China Mathematical Competition (Complementary Test) 2010

Circumcenter, point on BC, concyclic conclusion via perpendicularity

(40 marks) As seen in Fig. 1.1, the circumcenter of acute triangle $ABC$ is $O$, $K$ is a point (not the midpoint) on the side $BC$, $D$ is a point on the extended line of segment $AK$, lines $BD$ and $AC$ intersect at point $N$, and lines $CD$ and $AB$ intersect at point $M$. Prove if $OK\perp MN$, then $A$, $B$, $D$, $C$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circumcenter, punto su BC, conclusione conciclica per perpendicolare

40 punti) Come illustrato nella figura. 1.1, il centro circostante del triangolo acuto $ABC$ è $O$, $K$ è un punto (non il punto medio) sul lato $BC$, $D$ è un punto sulla linea estesa del segmento $AK$, le linee $BD$ e $AC$ si intersecano al punto $N$, e le linee $CD$ e $AB$ si intersecano al punto $M$. Prova se $OK\perp MN$, $A$, $B$, $D$, $C$ sono conciclici.

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Iterated function on half-integers eventually yields an integer

(40 marks) Given positive integer $k$, let $r=k+\frac{1}{2}$. Define $f^{(1)}(x)=f(x)=x\lceil x\rceil$, $f^{(2)}(r)=f(f(r))$, $\dots$, $f^{(m)}(r)=f(f^{(m-1)}(r))$. (Here $\lceil x\rceil$ denotes the minimum integer not less than $x$; e.g., $\lceil \frac{1}{2}\rceil =1$, $\lceil 1\rceil =1$.) Prove that there exists a positive integer $m$ such that $f^{(m)}(r)$ is an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

La funzione iterata su semi-integer alla fine produce un intero

(40 marchi) Dato il numero intero positivo $k$, $r=k+\frac{1}{2}$. Definire $f^{(1)}(x)=f(x)=x\lceil x\rceil$, $f^{(2)}(r)=f(f(r))$, $\dots$, $f^{(m)}(r)=f(f^{(m-1)}(r))$. (Qui $\lceil x\rceil$ indica il numero intero minimo non inferiore a $x$; ad esempio $\lceil \frac{1}{2}\rceil =1$, $\lceil 1\rceil =1$.) Prove che esiste un numero intero positivo $m$ tale che $f^{(m)}(r)$ sia un numero intero.

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Inequality for averages of bounded positive reals

(50 marks) Given integer $n>2$, suppose positive real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfy $a_k\le 1$, $k=1,2,\dots ,n$. Let $A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_k}{k}$, $k=1,2,\dots ,n$. Prove $\left|\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^n{A}_k\right|<\frac{n-1}{2}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Ineguaglianza per le medie di realtà positive limitate

(50 marchi) Con un numero intero $n>2$, supponiamo che i numeri reali positivi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ soddisfino $a_k\le 1$, $k=1,2,\dots ,n$. Il valore di $A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_k}{k}$ è $k=1,2,\dots ,n$. Provare $\left|\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^n{A}_k\right|<\frac{n-1}{2}$.

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Count valid code-sets for cipher lock on regular n-gon

(30 marks) The code setting of a cipher lock is established on an $n$-regular-polygon with vertices $A_1,A_2,\dots ,A_n$, each vertex is assigned a number ($1$ or $0$) and a color (red or blue), such that either the numbers or the colors on each pair of adjacent vertices are the same. We ask, How many code-sets can be realized for this lock?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Contare set di codici validi per il blocco di cipro su n-gon regolare

(30 marchi) La configurazione del codice di un blocco cipher è stabilita su un poligono $n$-regolare con vertici $A_1,A_2,\dots ,A_n$, a ciascun vertice viene assegnato un numero ($1$ o $0$) e un colore (rosso o blu), in modo tale che sia i numeri che i colori su ciascuna coppia di vertici adiacenti siano uguali. Chiediamo, quante serie di codici si possono realizzare per questo blocco?

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