China Mathematical Competition (Complementary Test) 2007

Acute triangle with foot of altitude; circumcenters concyclic with feet iff P is orthocenter

As shown in the figure, $△ABC$ is an acute triangle with $AB<AC$. $AD$ is the perpendicular height on $BC$ with point $P$ along $AD$. Through $P$ draw $PE\perp AC$ with $E$ as foot drop, draw $PF\perp AB$ with $F$ as foot drop. $O_1$, $O_2$ are circumcenters of $△BDF$, $△CDE$ respectively. Prove that $O_1$, $O_2$, $E$, $F$ are concyclic if and only if $P$ is the orthocenter of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Backward Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Triangolo acuto con piede di altitudine; circoncenti conciclici con piedi se P è ortocentro

Come mostrato nella figura, $△ABC$ è un triangolo acuto con $AB<AC$. $AD$ è l’altezza perpendicolare su $BC$ con punto $P$ lungo $AD$. Attraverso $P$ disegnare $PE\perp AC$ con $E$ come caduta del piede, disegnare $PF\perp AB$ con $F$ come caduta del piede. $O_1$ e $O_2$ sono i circoncenti di $△BDF$ e $△CDE$ rispettivamente. Prova che $O_1$, $O_2$, $E$, $F$ sono conciclici se e solo se $P$ è l’ortocentro di $△ABC$.

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