China Mathematical Competition (Extra Test) 2002

Circumcenter, orthocenter, ratio MH+NH over OH

As shown in the diagram, in $△ABC$, $\angle A=60^{\circ }$, $AB>AC$, point $O$ is a circumcenter and $H$ is the intersection point of two altitudes $BE$ and $CF$. Points $M$ and $N$ are on the line segments $BH$ and $HF$ respectively, and satisfy $BM=CN$. Determine the value of $\frac{MH+NH}{OH}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 1 Fonte: apri libro PDF

Circumcenter, orthocenter, rapporto MH+NH su OH

Come mostrato nel diagramma, in $△ABC$, $\angle A=60^{\circ }$, $AB>AC$, il punto $O$ è un circumcentro e $H$ è il punto di intersezione di due altitudini $BE$ e $CF$. I punti $M$ e $N$ si trovano rispettivamente nei segmenti di linea $BH$ e $HF$ e soddisfano $BM=CN$. Determinare il valore di $\frac{MH+NH}{OH}$.

Risposta: 1 src_cn_cmc-extra-test_2002__Q01

Cubic with three real roots, maximize given expression

There are real numbers $a$, $b$ and $c$ and a positive number $\lambda$ such that $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ has three real roots $x_1$, $x_2$ and $x_3$ satisfying: (1) $x_2-x_1=\lambda$; (2) $x_3>\frac{1}{2}(x_1+x_2)$.

Find the maximum value of $\frac{2a^3+27c-9ab}{{\lambda }^3}$.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{3}{2}\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Cubico con tre radici reali, massimizzare l’espressione data

Ci sono numeri reali $a$, $b$ e $c$ e un numero positivo $\lambda$ tale che $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ abbia tre radici reali $x_1$, $x_2$ e $x_3$ soddisfacenti: (1) $x_2-x_1=\lambda$; (2) $x_3>\frac{1}{2}(x_1+x_2)$.

Trova il valore massimo di $\frac{2a^3+27c-9ab}{{\lambda }^3}$.

Risposta: \frac{3}{2}\sqrt{3} src_cn_cmc-extra-test_2002__Q02

World Cup scheduling: count substitution plans

Before the World Cup tournament, the football coach of $F$ country will let seven players $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_7$ join three training classes (90 minutes each) in order to assess them. Suppose, at any moment during a match, one and only one of them enters the field; and the total time (which is measured in minutes) on the field for each of $A_1$, $A_2$, $A_3$ and $A_4$ is divisible by 7 and the total time for each of $A_5$, $A_6$ and $A_7$ is divisible by 13. If there is no restriction about the number of times of substitution of players during each match, then how many possible cases are there within the total time for every player on the field?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

*Programmazione della Coppa del Mondo: piani di sostituzione del conteggio *

Prima del torneo della Coppa del Mondo, l’allenatore di calcio del paese $F$ permetterà a sette giocatori $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_7$ di partecipare a tre lezioni di allenamento (90 minuti ciascuno) per valutarli. Supponiamo che, in qualsiasi momento durante una partita, uno e solo uno di loro entri sul campo; e il tempo totale (misurato in minuti) sul campo per ciascuno di $A_1$, $A_2$, $A_3$ e $A_4$ sia divisibile per 7 e il tempo totale per ciascuno di $A_5$, $A_6$ e $A_7$ sia divisibile per 13. Se non vi è alcuna restrizione sul numero di volte di sostituzione di giocatori durante ogni partita, allora quanti possibili casi ci sono all’interno del tempo totale per ogni giocatore sul campo?

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