China Mathematical Competition (Complementary Test) 2013

Chord and arc point; prove EF·CD = AC·BD

(40 marks) As seen in Fig. 1.1, $AB$ is a chord of circle $\omega$, $P$ is a point on arc $AB$, and $E$, $F$ are 2 points on $AB$ satisfying $AE=EF=FB$. Connect $PE$, $PF$ and extend them to intersect with $\omega$ at $C$, $D$, respectively. Prove $EF\cdot CD=AC\cdot BD.$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Punto di corda e arco; prova EF·CD = AC·BD

40 punti) Come illustrato nella figura. 1.1, $AB$ è un’accorda del cerchio $\omega$, $P$ è un punto su un arco $AB$, e $E$, $F$ sono 2 punti su $AB$ che soddisfano $AE=EF=FB$. Connettere $PE$, $PF$ e estendereli per incrociarli con $\omega$ rispettivamente a $C$ e $D$. Prova $EF\cdot CD=AC\cdot BD.$

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Sequence defined by binary-index recurrence; infinitely many partial sums are perfect squares

(40 marks) Given positive integers $u$, $v$, the sequence $\{a_n\}$ is defined as: $a_1=u+v$, and for $m\ge 1$, $\{\begin{array}{l}{a}_{2m}=a_m+u,\\ a_{2m+1}=a_m+v.\end{array}$ Denote $S_m=a_1+a_2+\cdots +a_m$ ($m=1,2,\dots$). Prove that there are infinite terms in sequence $\{S_n\}$ that are square numbers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Sequenza definita da ricorrenza dell’indice binario; infinite somme parziali sono quadrati perfetti

(40 marchi) Per i numeri interi positivi $u$, $v$, la sequenza $\{a_n\}$ è definita come: $a_1=u+v$, e per $m\ge 1$, $\{\begin{array}{l}{a}_{2m}=a_m+u,\\ a_{2m+1}=a_m+v.\end{array}$ Denoto $S_m=a_1+a_2+\cdots +a_m$ ($m=1,2,\dots$). Prova che ci sono termini infiniti nella sequenza $\{S_n\}$ che sono numeri quadrati.

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Exam scoring rule; maximize sum of highest and lowest total marks

(50 marks) Suppose there are $m$ questions in an examination attended by $n$ students, where $m$, $n\ge 7$ are given natural numbers. The scoring rule for each question is as follows: if there are exactly $x$ students failing to answer the question correctly, then they will each get $0$ marks, and those who answer it correctly each get $x$ marks. The total marks of a student are the sum of marks he/she gets from the $m$ questions. Now rank the total marks of the $n$ students as $p_1\ge p_2\ge \cdots \ge p_n$. Find the maximum possible value of $p_1+p_n$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $m(n-1)$ Fonte: apri libro PDF

Regola per il punteggio degli esami; massimizzazione della somma dei punteggi totali più alti e più bassi

(50 punti) Supponiamo che ci siano domande $m$ in un esame frequentato da studenti $n$, in cui $m$, $n\ge 7$ ricevono numeri naturali. La regola di punteggio per ciascuna domanda è la seguente: se ci sono esattamente $x$ studenti che non rispondono correttamente alla domanda, allora ognuno di loro otterrà $0$ voti, e quelli che rispondono correttamente otterranno $x$ voti. I voti complessivi di uno studente sono la somma dei voti ottenuti dalle domande $m$. Ora classificare i voti totali degli studenti $n$ come $p_1\ge p_2\ge \cdots \ge p_n$. Trova il valore massimo possibile di $p_1+p_n$.

Risposta: $m(n-1)$ src_cn_cmc-complementary-test_2013__Q03

2t integers not divisible by s; any 2-partition has a group with subset sum divisible by s

(50 marks) Let $s$, $t$ be integers greater than $1$ and satisfy $s<2^t$. Prove that there are $2t$ integers not divisible by $s$, such that if we divide them into two groups, then there must exist a group in which the sum of some integers can be divided by $s$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Induzione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

2t integri non divisibili da s; ogni partizione di 2 ha un gruppo con somma di sottoinsieme divisibile da s

(50 marchi) $s$, $t$ sono numeri interi superiori a $1$ e soddisfano $s<2^t$. Prova che ci sono $2t$ enti non divisibili da $s$, in modo tale che se li dividiamo in due gruppi, allora deve esistere un gruppo in cui la somma di alcuni enti può essere divisa da $s$.

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