China Mathematical Competition (Complementary Test) 2012

Prove O1, O2, A are collinear in acute triangle with angle bisector condition

(40 marks) As seen in Fig. 1.1, in acute triangle $△ABC$, $AB>AC$. $M$, $N$ are two different points on $BC$ such that $\angle BAM=\angle CAN$, and $O_1$, $O_2$ are the circumcenters of $△ABC$, $△AMN$, respectively. Prove that $O_1$, $O_2$, $A$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Prove che O1, O2, A sono collineari in triangolo acuto con condizione di bisettore angolare

40 punti) Come illustrato nella figura. 1.1, in triangolo acuto $△ABC$, $AB>AC$. $M$, $N$ sono due punti diversi su $BC$ in modo tale che $\angle BAM=\angle CAN$ e $O_1$, $O_2$ siano rispettivamente i circoncenti di $△ABC$ e $△AMN$. Prove che $O_1$, $O_2$, $A$ sono collineari.

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Prove lower bound on product of distances from one point to all others

(50 marks) Let $P_0,P_1,P_2,\dots ,P_n$ be $n+1$ points on a plane, the minimum distance between each two of them is $d>0$. Prove $|P_0{P}_1|\cdot |P_0{P}_2|\cdots |P_0{P}_n|>{\left(\frac{d}{3}\right)}^n\sqrt{(n+1)!}.$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove il limite inferiore sul prodotto delle distanze da un punto a tutti gli altri

(50 marchi) Il $P_0,P_1,P_2,\dots ,P_n$ deve essere $n+1$ punti su un piano, la distanza minima tra ciascuno di essi è $d>0$. Prova $|P_0{P}_1|\cdot |P_0{P}_2|\cdots |P_0{P}_n|>{\left(\frac{d}{3}\right)}^n\sqrt{(n+1)!}.$

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Prove harmonic series fractional parts are dense in any subinterval of [0,1]

(50 marks) Let $S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$, where $n$ is a positive integer. Prove that for any real numbers $a$, $b$ with $0\le a<b\le 1$, there are infinitely many terms in the sequence $\{S_n-\lfloor S_n\rfloor \}$ that are within $(a,b)$. (Here $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer not greater than real number $x$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Estremalità, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove che le parti frazionarie della serie armonica sono dense in qualsiasi sottointervallo di [0,1]

(50 marchi) Let $S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$, dove $n$ è un intero positivo. Prova che per tutti i numeri reali $a$, $b$ con $0\le a<b\le 1$, ci sono infiniti termini nella sequenza $\{S_n-\lfloor S_n\rfloor \}$ che sono all’interno di $(a,b)$. (Qui $\lfloor x\rfloor$ indica il più grande numero intero non superiore al numero reale $x$.)

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