China Girls' Mathematical Olympiad 2010

Maximum value of sum of intersection ratios over cyclic subsets

Let $n$ be an integer greater than two, and let $A_1,A_2,\dots ,A_{2n}$ be pairwise distinct nonempty subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$. Determine the maximum value of ${\sum }_{i=1}^{2n}\frac{|A_i\cap A_{i+1}|}{|A_i|\cdot |A_{i+1}|}$. (Here, we set $A_{2n+1}=A_1$. For a set $X$, let $|X|$ denote the number of elements in $X$.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: n Fonte: apri libro PDF

Valuta massima della somma dei rapporti di intersezione su sottoinsiemi ciclici

Che $n$ sia un numero intero superiore a due, e che $A_1,A_2,\dots ,A_{2n}$ sia in coppia un sottoinsieme non vuoto di $\{1,2,\dots ,n\}$. Determinare il valore massimo di ${\sum }_{i=1}^{2n}\frac{|A_i\cap A_{i+1}|}{|A_i|\cdot |A_{i+1}|}$. (Qui, abbiamo impostato $A_{2n+1}=A_1$. Per un insieme $X$, $|X|$ indica il numero di elementi in $X$.)

Risposta: n src_cn_cgmo_2010__Q01

Prove ED ≥ FD in isosceles triangle with circumcircle configuration

In triangle $ABC$, $AB=AC$. Point $D$ is the midpoint of side $BC$. Point $E$ lies outside the circle $ABC$ such that $CE\perp AB$ and $BE=BD$. Let $M$ be the midpoint of segment $BE$. Point $F$ lies on the minor arc $AB$ of the circumcircle of triangle $ABD$ such that $MF\perp BE$. Prove that $ED\ge FD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove ED ≥ FD in triangolo a pari stella con configurazione di circoncircolo

In triangolo $ABC$, $AB=AC$. Il punto $D$ è il punto medio del lato $BC$. Il punto $E$ si trova al di fuori del cerchio $ABC$ in modo tale che $CE\perp AB$ e $BE=BD$. Il segmento $BE$ deve essere il punto medio del segmento $M$. Il punto $F$ si trova sull’arco minore $AB$ del circoncircolo del triangolo $ABD$ in modo tale che $MF\perp BE$. Prove che $ED\ge FD$.

src_cn_cgmo_2010__Q02

Existence of prime and integer satisfying three modular conditions

Prove that for every given positive integer $n$, there exist a prime $p$ and an integer $m$ such that (a) $p\equiv 5(\mathrm{mod}6)$; (b) $p\nmid n$; (c) $n\equiv m^2(\mathrm{mod}p)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Esistenza di numeri primi e interi che soddisfano tre condizioni modulari

Prove che per ogni dato numero intero positivo $n$ esiste un primo $p$ e un intero $m$ tale che (a) $p\equiv 5(\mathrm{mod}6)$; (b) $p\nmid n$; (c) $n\equiv m^2(\mathrm{mod}p)$.

src_cn_cgmo_2010__Q03

Prove weighted inequality for real numbers on unit sphere

Let $x_1,x_2,\dots ,x_n$ (where $n\ge 2$) be real numbers with $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$. Prove that ${\sum }_{k=1}^n{\left(1-\frac{k}{{\sum }_{i=1}^{n}i{x}_i^2}\right)}^2\cdot \frac{x_k^2}{k}\le {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^2{\sum }_{k=1}^n\frac{x_k^2}{k}.$ Determine when the equality holds.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la disuguaglianza ponderata dei numeri reali su sfera unità

$x_1,x_2,\dots ,x_n$ (dove $n\ge 2$) siano numeri reali con $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$. Provare che ${\sum }_{k=1}^n{\left(1-\frac{k}{{\sum }_{i=1}^{n}i{x}_i^2}\right)}^2\cdot \frac{x_k^2}{k}\le {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^2{\sum }_{k=1}^n\frac{x_k^2}{k}.$ determina quando la parità è valida.

src_cn_cgmo_2010__Q04

Isosceles acute triangle, exterior bisector, perpendiculars, prove BC = PF + AK

In acute triangle $ABC$ with $AB=AC$, let $M$ be the midpoint of side $BC$. The exterior angle bisector of $\angle BAC$ meets ray $BC$ at $P$. Points $K$ and $F$ lie on line $PA$ such that $MF\perp BC$ and $MK\perp PA$. Prove that $BC=PF+AK$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Isoceles triangolo acuto, bisector esterno, perpendicolari, provare BC = PF + AK

Nel triangolo acuto $ABC$ con $AB=AC$, $M$ deve essere il punto medio del lato $BC$. Il bisettore di angolo esterno di $\angle BAC$ incontra il raggio $BC$ a $P$. I punti $K$ e $F$ si trovano sulla riga $PA$ in modo tale che $MF\perp BC$ e $MK\perp PA$. Prove che $BC=PF+AK$.

src_cn_cgmo_2010__Q05

Maximum size of a set of permutations with no triple all-between property

Let $n$ be an integer greater than or equal to 1. For a permutation $p=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ of $(1,2,\dots ,n)$, we say that $j$ lies between $i$ and $k$ if $i<j<k$ or $k<j<i$. (For example, in the permutation $(1,3,2,4)$, $3$ lies between $1$ and $4$, and $3$ does not lie between $1$ and $2$.) Let $S=\{p^{(1)},p^{(2)},\dots ,p^{(m)}\}$ be a set of $m$ distinct permutations of $(1,2,\dots ,n)$ such that among every three distinct numbers in $\{1,2,\dots ,n\}$, one of these numbers does not lie between the other two in every permutation $p\in S$. Determine the maximum value of $m$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2^{n-1}$ Fonte: apri libro PDF

Massima dimensione di un insieme di permutazioni senza proprietà triple all-between

$n$ sia un numero intero superiore o uguale a 1. Per una permutazione $p=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ di $(1,2,\dots ,n)$, diciamo che $j$ si trova tra $i$ e $k$ se $i<j<k$ o $k<j<i$. (Per esempio, nella permutation $(1,3,2,4)$, $3$ si trova tra $1$ e $4$, e $3$ non si trova tra $1$ e $2$.) Sia $S=\{p^{(1)},p^{(2)},\dots ,p^{(m)}\}$ un insieme di $m$ permutations distinte di $(1,2,\dots ,n)$ in modo tale che tra ogni tre numeri distinti in $\{1,2,\dots ,n\}$, uno di questi numeri non si trovi tra gli altri due in ogni permutation $p\in S$. Determinare il valore massimo di $m$.

Risposta: $2^{n-1}$ src_cn_cgmo_2010__Q06

Least odd n > 5 expressible as m^2 + k^2 + (k+1)^2 in two ways with distinct terms

Determine the least odd number $n>5$ satisfying the following conditions: there are positive integers $m_1,n_1,m_2,n_2$ such that $n=m_1^2+n_1^2+(n_1+1{)}^2=m_2^2+n_2^2+(n_2+1{)}^2$ and $m_1,n_1,m_2,n_2$ are all different from each other.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 261 Fonte: apri libro PDF

Meno dispari n > 5 espressibili come m^2 + k^2 + (k+1)^2 in due modi con termini distinti

Determinare il numero minimo odd $n>5$ che soddisfa le seguenti condizioni: ci sono interi positivi $m_1,n_1,m_2,n_2$ in modo che $n=m_1^2+n_1^2+(n_1+1{)}^2=m_2^2+n_2^2+(n_2+1{)}^2$ e $m_1,n_1,m_2,n_2$ siano tutti diversi tra loro.

Risposta: 261 src_cn_cgmo_2010__Q07