China Girls' Mathematical Olympiad 2006

Prove f(x) is constant given functional equation

A function $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ satisfies the following conditions: (a) $f(a)=1$ for a positive real number $a$, (b) $f(x)f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right)f\left(\frac{a}{y}\right)=2f(xy)$ for any positive real numbers $x$, $y$. Prove that $f(x)$ is constant.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prova f(x) è costante data equazione funzionale

Una funzione $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ soddisfa le seguenti condizioni: a) $f(a)=1$ per un numero reale positivo $a$, b) $f(x)f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right)f\left(\frac{a}{y}\right)=2f(xy)$ per qualsiasi numero reale positivo $x$, $y$. Prove che $f(x)$ è costante.

src_cn_cgmo_2006__Q01

Midpoint of chord through two circumcircle intersections in convex quadrilateral

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. Let $O$ be the intersection of $AC$ and $BD$. Let $M$ and $N$ be the intersections of the circumcircle of $△OAD$ with the circumcircle of $△OBC$. Let $T$ and $S$ be the intersections of $MN$ with the circumcircle of $△OAB$ and $△OCD$ respectively. Prove that $M$ is the midpoint of $TS$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Punto medio dell’accordo attraverso due intersezioni di circoncircolo in quadrilaterali convexi

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex. Il $O$ è l’intersezione di $AC$ e $BD$. I $M$ e $N$ siano le intersezioni del circoncircolo di $△OAD$ con il circoncircolo di $△OBC$. Il $T$ e il $S$ sono le intersezioni di $MN$ con il circoncircolo di $△OAB$ e $△OCD$ rispettivamente. Prova che $M$ è il punto medio di $TS$.

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Infinitely many n with i of {n,n+2,n+28} expressible as sum of three cubes

Prove that for $i=1,2,3$, there exist infinitely many integers $n$ satisfying the following condition: we can find $i$ integers in $\{n,n+2,n+28\}$ that can be expressed as the sum of the cubes of three positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Infinitamente molti n con i di {n,n+2,n+28} espressibili come somma di tre cubi

Dimostra che per $i=1,2,3$, esistono infiniti numeri interi $n$ che soddisfano la seguente condizione: possiamo trovare $i$ numeri interi in $\{n,n+2,n+28\}$ che possono essere espressi come la somma dei cubi di tre numeri interi positivi.

src_cn_cgmo_2006__Q03

Eight persons party: find four mutual acquaintances or cyclic acquaintances

Eight persons join a party. (1) If there exist three persons who know each other in any group of five, prove that we can find four persons who know each other. (2) If there exist three persons in a group of six who know each other in a cyclical manner, can we find four persons who know each other in a cyclical manner?

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Festa di otto persone: trovare quattro conoscenti reciproci o conoscenti ciclici

Otto persone si uniscono a una festa. (1) Se ci sono tre persone che si conoscono in un gruppo di cinque, dimostri che possiamo trovare quattro persone che si conoscono. (2) Se ci sono tre persone in un gruppo di sei che si conoscono in modo ciclico, possiamo trovare quattro persone che si conoscono in modo ciclico?

src_cn_cgmo_2006__Q04

Find the minimum size of a finite set T of integer points such that for every point P in S there is a distinct point Q in T with segment PQ containing no other integer points.

Let $S=\{(a,b)\mid 1\le a,b\le 5,a,b\in Z\}$. Let $T$ be the set of integer points in the plane such that for any point $P$ in $S$, there exists a different point $Q$ in $T$ such that line segment $PQ$ does not contain integer points except $P$ and $Q$. Find the minimum value of $|T|$, where $|T|$ denotes the number of elements of the finite set $T$.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Ricerca la dimensione minima di un insieme finito di punti interi T in modo tale che per ogni punto P in S ci sia un punto Q distinto in T con segmento PQ che non contiene altri punti interi.

Let $S=\{(a,b)\mid 1\le a,b\le 5,a,b\in Z\}$. Il $T$ deve essere l’insieme di punti interi del piano in modo tale che per qualsiasi punto $P$ di $S$ esista un punto diverso $Q$ di $T$ in modo tale che il segmento di linea $PQ$ non contenga punti interi tranne $P$ e $Q$. Trova il valore minimo di $|T|$, dove $|T|$ indica il numero di elementi del set finito $T$.

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Nonneg reals summing to 1: prove inequality with square roots

For nonnegative real numbers $a$, $b$, $c$ with $a+b+c=1$, prove that $\sqrt{a+\frac{(b-c{)}^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Nonneg reals sommando a 1: dimostrare la disuguaglianza con radici quadrate

Per i numeri reali non negativi $a$, $b$, $c$ con $a+b+c=1$, dimostrare che $\sqrt{a+\frac{(b-c{)}^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3}.$

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Integer-coefficient cubic nearly vanishing at 2+sqrt(3); is it a root?

Let $a$, $b$, $c$ be integers each with absolute value less than or equal to $10$. The cubic polynomial $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ satisfies the property $|f(2+\sqrt{3})|<\mathrm{0.0001.}$ Determine if $2+\sqrt{3}$ is a root of $f$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Cubico a coefficiente intero quasi scomparso a 2+sqrt(3); è una radice?

I numeri $a$, $b$ e $c$ siano tutti integri con un valore assoluto inferiore o uguale a $10$. Il polinomio cubo $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ soddisfa la proprietà $|f(2+\sqrt{3})|<\mathrm{0.0001.}$ Determina se $2+\sqrt{3}$ è una radice di $f$.

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Round-robin chess tournament: minimum n for property P(m)

In a round robin chess tournament each player plays with every other player exactly once. The winner of each game gets $1$ point and the loser gets $0$ point. If the game ends in a tie, each player gets $\frac{1}{2}$ point. In a tournament is $m$ players, a tournament is said to have property $P(m)$ if the following holds: among every set $S$ of $m$ players, there is one player who won all his $m-1$ games against the other $m-1$ players in $S$.

For a given positive integer $m\ge 4$, determine the minimum value of $n$ (as a function of $m$) such that the following holds: in every $n$-player round robin chess tournament with property $P(m)$, the final scores of the $n$ players are all distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

*Torneo di scacchi a rotonda: minimo n per la proprietà P(m) *

In un torneo di scacchi round robin ogni giocatore gioca con ogni altro giocatore esattamente una volta. Il vincitore di ciascuna partita ottiene $1$ punti e il perdente $0$ punti. Se la partita termina in pareggio, ogni giocatore ottiene un punto $\frac{1}{2}$. In un torneo ci sono giocatori $m$, si dice che un torneo abbia proprietà $P(m)$ se si verifica quanto segue: tra ogni set $S$ di giocatori $m$, c’è un giocatore che ha vinto tutte le sue partite $m-1$ contro gli altri giocatori $m-1$ in $S$.

Per un dato numero intero positivo $m\ge 4$, determinare il valore minimo di $n$ (come funzione di $m$) in modo tale che si verifichi quanto segue: in ogni torneo di scacchi a round robin da giocatore $n$ con proprietà $P(m)$, i punteggi finali dei giocatori $n$ sono tutti distinti.

src_cn_cgmo_2006__Q08