China Mathematical Competition (Complementary Test) 2011

Midpoints of diagonals of cyclic quadrilateral, equal angle condition

(40 marks) As seen in Fig. 1.1, points $P$, $Q$ are, respectively, the midpoints of $AC$, $BD$ — the two diagonals of cyclic quadrilateral $ABCD$. Let $\angle BPA=\angle DPA$. Prove $\angle AQB=\angle CQD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Medi di diagonali di quadrilaterali ciclici, condizione di angolo uguale

40 punti) Come illustrato nella figura. 1.1, i punti $P$, $Q$ sono, rispettivamente, i punti medi di $AC$, $BD$ le due diagonali del quadrilaterale ciclico $ABCD$. Let $\angle BPA=\angle DPA$. Provare $\angle AQB=\angle CQD$.

src_cn_cmc-complementary-test_2011__Q01

Existence of degree-n polynomial with special multiplicative property

(60 marks) Prove for any integer $n>1$, there exists a polynomial of degree $n$, $f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$ with the following properties: (1) $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ are all positive integers; (2) For any positive integer $a$ and arbitrary $b$ ($b\ge 2$) positive integers $r_1,r_2,\dots ,r_b$ that are different from each other, we have $f(a)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_b).$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Esistenza di polinomi di grado n con proprietà moltiplicative speciali

(60 marchi) Prova per qualsiasi intero $n>1$, esiste un polinomio di grado $n$, $f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$ con le seguenti proprietà: (1) $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ sono tutti interi positivi; (2) Per qualsiasi intero positivo $a$ e arbitrario $b$ ($b\ge 2$) interi positivi $r_1,r_2,\dots ,r_b$ che sono diversi tra loro, abbiamo $f(a)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_b).$

src_cn_cmc-complementary-test_2011__Q02

Prove existence of degree-n polynomial with two integer/non-equality properties

(60 marks) Prove that for any integer $n\ge 4$, there exists a polynomial of degree $n$, $f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$ with the following properties.

(1) $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ are all positive integers;

(2) For any positive integer $a$ and arbitrary $b$ ($b\ge 2$) positive integers $r_1,r_2,\dots ,r_b$ that are different from each other, we have $f(a)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_b)+2.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Prove l’esistenza di un polinomio di grado n con due proprietà interi/non uguali

(60 marchi) Prova che per qualsiasi numero intero $n\ge 4$ esiste un polinomio di grado $n$, $f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$ con le seguenti proprietà.

(1) $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ sono tutti numeri interi positivi;

(2) Per qualsiasi intero positivo $a$ e arbitrario $b$ ($b\ge 2$) interi positivi $r_1,r_2,\dots ,r_b$ che sono diversi tra loro, abbiamo $f(a)\ne f(r_1)f(r_2)\cdots f(r_b)+2.$

src_cn_cmc-complementary-test_2011__Q03

Find maximum number of bad cells in a 3×9 array

(20 marks) Given a $3\times 9$ array $A$ with each cell containing a positive integer, we say an $m\times n$ ($1\le m\le 3$, $1\le n\le 9$) subarray of $A$ is a “good rectangle” if every number in its cells is a multiple of $10$. A cell of $A$ is “bad” if it is not contained in any “good rectangle”. Find the maximum number of “bad cells” in $A$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 25 Fonte: apri libro PDF

Ricerca il numero massimo di celle cattive in un array di 3×9

(20 punti) Dato un array $3\times 9$ $A$ con ogni cella contenente un intero positivo, diciamo che un $m\times n$ ($1\le m\le 3$, $1\le n\le 9$) subarray di $A$ è un “buono rettangolo” se ogni numero nelle sue celle è un multiple di $10$. Una cellula di $A$ è “cattiva” se non è contenuta in alcun “buono rettangolo”. Trova il numero massimo di “celle cattive” in $A$.

Risposta: 25 src_cn_cmc-complementary-test_2011__Q05