China Girls' Mathematical Olympiad 2009

Finitely many positive integer triples satisfying abc=2009(a+b+c).

Show that there are only finitely many triples $(a,b,c)$ of positive integers satisfying the equation $abc=2009(a+b+c)$. (Posed by Ieng Tak Leong)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Fine molti tripli numeri interi positivi che soddisfano abc=2009(a+b+c).

Mostrare che ci sono solo infinitamente molti triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi che soddisfano l’equazione $abc=2009(a+b+c)$. (Posato da Ieng Tak Leong)

src_cn_cgmo_2009__Q01

Right triangle inscribed in circle, point E on arc, point F on ray EC, BF meets circle at D, circumcenter O of DEF; prove A,C,O collinear.

A right triangle $ABC$, with $\angle BAC=90^{\circ }$, is inscribed in the circle $\Gamma$. The point $E$ lies in the interior of the arc $\text{overarc}BC$ (not containing $A$), with $EA>EC$. The point $F$ lies on the ray $EC$ with $\angle EAC=\angle CAF$. The segment $BF$ meets $\Gamma$ again at $D$ (other than $B$). Let $O$ denote the circumcenter of the triangle $DEF$. Prove that the points $A$, $C$, $O$ are collinear. (Posed by Bian Hongping)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Triangolo retto inciso in cerchio, punto E in arco, punto F nel raggio EC, BF incontra il cerchio a D, circondamento O del centro di DEF; dimostrare A,C,O collineare.

Un triangolo rettangolo $ABC$, con $\angle BAC=90^{\circ }$, è inserito nel cerchio $\Gamma$. Il punto $E$ si trova all’interno dell’arco $\text{overarc}BC$ (non contenente $A$), con $EA>EC$. Il punto $F$ si trova sul raggio $EC$ con $\angle EAC=\angle CAF$. Il segmento $BF$ incontra di nuovo $\Gamma$ a $D$ (diverso da $B$). $O$ indichi il centro circondario del triangolo $DEF$. Provare che i punti $A$, $C$, $O$ sono collineari. (Possibile da Bian Hongping)

src_cn_cgmo_2009__Q02

Given n points on the coordinate axes with integer coordinates bounded by n, minimize the cyclic sum of squared distances between consecutive points.

Let $n$ be a given positive integer. In the coordinate plane, consider the set of the points $\{P_0,P_1,\dots ,P_n\}=\{(x,y)\mid x\text{ and }y\text{ are integers with }xy=0,|x|\le n,|y|\le n\}.$ Determine the minimum value of $(P_0{P}_1{)}^2+(P_1{P}_2{)}^2+\cdots +(P_{n-1}{P}_n{)}^2+(P_n{P}_0{)}^2.$ (Posed by Wang Xinmiao)

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Coordinate, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

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Dati n punti sugli assi di coordinate con coordinate interi dilimitate da n, ridurre al minimo la somma ciclica delle distanze quadrate tra punti consecutivi.

$n$ sia un dato intero positivo. Nel piano delle coordinate, considera l’insieme dei punti $\{P_0,P_1,\dots ,P_n\}=\{(x,y)\mid x\text{ and }y\text{ are integers with }xy=0,|x|\le n,|y|\le n\}.$ Determina il valore minimo di $(P_0{P}_1{)}^2+(P_1{P}_2{)}^2+\cdots +(P_{n-1}{P}_n{)}^2+(P_n{P}_0{)}^2.$ (Posizionato da Wang Xinmiao)

src_cn_cgmo_2009__Q03

Chess pieces on n points connected by segments; moves to neighbors without swaps; find minimum number of segments in a harmonic set.

Let $n$ be an integer greater than 3. Points $V_1,V_2,\dots ,V_n$, with no three collinear, lie on the plane. Some of the segments $V_i{V}_j$, with $1\le i<j\le n$, are constructed. The points $V_i$ and $V_j$ are neighbors if $V_i{V}_j$ is constructed. Initially, the chess pieces $C_1,C_2,\dots ,C_n$ are placed at the points $V_1,V_2,\dots ,V_n$ (not necessarily in that order), with exactly one piece at each point. In a move, one can choose some of the chess pieces and simultaneously relocate each of them to one of its neighboring positions such that after the move, exactly one chess piece is at each point and no two chess pieces have exchanged their positions. A set of constructed segments is called harmonic if for any initial positions of the chess pieces each chess piece $C_i$ $(1\le i\le n)$ is at the point $V_i$ after a finite number of moves. Determine the minimum number of segments in a harmonic set. (Posed by Fu Yunhao)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: The answer is $n-1$. Fonte: apri libro PDF

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Piani d’ scacchi su n punti collegati da segmenti; si muove verso vicini senza scambi; trova il numero minimo di segmenti in un insieme armonico.

