China Girls' Mathematical Olympiad 2011

Find all positive integers z so that 1/x + 1/y = 1/z has exactly 2011 solutions

Find all positive integers $z$ such that the equation $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ has exactly $2011$ positive integer solutions $(x,y)$ with $x\le y$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $z=p^{4021}$ for any prime $p$ Fonte: apri libro PDF

Trova tutti gli integri positivi z in modo che 1/x + 1/y = 1/z abbia esattamente le soluzioni 2011

Trovare tutti gli integri positivi $z$ in modo che l’equazione $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ abbia esattamente $2011$ soluzioni di integri positivi $(x,y)$ con $x\le y$.

Risposta: $z=p^{4021}$ for any prime $p$ src_cn_cgmo_2011__Q01

Quadrilateral with diagonal intersection and perpendicular bisectors, prove FP = FQ

As shown in Fig. 2.1, the diagonals $AC$, $BD$ of quadrilateral $ABCD$ intersect at point $E$, the midperpendiculars of $AB$ and $CD$ intersect at point $F$, and line $EF$ intersects with $BC$ and $AD$ at points $P$ and $Q$ respectively. Prove that $FP=FQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Quadrilaterale con intersezione diagonale e bisettieri perpendicolari, prova FP = FQ

Come mostrato nella figura. 2.1, le diagonali $AC$, $BD$ del quadrilaterale $ABCD$ si intersecano al punto $E$, le perpendicolari medie di $AB$ e $CD$ si intersecano al punto $F$, e la linea $EF$ si interseca con $BC$ e $AD$ rispettivamente ai punti $P$ e $Q$. Prove che $FP=FQ$.

src_cn_cgmo_2011__Q02

Inequality with four positive reals whose product is 1

Suppose real positive numbers $a$, $b$, $c$, $d$ satisfy $abcd=1$. Prove $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\ge \frac{25}{4}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Inequità con quattro valori reali positivi il cui prodotto è 1

Supponiamo che i numeri positivi reali $a$, $b$, $c$, $d$ soddisfino $abcd=1$. Prova $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\ge \frac{25}{4}.$

src_cn_cgmo_2011__Q03

Find all n for round-robin tournament circle arrangement

$n$ ($n\ge 3$) table tennis players have a round-robin tournament — each player will play all the others exactly once, and there is no draw game. Suppose, after the tournament, all the players can be arranged in a circle such that: for any three players $A$, $B$, $C$ if $A$, $B$ are adjacent, then at least one of them defeated $C$. Please find all possible values of $n$. (posed by Fu Yunhao)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: all odd $n\ge 3$ Fonte: apri libro PDF

*Ricerca tutte le n per l’organizzazione del cerchio del torneo a rotonda *

$n$ ($n\ge 3$) i giocatori di tennis da tavolo hanno un torneo di round-robin ogni giocatore giocherà tutti gli altri esattamente una volta, e non vi è alcun gioco di pareggio. Supponiamo che, dopo il torneo, tutti i giocatori possano essere organizzati in un cerchio in modo tale che: per tutti e tre i giocatori $A$, $B$, $C$ se $A$, $B$ sono adiacenti, allora almeno uno di loro ha sconfitto $C$. Si prega di trovare tutti i possibili valori di $n$. (posta da Fu Yunhao)

Risposta: all odd $n\ge 3$ src_cn_cgmo_2011__Q04

Find minimum lambda for complex number inequality with parameter s

Given a real number $s$, please find the minimum real number $\lambda =\lambda (s)$, such that for any complex numbers $z_1$, $z_2$, $z$, if $|z_1|\le s|z-z_1|$, then $|z_1-z_2|\le \lambda |z-z_2|$. (posed by Li Shenghong)

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $\lambda (s)=\max (s,1)$ Fonte: apri libro PDF

Ricerca il lambda minimo per la disuguaglianza dei numeri complessi con il parametro s

