T$. Prove that $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_k}\le \frac{m+n}{m}.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Induzione, Inclusione-esclusione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Summa provata di reciprocità ≤ (m+n)/m per un sottogruppo di anticetene di {1,…,m}

$m$ e $n$ siano integri positivi con $m\ge 2$. L’insieme $S=\{1,2,\cdots ,m\}$ e $T=\{a_1,a_2,\cdots ,a_k\}$ è un sottoinsieme di $S$ in modo tale che ogni numero di $S$ non sia divisibile da due numeri distinti di $T$. Provare che $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_k}\le \frac{m+n}{m}.$

src_cn_cgmo_2005__Q07

Find minimum side length of a square covering an a×b rectangle

Given an $a\times b$ rectangle with $a>b>0$, determine the minimum length of a square that covers the rectangle. (A square covers the rectangle if each point in the rectangle lies inside the square.)

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $\min \left\{a,\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)\right\}$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca la lunghezza laterale minima di un quadrato che copre un rettangolo a×b

Se si considera un rettangolo $a\times b$ con $a>b>0$, determinare la lunghezza minima di un quadrato che copre il rettangolo. (Un quadrato copre il rettangolo se ogni punto del rettangolo si trova all’interno del quadrato.)

Risposta: $\min \left\{a,\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)\right\}$ src_cn_cgmo_2005__Q08