China Girls' Mathematical Olympiad 2008

Divide sets into 3-element subsets with equal element sums

(1) Can one divide the set $\{1,2,\dots ,96\}$ into 32 subsets, each containing three elements, and the sums of the three elements in each subset are all equal?

(2) Can one divide the set $\{1,2,\dots ,99\}$ into 33 subsets, each containing three elements, and the sums of the three elements in each subset are all equal? (Posed by Liu Shixiong)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (1) No; (2) Yes Fonte: apri libro PDF

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Divisioni di set in sottoinsiemi di 3 elementi con somme di elementi uguali

(1) Si può suddividere l’insieme $\{1,2,\dots ,96\}$ in 32 sottoinsiemi, ciascuno contenente tre elementi, e la somma dei tre elementi di ciascun sottoinsieme è uguale?

(2) Si può suddividere l’insieme $\{1,2,\dots ,99\}$ in 33 sottoinsiemi, ognuno contenente tre elementi, e le somme dei tre elementi di ciascun sottoinsieme sono tutte uguali? (Posato da Liu Shixiong)

Risposta: (1) No; (2) Yes src_cn_cgmo_2008__Q01

Cubic with three positive roots: prove coefficient inequality

The real polynomial $\phi (x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ has three positive roots, and $\phi (0)<0$. Prove that $2b^3+9a^{2}d-7abc\le 0.$ (Posed by Zhu Huawei)

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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*Cubico con tre radici positive: prova la disuguaglianza dei coefficienti *

Il polinomio reale $\phi (x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ha tre radici positive e $\phi (0)<0$. Prove che $2b^3+9a^{2}d-7abc\le 0.$ (Posato da Zhu Huawei)

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Find smallest a>1 for triangle area ratios inside a square

Find the smallest constant $a>1$, such that for any point $P$ inside a square $ABCD$ there exist two triangles among $△PAB$, $△PBC$, $△PCD$, $△PDA$ with the ratio between their areas belonging to the interval $[a^{-1},a]$. (Posed by Li Weigu)

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ Fonte: apri libro PDF

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Ricerca il più piccolo a>1 per i rapporti di area triangolare all’interno di un quadrato

Trova la costante più piccola $a>1$, in modo che per qualsiasi punto $P$ all’interno di un quadrato $ABCD$ esistano due triangoli tra $△PAB$, $△PBC$, $△PCD$, $△PDA$ con il rapporto tra le loro aree appartenenti all’intervallo $[a^{-1},a]$. (Posato da Li Weigu)

Risposta: $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ src_cn_cgmo_2008__Q03

Equilateral triangles on convex quad sides; maximize ratio y/x

Outside a convex quadrilateral $ABCD$ we construct equilateral triangles $ABQ$, $BCR$, $CDS$ and $DAP$. Denoting by $x$ the sum of the diagonals of $ABCD$, and by $y$ the sum of line segments joining the midpoints of opposite sides of $PQRS$, we find the maximum value of $\frac{y}{x}$. (Posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Coordinate, Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ Fonte: apri libro PDF

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Triangoli equalaterali su lati quadrati convexi; massimizzazione del rapporto y/x

Al di fuori di un quadrilaterale converso $ABCD$ costruiamo triangoli equilaterali $ABQ$, $BCR$, $CDS$ e $DAP$. Indicando con $x$ la somma delle diagonali di $ABCD$, e con $y$ la somma dei segmenti di linea che uniscono i punti di mezzo dei lati opposti di $PQRS$, troviamo il valore massimo di $\frac{y}{x}$. (Posato da Xiong Bin)

Risposta: $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ src_cn_cgmo_2008__Q04

Kite quadrilateral with concyclic points and similar triangles; prove three points collinear

Suppose that the convex quadrilateral $ABCD$ satisfies $AB=BC$, $AD=DC$. $E$ is a point on $AB$, and $F$ on $AD$, such that $B$, $E$, $F$, $D$ are concyclic. Draw $△DPE$ directly similar to $△ADC$, and draw $△BQF$ directly similar to $△ABC$. Prove that $A$, $P$, $Q$ are collinear. (Posed by Pao Zhonghao)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Quadrilaterali di kit con punti conciclici e triangoli simili; dimostrare tre punti collineari

