China Mathematical Competition (Complementary Test) 2002

Find maximum m for quadratic satisfying symmetry, growth, and shift conditions

Suppose a quadratic function $f(x)=a{x}^2+bx+c$, with $a\ne 0$ satisfies the following conditions:

(1) When $x\in \mathbf{R}$, $f(x-1)=f(2-x)$ and $f(x)\ge x$.

(2) When $x\in (0,2)$, $f(x)\le {\left(\frac{x+1}{2}\right)}^2$.

Find the maximum value of $m$ such that there exists $t\in \mathbf{R}$ for which $f(x+t)\le x$ holds for all $x\in [1,m]$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 9 Fonte: apri libro PDF

Ricerca il massimo di m per le condizioni di simmetria quadratica soddisfacente, di crescita e di spostamento

Supponiamo che una funzione quadrata $f(x)=a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$ soddisfi le seguenti condizioni:

(1) Quando $x\in \mathbf{R}$, $f(x-1)=f(2-x)$ e $f(x)\ge x$.

(2) Quando $x\in (0,2)$, $f(x)\le {\left(\frac{x+1}{2}\right)}^2$.

Trovare il valore massimo di $m$ in modo tale che esista $t\in \mathbf{R}$ per il quale $f(x+t)\le x$ è valido per tutti $x\in [1,m]$.

Risposta: 9 src_cn_cmc-complementary-test_2002__Q16