China Mathematical Competition (Complementary Test) 2006

Ellipse with foci B0,B1 cutting triangle sides; iterated arc construction yields concyclic points

Suppose an ellipse with points $B_0$ and $B_1$ as the foci intercepts side $A{B}_i$ of $△A{B}_0{B}_1$ at $C_i$ ($i=0,1$). Taking an arbitrary point $P_0$ on the extending line of $A{B}_0$, draw arc $\widehat{P_0{Q}_0}$ with $B_0$, $B_0{P}_0$ as the center and radius respectively, intercepting the extending line of $C_1{B}_0$ at $Q_0$. Draw arc $\widehat{Q_0{P}_1}$ with $C_1$, $C_1{Q}_0$ as the center and radius respectively, intercepting the extending line of $B_{1}A$ at $P_1$. Draw arc $\widehat{P_1{Q}_1}$ with $B_1$, $B_1{P}_1$ as the center and radius respectively, intercepting the extending line of $C_0{B}_1$ at $Q_1$. Draw arc $\widehat{Q_1{P}_0^{\prime }}$ with $C_0$, $C_0{Q}_1$ as the center and radius respectively, intercepting the extending line of $A{B}_0$ at $P_0^{\prime }$. Prove that (1) $P_0^{\prime }$ and $P_0$ are coincident, and arcs $\widehat{P_0{Q}_0}$ and $\widehat{Q_1{P}_0^{\prime }}$ are tangent to each other at $P_0$; (2) Points $P_0$, $Q_0$, $Q_1$, $P_1$ are concyclic.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Elisse con foci B0, B1 lati di taglio triangolare; la costruzione di arco iterata produce punti conciclici

Supponiamo un’ellisse con i punti $B_0$ e $B_1$ come i foci intercettano il lato $A{B}_i$ di $△A{B}_0{B}_1$ a $C_i$ ($i=0,1$). Prendendo un punto arbitrario $P_0$ sulla linea di estensione di $A{B}_0$, tracciare un arco $\widehat{P_0{Q}_0}$ con $B_0$, $B_0{P}_0$ rispettivamente come centro e raggio, intercettando la linea di estensione di $C_1{B}_0$ a $Q_0$. Tracciare un arco $\widehat{Q_0{P}_1}$ con $C_1$, $C_1{Q}_0$ rispettivamente come centro e raggio, intercettando la linea di estensione di $B_{1}A$ a $P_1$. Tracciare un arco $\widehat{P_1{Q}_1}$ con $B_1$, $B_1{P}_1$ rispettivamente come centro e raggio, intercettando la linea di estensione di $C_0{B}_1$ a $Q_1$. Tracciare un arco $\widehat{Q_1{P}_0^{\prime }}$ con $C_0$, $C_0{Q}_1$ rispettivamente come centro e raggio, intercettando la linea di estensione di $A{B}_0$ a $P_0^{\prime }$. Prove che (1) $P_0^{\prime }$ e $P_0$ coincidono e che gli archi $\widehat{P_0{Q}_0}$ e $\widehat{Q_1{P}_0^{\prime }}$ sono tangenti tra loro a $P_0$; (2) i punti $P_0$, $Q_0$, $Q_1$, $P_1$ sono conciclici.

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Min pieces to remove from 7x8 board to break all 5-in-a-row groups

Given a $7\times 8$ checkerboard as seen in the figure, 56 pieces are placed on the board with each square containing exactly one piece. If two pieces are in a common side or vertex, they are called “connected”. A group of 5 pieces is said to have Property A, if these pieces are connected orderly in a (horizontal, vertical or diagonal) line.

What is the least number of pieces to be removed from the board to ensure that no group of 5 pieces on the board which has Property A? You must prove your answer.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 11 Fonte: apri libro PDF

Min pezzi da rimuovere dalla lavagna 7x8 per rompere tutti i gruppi 5 in fila

Dato un scacchiere $7\times 8$ come si vede nella figura, 56 pezzi sono posizionati sulla tavola con ciascun quadrato contenente esattamente un pezzo. Se due pezzi si trovano in un lato o in un vertice comune, vengono chiamati “connessi”. Si dice che un gruppo di 5 pezzi abbia la proprietà A, se questi pezzi sono collegati ordinatamente in una linea (orizzontale, verticale o diagonale).

Qual è il numero minimo di pezzi da rimuovere dalla lavagna per garantire che nessun gruppo di 5 pezzi sulla lavagna abbia la proprietà A? Devi provare la tua risposta.

Risposta: 11 src_cn_cmc-complementary-test_2006__Q02

Solve a system of four symmetric power-sum equations in x,y,z,w

Solve the following system of equations. $\{\begin{array}{l}x-y+z-w=2,\\ x^2-y^2+z^2-w^2=6,\\ x^3-y^3+z^3-w^3=20,\\ x^4-y^4+z^4-w^4=66.\end{array}$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $(x,y,z,w)$: $(3,2,1,0)$, $(3,0,1,2)$, $(1,2,3,0)$, $(1,0,3,2)$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Risolvere un sistema di quattro equazioni simmetriche di potenza-somma in x,y,z,w*

Risolvi il seguente sistema di equazioni. $\{\begin{array}{l}x-y+z-w=2,\\ x^2-y^2+z^2-w^2=6,\\ x^3-y^3+z^3-w^3=20,\\ x^4-y^4+z^4-w^4=66.\end{array}$

Risposta: $(x,y,z,w)$: $(3,2,1,0)$, $(3,0,1,2)$, $(1,2,3,0)$, $(1,0,3,2)$ src_cn_cmc-complementary-test_2006__Q03