China Girls' Mathematical Olympiad 2007

A positive integer m is good if m equals n divided by the number of divisors of n, for some positive integer n. Prove 1,…,17 are good and 18 is not.

A positive integer $m$ is called good, if there is a positive integer $n$ such that $m$ is the quotient of $n$ over the number of positive integer divisors of $n$ (including 1 and $n$ itself). Prove that $1,2,\cdots ,17$ are good numbers and that 18 is not a good number.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 is not a good number Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

*Un intero positivo m è buono se m è uguale a n diviso per il numero di divisori di n, per un intero positivo n. Prove 1,…,17 sono buone e 18 non è.

Un intero positivo $m$ è chiamato buono, se c’è un intero positivo $n$ tale che $m$ è il quotiente di $n$ sul numero di divisori interi positivi di $n$ (inclusi 1 e $n$ stesso). Provare che $1,2,\cdots ,17$ sono numeri buoni e che 18 non è un buon numero.

Risposta: 18 is not a good number src_cn_cgmo_2007__Q01

With D, E, F on the sides of acute triangle ABC and each of AD, BE, CF passing through the circumcenter, if any two of six side-segment ratios are integers, then ABC is isosceles.

Let $ABC$ be an acute triangle. Points $D$, $E$ and $F$ lie on segments $BC$, $CA$ and $AB$ respectively, and each of the three segments $AD$, $BE$ and $CF$ contains the circumcenter of $△ABC$. Prove that if any two of the ratios $\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA},\frac{AF}{FB},\frac{BF}{FA},\frac{CD}{DB},\frac{AE}{EC}$ are integers, then triangle $ABC$ is isosceles.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Risposta: ABC is isosceles Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Con D, E, F sui lati del triangolo acuto ABC e ciascuno di AD, BE, CF che passa attraverso il circondario, se due dei sei rapporti di segmento laterale sono interi, allora ABC è isosceles.

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo acuto. I punti $D$, $E$ e $F$ si trovano rispettivamente sui segmenti $BC$, $CA$ e $AB$, e ciascuno dei tre segmenti $AD$, $BE$ e $CF$ contiene il centro circondazionale di $△ABC$. Prova che se due dei rapporti $\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA},\frac{AF}{FB},\frac{BF}{FA},\frac{CD}{DB},\frac{AE}{EC}$ sono numeri interi, il triangolo $ABC$ è uguale.

Risposta: ABC is isosceles src_cn_cgmo_2007__Q02

Minimize cyclic sum over nonneg reals summing to 2

Let $n$ be an integer greater than 3, and let $a_1,a_2,\dots ,a_n$ be nonnegative real numbers with $a_1+a_2+\cdots +a_n=2$. Determine the minimum value of $\frac{a_1}{a_2^2+1}+\frac{a_2}{a_3^2+1}+\cdots +\frac{a_n}{a_1^2+1}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Induzione, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{3}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Minimizzare la somma ciclica su valori reali non negativi sommando a 2

Che $n$ sia un numero intero superiore a 3, e che $a_1,a_2,\dots ,a_n$ sia un numero reale non negativo con $a_1+a_2+\cdots +a_n=2$. Determinare il valore minimo di $\frac{a_1}{a_2^2+1}+\frac{a_2}{a_3^2+1}+\cdots +\frac{a_n}{a_1^2+1}.$

Risposta: \frac{3}{2} src_cn_cgmo_2007__Q03

Set with m symmetry axes: prove m ≤ n

The set $S$ consists of $n>2$ points in the plane. The set $P$ consists of $m$ lines in the plane such that every line in $P$ is an axis of symmetry of $S$. Prove that $m\le n$, and determine when equality holds.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Invarianti, Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Set con m assi di simmetria: prova m ≤ n

L’insieme $S$ è costituito da punti $n>2$ nel piano. L’insieme $P$ è costituito da linee $m$ nel piano in modo tale che ogni linea di $P$ sia un asse di simmetria di $S$. Prove che $m\le n$, e determina quando l’uguaglianza è valida.

src_cn_cgmo_2007__Q04

Prove DE perpendicular to EF in triangle with given angles

Point $D$ lies inside triangle $ABC$ such that $\angle DAC=\angle DCA=30^{\circ }$ and $\angle DBA=60^{\circ }$. Point $E$ is the midpoint of segment $BC$. Point $F$ lies on segment $AC$ with $AF=2FC$. Prove that $DE\perp EF$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove DE perpendicolare a EF in triangolo con angoli dati

Il punto $D$ si trova all’interno del triangolo $ABC$ in modo tale che $\angle DAC=\angle DCA=30^{\circ }$ e $\angle DBA=60^{\circ }$. Il punto $E$ è il punto medio del segmento $BC$. Il punto $F$ si trova sul segmento $AC$ con $AF=2FC$. Prove che $DE\perp EF$.

src_cn_cgmo_2007__Q05