$n$ sia un numero intero superiore a 3. I punti $V_1,V_2,\dots ,V_n$, senza tre collineari, si trovano sul piano. Alcuni segmenti $V_i{V}_j$ con $1\le i<j\le n$ sono costruiti. I punti $V_i$ e $V_j$ sono vicini se $V_i{V}_j$ è costruito. Inizialmente, i pezzi d’ scacchi $C_1,C_2,\dots ,C_n$ sono posizionati nei punti $V_1,V_2,\dots ,V_n$ (non necessariamente in tale ordine), con esattamente un pezzo ad ogni punto. In una mossa, si possono scegliere alcuni dei pezzi di scacchi e trasferire simultaneamente ciascuno di essi in una delle sue posizioni vicine in modo tale che dopo la mossa, esattamente un pezzo di scacchi è in ogni punto e nessuna due pezzi di scacchi hanno scambiato le loro posizioni. Un insieme di segmenti costruiti è chiamato armonico se per qualsiasi posizione iniziale dei pezzi d’ scacchi ogni pezzo d’ scacchi $C_i$ $(1\le i\le n)$ si trova al punto $V_i$ dopo un numero finito di mosse. Determinare il numero minimo di segmenti in un insieme armonico. (Posato da Fu Yunhao)

Risposta: The answer is $n-1$. src_cn_cgmo_2009__Q04

Prove a triple-product inequality for real numbers x,y,z >= 1.

Let $x$, $y$, $z$ be real numbers greater than or equal to $1$. Prove that $(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)(z^2-2z+2)\le (xyz{)}^2-2xyz+2.$ (Posed by Xiong Bin)

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Prove una disuguaglianza del prodotto triplo per i numeri reali x,y,z >= 1.

I numeri $x$, $y$, $z$ siano numeri reali superiori o uguali a $1$. Prove che $(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)(z^2-2z+2)\le (xyz{)}^2-2xyz+2.$ (Posato da Xiong Bin)

src_cn_cgmo_2009__Q05

Circle internally tangent to another, chord tangent at C, midpoint M of arc, foot N of perpendicular; prove ACCB = 2rMN.

The circle ${\Gamma }_1$, with radius $r_1$, is internally tangent to the circle ${\Gamma }_2$ at $S$. The chord $AB$ of ${\Gamma }_2$ is tangent to ${\Gamma }_1$ at $C$. Let $M$ be the midpoint of the arc $\text{overarc}AB$ (not containing $S$), and let $N$ be the foot of the perpendicular from $M$ to the line $AB$. Prove that $AC\cdot CB=2r_1\cdot MN$. (Posed by Ye Zhonghao)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Circolo interamente tangente ad un altro, tangente di corda a C, punto medio M di arco, piede N di perpendicolare; prova ACCB = 2rMN.

Il cerchio ${\Gamma }_1$, con raggio $r_1$, è tangente internamente al cerchio ${\Gamma }_2$ a $S$. L’accordo $AB$ di ${\Gamma }_2$ è tangente a ${\Gamma }_1$ a $C$. Il $M$ deve essere il punto medio dell’arco $\text{overarc}AB$ (non contenente $S$), e il $N$ deve essere il piede della perpendicolare da $M$ alla linea $AB$. Prove che $AC\cdot CB=2r_1\cdot MN$. (Posato da Ye Zhonghao)

src_cn_cgmo_2009__Q06

Region of 4n squares on a 10x10 board tileable by n 1x4 pieces and by n 2x2 pieces; minimize n for tiling by given combination.

On a $10\times 10$ chessboard, some $4n$ unit square fields are chosen to form a region $R$. This region $R$ can be tiled by $n$ $1\times 4$ pieces and also by $n$ $2\times 2$ pieces. If $R$ can also be tiled by a combination of $n$ pieces of the following types of shapes (with rotations allowed), determine the minimum value of $n$. (Posed by Zhu Huawei)

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: The answer is $n=4$. Fonte: apri libro PDF

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Regione di 4n quadrati su una tavola da 10x10 a piastrellare da n pezzi da 1x4 e da n pezzi da 2x2; minimizzare n per la piastrellare da una data combinazione.

Su una scacchiera $10\times 10$, alcuni campi quadrati unitari $4n$ vengono scelti per formare una regione $R$. Questa regione $R$ può essere contrassegnata da $n$ $1\times 4$ pezzi e anche da $n$ $2\times 2$ pezzi. Se $R$ può essere incollato anche con una combinazione di pezzi $n$ dei seguenti tipi di forme (con rotazioni consentite), determinare il valore minimo di $n$. (Posato da Zhu Huawei)

Risposta: The answer is $n=4$. src_cn_cgmo_2009__Q07

Sequence a_n = nsqrt5 - floor(nsqrt5); compute max and min over a_1..a_2009.

For positive integer $n$, $a_n=n\sqrt{5}-\lfloor n\sqrt{5}\rfloor$. Compute the maximum value and the minimum value of $a_1,a_2,\dots ,a_{2009}$. (For real number $x$, $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.) (Posed by Wang Zhixiong)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $a_{1292}$ attains the maximum and $a_{1597}$ the minimum. Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Sequenza a_n = nsqrt5 - piano(nsqrt5); calcolo max e min su a_1..a_2009.

Per un intero positivo $n$, $a_n=n\sqrt{5}-\lfloor n\sqrt{5}\rfloor$. Calcolare il valore massimo e il valore minimo di $a_1,a_2,\dots ,a_{2009}$. (Per il numero reale $x$, $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.) (Posizionato da Wang Zhixiong)

Risposta: $a_{1292}$ attains the maximum and $a_{1597}$ the minimum. src_cn_cgmo_2009__Q08