China Girls' Mathematical Olympiad 2012

Prove a telescoping inequality for non-negative reals

Let $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ be $n$ non-negative real numbers. Prove that $\frac{1}{1+a_1}+\frac{a_1}{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\frac{a_1{a}_2\cdots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}\le 1.$ (posed by Ai Yinghua)

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Rimostra una disuguaglianza telescopica per reali non negativi

$a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ siano $n$ numeri reali non negativi. Prove che $\frac{1}{1+a_1}+\frac{a_1}{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\frac{a_1{a}_2\cdots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}\le 1.$ (posato da Ai Yinghua)

src_cn_cgmo_2012__Q01

Prove ratio and angle equalities for two externally tangent circles

As shown in the figure, circles ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ are tangent externally at point $T$. Points $A$ and $E$ are on circle ${\Gamma }_1$, lines $AB$ and $DE$ are tangent to circle ${\Gamma }_2$ at points $B$ and $D$, respectively. Lines $AE$ and $BD$ meet at point $P$. Prove that (1) $\frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$; (2) $\angle ATP+\angle ETP=180^{\circ }$. (posed by Xiong Bin)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove le equazioni di angolo e di rapporto per due cerchi tangenti esternamente

Come mostrato nella figura, i cerchi ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ sono tangenti esternamente al punto $T$. I punti $A$ e $E$ sono sul cerchio ${\Gamma }_1$, le linee $AB$ e $DE$ sono tangenti al cerchio ${\Gamma }_2$ rispettivamente sui punti $B$ e $D$. Le linee $AE$ e $BD$ si incontrano al punto $P$. Provare che (1) $\frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$; (2) $\angle ATP+\angle ETP=180^{\circ }$. (Posizionato da Xiong Bin)

src_cn_cgmo_2012__Q02

Find all integer pairs (a,b) with common divisor condition

Find all the pairs of integers $(a,b)$ satisfying the following condition: there exists an integer $d\ge 2$ such that $a^n+b^n+1$ is divisible by $d$ for any positive integer $n$. (posed by Chen Yonggao)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi (a,b) con condizione di divisore comune

Trova tutte le coppie di integri $(a,b)$ che soddisfano la seguente condizione: esiste un intero $d\ge 2$ tale che $a^n+b^n+1$ sia divisibile da $d$ per qualsiasi intero positivo $n$. (Possibile da Chen Yonggao)

src_cn_cgmo_2012__Q03

Inscribed circle tangent to sides; prove angle equality

As shown in Fig. 5-1, the inscribed circle $O$ of $△ABC$ is tangent to the sides $AB$ and $AC$ at points $D$ and $E$, respectively. And $O$ is the circumcenter of $△BCE$. Prove that $\angle ODB=\angle OEC$. (posed by Zhu Huawei)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circolo inciso tangente ai lati; prova uguaglianza angolare

Come mostrato nella figura. 5-1, il cerchio inscritto $O$ di $△ABC$ è tangente ai lati $AB$ e $AC$ rispettivamente ai punti $D$ e $E$. E $O$ è il centro circundante di $△BCE$. Prove che $\angle ODB=\angle OEC$. (postato da Zhu Huawei)

src_cn_cgmo_2012__Q05

Max cities n with two airlines forcing use of both

There are $n$ cities ($n\ge 2$) and two airline companies in a country. Between any two cities, there is exactly one 2-way flight connecting them which is operated by one of the two companies. A female mathematician plans a travel route, so that it starts and ends at the same city, passes through at least two other cities, and each city on the route is visited once. She finds out that wherever she starts and whatever route she chooses, she must take flights of both companies. Find the maximum value of $n$. (posed by Liang Yingde)

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Colorazione, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri libro PDF

Maximi città n con due compagnie aeree che forzano l’utilizzo di entrambe

Ci sono città ($n\ge 2$) e due compagnie aeree in un paese. Tra due città, esiste esattamente un volo a due vie che li collega e che è gestito da una delle due compagnie. Una matematica femminile pianifica un percorso di viaggio, in modo che inizia e finisca nella stessa città, attraversa almeno altre due città e ogni città del percorso viene visitata una volta. Scopre che, ovunque inizi e qualunque sia la rotta che sceglie, deve prendere voli di entrambe le compagnie. Trova il valore massimo di $n$. (Posizionato da Liang Yingde)

Risposta: 4 src_cn_cgmo_2012__Q06

Count k in {0,…,2012} with C(2012,k) divisible by 2012

Find the number of integers $k$ in the set $\{0,1,2,\dots ,2012\}$ such that the combination number $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2012}{k}\right)$ is a multiple of $2012$. (posed by Wang Bin)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1498 Fonte: apri libro PDF

Conta k in {0,…2012} con C(2012,k) divisibile per 2012

Trova il numero di integri $k$ nell’insieme $\{0,1,2,\dots ,2012\}$ in modo tale che il numero di combinazione $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2012}{k}\right)$ sia un multiple di $2012$. (Posizionato da Wang Bin)

Risposta: 1498 src_cn_cgmo_2012__Q08