Data una cifra reale $s$, si prega di trovare la cifra reale minima $\lambda =\lambda (s)$, in modo che per qualsiasi numero complesso $z_1$, $z_2$, $z$, se $|z_1|\le s|z-z_1|$, allora $|z_1-z_2|\le \lambda |z-z_2|$. (Posizionato da Li Shenghong)

Risposta: $\lambda (s)=\max (s,1)$ src_cn_cgmo_2011__Q05

Existence of positive integers m,n making m^n+1 a perfect square

Are there any positive integers $m$, $n$ such that $m^n+1$ is a perfect square? Prove your conclusion. (posed by Yuan Hanhua)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Esistenza di integri positivi m,n che rendono m^n+1 un quadrato perfetto

Esistono numeri interi positivi $m$, $n$ in modo che $m^n+1$ sia un quadrato perfetto? Prova la tua conclusione. (Posizionato da Yuan Hanhua)

src_cn_cgmo_2011__Q06

Prove balls-in-boxes operations always yield one ball per box

Suppose $n$ small balls have been placed into $n$ numbered boxes $B_1,B_2,\dots ,B_n$. Each time we can select a box $B_k$, and do the following operations: (1) If $k=1$ and there is at least one ball in $B_1$, move one ball from $B_1$ into $B_2$. (2) If $k=n$ and there is at least one ball in $B_n$, move one ball from $B_n$ into $B_{n-1}$. (3) If $2\le k\le n-1$ and there are at least two balls in $B_k$, move one ball from $B_k$ into $B_{k-1}$, and one ball into $B_{k+1}$. Prove the following: no matter how the balls are distributed among the boxes originally, it is always realizable to let each box contain exactly one ball by finite operations. (posed by Wang Xinmao)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione, Ricorsione Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Prove che le operazioni di palle in scatole producono sempre una palla per scatole

Supponiamo che le piccole palle $n$ siano state inserite nelle scatole $n$ numerate $B_1,B_2,\dots ,B_n$. Ogni volta possiamo selezionare una casella $B_k$ e eseguire le seguenti operazioni: (1) Se $k=1$ e c’è almeno una palla in $B_1$, spostare una palla da $B_1$ a $B_2$. (2) Se $k=n$ e c’è almeno una palla in $B_n$, spostare una palla da $B_n$ a $B_{n-1}$. (3) Se $2\le k\le n-1$ e ci sono almeno due palle in $B_k$, spostare una palla da $B_k$ a $B_{k-1}$ e una palla a $B_{k+1}$. Prova quanto segue: non importa come le palle siano distribuite tra le scatole originariamente, è sempre possibile lasciare che ciascuna scatola contenga esattamente una palla con operazioni finite. (Posizionato da Wang Xinmao)

src_cn_cgmo_2011__Q07

Prove MN bisects FG in triangle with excircle and incircle configuration

As shown in Fig. 8.1, $\odot O$ is the escribed circle touching side $BC$ of $△ABC$ at point $M$, and points $D$, $E$ are on the segments $AB$, $AC$, respectively, satisfying $DE\parallel BC$; $\odot O_1$ is the inscribed circle of $△ADE$ tangent to side $DE$ at point $N$; $O_{1}B$, $DO$ intersect at point $F$, and $O_{1}C$, $DO$ intersect at point $G$. Please prove that $MN$ divides segment $FG$ equally. (posed by Bian Hongping)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove MN bisecta FG in triangolo con configurazione eccircolare e incircolare

Come mostrato nella figura. 8.1, $\odot O$ è il lato di contatto del cerchio inciso $BC$ di $△ABC$ al punto $M$, e i punti $D$, $E$ sono sui segmenti $AB$ e $AC$, rispettivamente, soddisfacendo $DE\parallel BC$; $\odot O_1$ è il cerchio inciso di $△ADE$ tangente al lato $DE$ al punto $N$; $O_{1}B$, $DO$ si intersecano al punto $F$, e $O_{1}C$, $DO$ si intersecano al punto $G$. Provare che $MN$ divide ugualmente il segmento $FG$. (Posizionato da Bian Hongping)

src_cn_cgmo_2011__Q08