China Mathematical Competition (Extra Test) 2003

Tangent and secant from external point, angle equality proof

From point $P$, outside a circle, draw two tangents to the circle touching at points $A$ and $B$. Draw a secant line intersecting the circle at points $C$ and $D$, with $C$ between $P$ and $D$. Choose point $Q$ on the chord $CD$ such that $\angle DAQ=\angle PBC$. Prove that $\angle DBQ=\angle PAC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Tangente e secante dal punto esterno, prova di uguale angolazione

Dal punto $P$, al di fuori di un cerchio, tracciare due tangenti al cerchio che si toccano ai punti $A$ e $B$. Tracciare una linea secante che incrocia il cerchio nei punti $C$ e $D$, con $C$ tra $P$ e $D$. Selezionare il punto $Q$ sull’accordo $CD$ in modo tale che $\angle DAQ=\angle PBC$. Prova che $\angle DBQ=\angle PAC$.

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Integer-sided triangle with equal fractional parts of powers of 3

Let the three sides of a triangle be integers $l$, $m$, $n$, respectively, satisfying $l>m\ge n$ and $\left\{\frac{3^l}{10^4}\right\}=\left\{\frac{3^m}{10^4}\right\}=\left\{\frac{3^n}{10^4}\right\}$, where $\{x\}=x-[x]$ and $[x]$ denotes the integer part of $x$. Find the minimum perimeter of such a triangle.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3003 Fonte: apri libro PDF

Triangolo a lato intero con parti frazionarie uguali di potenze di 3

I tre lati di un triangolo sono numeri interi $l$, $m$, $n$, rispettivamente, soddisfacendo $l>m\ge n$ e $\left\{\frac{3^l}{10^4}\right\}=\left\{\frac{3^m}{10^4}\right\}=\left\{\frac{3^n}{10^4}\right\}$, dove $\{x\}=x-[x]$ e $[x]$ denotano la parte integrale di $x$. Trova il perimetro minimo di un triangolo.

Risposta: 3003 src_cn_cmc-extra-test_2003__Q02

Space figure with n=q^2+q+1 vertices: prove existence of space quadrilateral

Let a space figure consist of $n$ vertices and $l$ lines connecting those vertices, with $n=q^2+q+1$, $l\ge \frac{1}{2}(q+1{)}^2+1$, $q\ge 2$, $q\in \mathbb{N}$. Suppose the figure satisfies the following conditions: every four vertices are non-coplanar, every vertex is connected by at least one line, and there is a vertex which is connected by at least $q+2$ lines. Prove that there exists a space quadrilateral in the figure.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Grafi, Induzione, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri libro PDF

Figura spaziale con vertici n=q^2+q+1: prova dell’esistenza di quadrilaterali spaziali

La figura spaziale è composta da vertici $n$ e linee $l$ che collegano tali vertici, con $n=q^2+q+1$, $l\ge \frac{1}{2}(q+1{)}^2+1$, $q\ge 2$, $q\in \mathbb{N}$. Supponiamo che la figura soddisfi le seguenti condizioni: ogni quattro vertici non sono coplanari, ogni vertici è collegato da almeno una linea e c’è un vertici che è collegato da almeno $q+2$ linee. Prove che esiste un quadrilaterale spaziale nella figura.

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