China Mathematical Competition (Complementary Test) 2009

Circumscribed circle midpoints, inner center, concyclicity proof

(30 marks) As shown in Fig. 1, $M$ , $N$ are the midpoints of arcs $B C$ , $A C$ respectively, which are on the circumscribed circle of an acute triangle $△ A B C$ ( $∠ A < ∠ B$ ). Through point $C$ draw $P C ⊥ M N$ , intercepting the circle $Γ$ at point $P$ . $I$ is the inner center of $△ A B C$ . Extend line $P I$ to intercept $Γ$ at point $T$ .

(1) Prove that $M P > M T = N P > N T$ .

(2) For an arbitrary point $Q$ ( $Q \neq = A, T, B$ ) on arc $A B$ (not containing $C$ ), denote the inner centers of $△ A QC$ , $△ QC B$ by $I_{1}$ , $I_{2}$ respectively. Prove that $Q$ , $I_{1}$ , $I_{2}$ , $T$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Punti di centro del cerchio circoscritto, centro interno, prova di conciclicità

(30 marchi) Come mostrato alla figura. 1, $M$ , $N$ sono i punti medi degli archi $B C$ e $A C$ , rispettivamente, che si trovano sul cerchio circonscritto di un triangolo acuto $△ A B C$ ( $∠ A < ∠ B$ ). Attraverso il punto $C$ tracciare $P C ⊥ M N$ , intercettando il cerchio $Γ$ al punto $P$ . $I$ è il centro interno di $△ A B C$ . Estendere la linea $P I$ per intercettare $Γ$ al punto $T$ .

(1) Provare che $M P > M T = N P > N T$ .

(2) Per un punto arbitrario $Q$ ( $Q \neq = A, T, B$ ) su arco $A B$ (non contenente $C$ ), indicare rispettivamente i centri interni di $△ A QC$ , $△ QC B$ da $I_{1}$ e $I_{2}$ . Provare che $Q$ , $I_{1}$ , $I_{2}$ , $T$ sono conciclici.

src_cn_cmc-complementary-test_2009__Q01

Prove double inequality for partial harmonic-like sum minus log n

(50 marks) Prove that $- 1 < (\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{k ^{2} + 1}) - ln n \leq \frac{1}{2}, n = 1, 2, \dots$

Topic: Disuguaglianze, Insiemi e funzioni Metodo: Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove la doppia disuguaglianza per la somma parziale armonica meno log n

(50 marchi) dimostrare che $- 1 < (\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{k ^{2} + 1}) - ln n \leq \frac{1}{2}, n = 1, 2, \dots$

src_cn_cmc-complementary-test_2009__Q02

Infinitely many m >= k with C(m,k) coprime to l

(50 marks) Suppose that $k$ , $l$ are two positive integers. Prove that there are infinitely many positive integers $m \geq k$ such that $(k m)$ and $l$ are relatively prime.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Infinitamente molti m >= k con C(m,k) coprimo a l

(50 punti) Supponiamo che $k$ , $l$ siano due numeri interi positivi. Prova che ci sono infiniti interi positivi $m \geq k$ in modo tale che $(k m)$ e $l$ siano relativamente primi.

src_cn_cmc-complementary-test_2009__Q03

Nonneg 3x9 matrix with property (O) on first-three-column submatrix

(50 marks) Suppose that a matrix of nonneg entries $P = x_{11} x_{21} x_{31} x_{12} x_{22} x_{32} x_{13} x_{23} x_{33} x_{14} x_{24} x_{34} x_{15} x_{25} x_{35} x_{16} x_{26} x_{36} x_{17} x_{27} x_{37} x_{18} x_{28} x_{38} x_{19} x_{29} x_{39}$ has the following properties:

(1) Numbers in a row are different from each other;

(2) The sum of the numbers in a column from the first six columns is $1$ ;

(3) $x_{i 4} = x_{i 5} = x_{i 6} = 0$ for $i = 1, 2, 3$ ;

(4) $x_{i 1} + x_{i 2} + x_{i 3} + x_{i 7} + x_{i 8} + x_{i 9} \geq 1$ .

Matrix $S$ is constituted by the first three columns of $P$ : $S = x_{11} x_{21} x_{31} x_{12} x_{22} x_{32} x_{13} x_{23} x_{33} .$ $S$ has the following property:

(O) For any column $x_{1 k} x_{2 k} x_{3 k}$ ( $k = 1, 2, \dots, 9$ ) in $P$ , there exists $i \in {1, 2, 3}$ such that $x_{ik} \leq u_{i} = min (x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}) .$

Prove that $S$ , the matrix obtained by rearranging any two rows of $S$ , also has property (O).

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Matrice nonneg 3x9 con proprietà (O) sulla prima sottomatrice di tre colonne

(50 punti) Supponiamo che una matrice di voci non negative $P = x_{11} x_{21} x_{31} x_{12} x_{22} x_{32} x_{13} x_{23} x_{33} x_{14} x_{24} x_{34} x_{15} x_{25} x_{35} x_{16} x_{26} x_{36} x_{17} x_{27} x_{37} x_{18} x_{28} x_{38} x_{19} x_{29} x_{39}$ abbia le seguenti proprietà:

(1) I numeri di una riga sono diversi l’uno dall’altro;

(2) La somma dei numeri di una colonna delle prime sei colonne è $1$ ;

(3) $x_{i 4} = x_{i 5} = x_{i 6} = 0$ per $i = 1, 2, 3$ ;

(4) $x_{i 1} + x_{i 2} + x_{i 3} + x_{i 7} + x_{i 8} + x_{i 9} \geq 1$ .

La matrice $S$ è costituita dalle prime tre colonne di $P$ : $S = x_{11} x_{21} x_{31} x_{12} x_{22} x_{32} x_{13} x_{23} x_{33} .$ $S$ ha la seguente proprietà:

(O) Per ogni colonna $x_{1 k} x_{2 k} x_{3 k}$ ( $k = 1, 2, \dots, 9$ ) in $P$ , esiste $i \in {1, 2, 3}$ tale che $x_{ik} \leq u_{i} = min (x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}) .$

Provare che $S$ , la matrice ottenuta riordinando due righe di $S$ , ha anche la proprietà (O).

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