China Mathematical Competition (Complementary Test) 2008

Convex quadrilateral, minimizing f(P)=PABC+PDCA+PCAB; concyclicity at the minimum and a numeric minimum.*

(50 marks) As shown in Fig. 1, $ABCD$ is a convex quadrilateral with $\angle B+\angle D<180^{\circ }$, and $P$ is a moving point on the plane. Let $f(P)=PA\times BC+PD\times CA+PC\times AB.$ (1) Prove that $P$, $A$, $B$, $C$ are concyclic when $f(P)$ reaches the minimum. (2) Suppose that point $E$ is on the arc $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ of the circumscribed circle $O$ of $△ABC$, satisfying $\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{BC}{EC}=\sqrt{3}-1,\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ECA;$ furthermore, $DA$, $DC$ are tangent to $\odot O$, $AC=\sqrt{2}$. Find the minimum of $f(P)$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $f(P{)}_{\min }=\sqrt{10}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

quadrilaterale convex, riducendo al minimo f(P)=PABC+PDCA+PCAB; conciclicità al minimo e numero minimo.*

(50 marchi) Come mostrato alla figura. 1, $ABCD$ è un quadrilaterale convex con $\angle B+\angle D<180^{\circ }$, e $P$ è un punto in movimento sul piano. Indicare che $f(P)=PA\times BC+PD\times CA+PC\times AB.$ (1) Provare che $P$, $A$, $B$, $C$ sono conciclici quando $f(P)$ raggiunge il minimo. (2) Supponiamo che il punto $E$ si trovi sull’arco $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ del cerchio circoscritto $O$ di $△ABC$, soddisfacendo $\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{BC}{EC}=\sqrt{3}-1,\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ECA;$, inoltre $DA$, $DC$ sono tangenti a $\odot O$, $AC=\sqrt{2}$. Trova il minimo di $f(P)$.

Risposta: $f(P{)}_{\min }=\sqrt{10}$ src_cn_cmc-complementary-test_2008__Q01

Periodic function with periods T and 1, 0<T<1; show a sub-period 1/p when T rational, and a decreasing sequence of irrational periods when T irrational.

(50 marks) Let $f(x)$ be a periodic function with periods $T$ and $1$, satisfying $0<T<1$. Prove that: (1) If $T$ is a rational number, there exists a prime $p$ such that $\frac{1}{p}$ is also a period of $f(x)$. (2) If $T$ is irrational, there exists a sequence of irrational numbers $\{a_n\}$ satisfying $1>a_n>a_{n+1}>0$ $(n=1,2,\dots )$ and each $a_n$ is a period of $f(x)$.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Funzione periodica con periodi T e 1, 0<T<1; mostra un sottoperiodo 1/p quando T è razionale e una sequenza diminuente di periodi irrazionali quando T è irrazionale.

(50 punti) $f(x)$ deve essere una funzione periodica con periodi $T$ e $1$, soddisfacente $0<T<1$. Prova che: (1) Se $T$ è un numero razionale, esiste un primo $p$ tale che $\frac{1}{p}$ è anche un periodo di $f(x)$. (2) Se $T$ è irrazionale, esiste una sequenza di numeri irrazionali $\{a_n\}$ che soddisfa $1>a_n>a_{n+1}>0$ $(n=1,2,\dots )$ e ogni $a_n$ è un periodo di $f(x)$.

src_cn_cmc-complementary-test_2008__Q02

Given a_k>=0 (k=1..2008), prove existence of a sequence x_n with a prescribed series relation iff the sum of the a_k exceeds 1.

(50 marks) Suppose that $a_k\ge 0$, $k=1,2,\dots ,2008$. Prove that if and only if ${\sum }_{k=1}^{2008}{a}_k>1$, there is a sequence $\{x_n\}$ satisfying (1) $0=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n<\cdots$, $n=1,2,3,\dots$; (2) ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ exists; (3) $x_n-x_{n-1}={\sum }_{k=1}^{2008}{a}_k(x_{n+k}-x_{n+k-1})$, $n=1,2,3,\dots$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Telescoping, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

Dato a_k>=0 (k=1..2008), dimostrare l’esistenza di una sequenza x_n con una relazione di serie prescritta se la somma dell’a_k supera 1.

(50 punti) Supponiamo che $a_k\ge 0$, $k=1,2,\dots ,2008$. Prove che se e solo se ${\sum }_{k=1}^{2008}{a}_k>1$ esiste una sequenza $\{x_n\}$ soddisfacente (1) $0=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n<\cdots$, $n=1,2,3,\dots$; (2) ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$; (3) $x_n-x_{n-1}={\sum }_{k=1}^{2008}{a}_k(x_{n+k}-x_{n+k-1})$, $n=1,2,3,\dots$

src_cn_cmc-complementary-test_2008__Q03