China Girls' Mathematical Olympiad 2013

Trapezoid with two inscribed circles, prove three lines concurrent

As shown in Fig. 2.1, in a trapezoid $ABCD$, $AB\parallel CD$, $\odot O_1$ is tangent to the segments $DA$, $AB$, $BC$, $\odot O_2$ is tangent to the segments $BC$, $CD$, $DA$. Let $P$ be the tangent point of $\odot O_1$ with $AB$, and $Q$ be the tangent point of $\odot O_2$ with $CD$. Prove that $AC$, $BD$, $PQ$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Trapezoide con due cerchi incisi, dimostrare tre linee simultanee

Come mostrato nella figura. 2.1, in un trapezoide $ABCD$, $AB\parallel CD$, $\odot O_1$ è tangente ai segmenti $DA$, $AB$, $BC$, $\odot O_2$ è tangente ai segmenti $BC$, $CD$, $DA$. Il $P$ è il punto tangente di $\odot O_1$ con $AB$ e $Q$ è il punto tangente di $\odot O_2$ con $CD$. Provare che $AC$, $BD$, $PQ$ sono simultanei.

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In a bipartite-like group, bound boy-girl acquaintance pairs

In a group of $n$ girls and $n$ boys, any two of them know each other, or do not know each other. For any two boys and two girls, at least one boy and one girl do not know each other. Prove that the number of boy-girl pairs that know each other is at most $\frac{n(n-1)}{2}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

In un gruppo bipartito, coppie di conoscenze tra ragazzi e ragazze legate

In un gruppo di ragazze $n$ e di ragazzi $n$, entrambi si conoscono o non si conoscono. Per ogni due ragazzi e due ragazze, almeno un ragazzo e una ragazza non si conoscono. Prova che il numero di coppie di ragazzi e ragazze che si conoscono è massimo $\frac{n(n-1)}{2}$.

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Count cubic polynomials whose values mod 2013 are all distinct

Find the number of polynomials $f(x)=a{x}^3+bx$ that satisfy the following conditions:

(1) $a,b\in \{1,2,\dots ,2013\}$;

(2) the difference of any two numbers among $f(1),f(2),\dots ,f(2013)$ is not a multiple of $2013$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Conta polinomi cubici i cui valori mod 2013 sono tutti distinti

Trova il numero di polinomi $f(x)=a{x}^3+bx$ che soddisfano le seguenti condizioni:

(1) $a,b\in \{1,2,\dots ,2013\}$;

(2) la differenza di due numeri tra $f(1),f(2),\dots ,f(2013)$ non è un multiple di $2013$.

src_cn_cgmo_2013__Q04

Prove existence of x_i minimizing weighted harmonic-type sum

Given positive real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$. Prove that there exist positive real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ such that $\sum _{k=1}^n{x}_k=1$ and that for any positive real numbers $y_1,y_2,\dots ,y_n$ satisfying $\sum _{k=1}^n{y}_k=1$, one has ${\sum }_{k=1}^n\frac{a_k}{x_k}\le {\sum }_{k=1}^n\frac{a_k}{y_k}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove l’esistenza di x_i riducendo al minimo la somma di tipo armonico ponderato

Date cifre reali positive $a_1,a_2,\dots ,a_n$. Prove che esistono numeri reali positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ in modo tale che $\sum _{k=1}^n{x}_k=1$ e che per tutti i numeri reali positivi $y_1,y_2,\dots ,y_n$ che soddisfano $\sum _{k=1}^n{y}_k=1$, si ha ${\sum }_{k=1}^n\frac{a_k}{x_k}\le {\sum }_{k=1}^n\frac{a_k}{y_k}.$

src_cn_cgmo_2013__Q05

Find all sizes of subsets of Z/99Z closed under midpoints

Let $S$ be a subset of $m$ elements of $\{0,1,2,\dots ,99\}$, $m\ge 3$, such that for any $x,y\in S$, there exists $z\in S$ with $x+y\equiv 2z(\mathrm{mod}99)$. Find all possible values of $m$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Ricerca tutte le dimensioni dei sottoinsiemi di Z/99Z chiusi sotto i punti di mezzo

Il $S$ deve essere un sottoinsieme di $m$ elementi di $\{0,1,2,\dots ,99\}$, $m\ge 3$, in modo tale che per qualsiasi $x,y\in S$ esista $z\in S$ con $x+y\equiv 2z(\mathrm{mod}99)$. Trova tutti i valori possibili di $m$.

src_cn_cgmo_2013__Q06

Two externally tangent circles with inscribed quadrilateral, prove excenter

As shown in Fig. 7.1 and Fig. 7.2, $\odot O_1$ and $\odot O_2$ are tangent externally at point $T$. The quadrilateral $ABCD$ is inscribed in $\odot O_1$. The lines $DA$ and $CB$ intersect $\odot O_2$ at points $E$ and $F$, respectively. $BN$, the bisector of $\angle ABF$, intersects the segment $EF$ at point $N$. Line $FT$ intersects the arc $AT$ (which does not contain $B$) at point $M$. Prove that $M$ is the excenter of $△BCN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Due cerchi tangenti esternamente con quadrilaterali incisi, provare l’escentro

Come mostrato nella figura. 7.1 e Figura 7.2, $\odot O_1$ e $\odot O_2$ sono tangenti esternamente al punto $T$. Il quadrilaterale $ABCD$ è inserito in $\odot O_1$. Le linee $DA$ e $CB$ si incrociano rispettivamente $\odot O_2$ ai punti $E$ e $F$. $BN$, il bisettore di $\angle ABF$, interseca il segmento $EF$ al punto $N$. La linea $FT$ interseca l’arco $AT$ (che non contiene $B$) al punto $M$. Provare che $M$ è l’escentro di $△BCN$.

src_cn_cgmo_2013__Q07

Regular n-gon with labeled vertices, parity of positive edges and crossings differ

Let $n\ge 4$ be an even number. At the vertices of a regular $n$-gon we write in an arbitrary way $n$ distinct real numbers. Starting from one edge, we name all the edges in a clockwise way by $e_1,e_2,\dots ,e_n$. An edge is called \textit{positive} if the difference of the numbers at its endpoint and its start point is positive. A set of two edges $\{e_i,e_j\}$ ($1\le i<j\le n$) is called \textit{crossing} if $j-i$ is odd, the two edges have no common vertex, and the four vertices of $e_i$ and $e_j$ alternate around the polygon. Prove that the number of crossings between positive edges and the number of positive edges have different parity.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

N-gon regolare con vertici etichettati, parità di bordi e incroci positivi differiscono

$n\ge 4$ sia un numero pari. Al vertice di un normale $n$-gon scriviamo in modo arbitrario $n$ numeri reali distinti. Partendo da un bordo, chiamiamo tutti i bordi in senso orario con $e_1,e_2,\dots ,e_n$. Un bordo è chiamato \textit{positivo} se la differenza dei numeri al suo punto di fine e al suo punto di partenza è positiva. Un insieme di due bordi $\{e_i,e_j\}$ ($1\le i<j\le n$) viene chiamato \textit{crossing} se $j-i$ è strano, i due bordi non hanno un vertice comune, e le quattro vertici di $e_i$ e $e_j$ si alternano intorno al poligono. Prove che il numero di incroci tra i bordi positivi e il numero di bordi positivi hanno parità diversa.

src_cn_cgmo_2013__Q08