Supponiamo che il quadrilaterale convex $ABCD$ soddisfi $AB=BC$, $AD=DC$. $E$ è un punto su $AB$ e $F$ su $AD$, in modo che $B$, $E$, $F$, $D$ siano conciclici. Disegnare $△DPE$ direttamente simile a $△ADC$ e disegnare $△BQF$ direttamente simile a $△ABC$. Provare che $A$, $P$, $Q$ sono collineari. (Posato da Pao Zhonghao)

src_cn_cgmo_2008__Q05

Sequence of positive numbers with recurrence; find monotonicity threshold a

Suppose that the sequence of positive numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ satisfies $(8x_2-7x_1)x_1^7=8$ and $x_{k+1}{x}_{k-1}-x_k^2=\frac{x_{k-1}^8-x_k^8}{x_k^7{x}_{k-1}^7},k\ge 2.$ Find positive real number $a$ such that when $x_1>a$ one has $x_1>x_2>\cdots >x_n>\cdots$, and when $0<x_1<a$ one does not have such monotonicity. (Posed by Li Shenghong)

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $a=8^{1/8}$ Fonte: apri libro PDF

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Sequenza di numeri positivi con ricorrenza; trovare la soglia di monotonia a

Supponiamo che la sequenza dei numeri positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ soddisfi $(8x_2-7x_1)x_1^7=8$ e $x_{k+1}{x}_{k-1}-x_k^2=\frac{x_{k-1}^8-x_k^8}{x_k^7{x}_{k-1}^7},k\ge 2.$ Trova un numero reale positivo $a$ in modo tale che quando $x_1>a$ si ha $x_1>x_2>\cdots >x_n>\cdots$, e quando $0<x_1<a$ non si ha tale monotonia. (Posato da Li Shenghong)

Risposta: $a=8^{1/8}$ src_cn_cgmo_2008__Q06

Count harmonic 2008x2008 chessboards filled with four letters

For a chessboard of the size $2008\times 2008$, in each case (they all have different colors) write one of the letters $C$, $G$, $M$, $O$. If every $2\times 2$ square contains all these four letters, we call it a “harmonic chessboard.” How many different harmonic chessboards are there? (Posed by Zuming Feng)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $12\times 2^{2008}-24$ Fonte: apri libro PDF

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Conteggio armonico 2008x2008 scacchi pieni di quattro lettere

Per una scacchiera delle dimensioni $2008\times 2008$, in ogni caso (tutti hanno colori diversi) scrivere una delle lettere $C$, $G$, $M$, $O$. Se ogni quadrato $2\times 2$ contiene tutte queste quattro lettere, lo chiamiamo una scacchiera armonica. (Posato da Zuming Feng)

Risposta: $12\times 2^{2008}-24$ src_cn_cgmo_2008__Q07

Prove the sequence floor(2^nsqrt(2008))+floor(2^nsqrt(2009)) has infinitely many odd and even terms

For positive integer $n$, let $f_n=\lfloor 2^n\sqrt{2008}\rfloor +\lfloor 2^n\sqrt{2009}\rfloor$. Prove that there are infinitely many odd numbers and even numbers in the sequence $f_1,f_2,\dots$ ($\lfloor x\rfloor$ represents the biggest integer that does not exceed $x$.) (Posed by Zuming Feng)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Prove the sequence floor(2^nsqrt(2008))+floor(2^nsqrt(2009)) ha infiniti termini odd e even

Per un intero positivo $n$, $f_n=\lfloor 2^n\sqrt{2008}\rfloor +\lfloor 2^n\sqrt{2009}\rfloor$. Prove che ci sono infiniti numeri odd e numeri pari nella sequenza $f_1,f_2,\dots$ ($\lfloor x\rfloor$ rappresenta il più grande numero intero che non supera $x$.) (Posato da Zuming Feng)

src_cn_cgmo_2008__Q08