China Mathematical Competition (Extra Test) 2004

Find AK in acute triangle with given altitudes and circle

In an acute triangle $A B C$ , point $H$ is the intersection point of altitude $C E$ to $A B$ and altitude $B D$ to $A C$ . A circle with $D E$ as its diameter intersects $A B$ and $A C$ at points $F$ and $G$ , respectively. $F G$ and $A H$ intersect at point $K$ . If $B C = 25$ , $B D = 20$ , $B E = 7$ , find the length of $A K$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8.64 Fonte: apri libro PDF

Ricerca AK in triangolo acuto con determinate altitudini e cerchio

In un triangolo acuto $A B C$ , il punto $H$ è il punto di intersezione dell’altitudine $C E$ a $A B$ e dell’altitudine $B D$ a $A C$ . Un cerchio con $D E$ come diametro che incrocia $A B$ e $A C$ rispettivamente nei punti $F$ e $G$ . $F G$ e $A H$ si incrociano al punto $K$ . Se $B C = 25$ , $B D = 20$ , $B E = 7$ , si trova la lunghezza di $A K$ .

Risposta: 8.64 src_cn_cmc-extra-test_2004__Q01

Prove inequalities for x-intercepts and ratio sums of coordinate sequences

In a planar rectangular coordinate system, a sequence of points ${A_{n}}$ on the positive half of the $y$ -axis and a sequence of points ${B_{n}}$ on the curve $y = 2 x$ ( $x \geq 0$ ) satisfy the condition $∣ O A_{n} ∣ = ∣ O B_{n} ∣ = \frac{1}{n}$ . The $x$ -intercept of line segment $A_{n} B_{n}$ is $a_{n}$ , $n \in N$ . Prove that

(1) $a_{n} > a_{n + 1} > 4$ , $n \in N$ ;

(2) There is $n_{0} \in N$ such that for any $n > n_{0}$ , $\frac{b _{2}}{b _{1}} + \frac{b _{3}}{b _{2}} + \dots + \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} < n - 2004,$ where $b_{n}$ is the $y$ -coordinate of $B_{n}$ , i.e., $B_{n} = (b_{n}, 2 b_{n})$ with $b_{n} > 0$ .

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

Prove le disuguaglianze per le intersezioni x e le somme dei rapporti delle sequenze di coordinate

In un sistema di coordinate rettangolare piano, una sequenza di punti ${A_{n}}$ sulla metà positiva dell’asse $y$ e una sequenza di punti ${B_{n}}$ sulla curva $y = 2 x$ ( $x \geq 0$ ) soddisfano la condizione $∣ O A_{n} ∣ = ∣ O B_{n} ∣ = \frac{1}{n}$ . L’intersezione $x$ del segmento di linea $A_{n} B_{n}$ è $a_{n}$ , $n \in N$ . Prove questo .

(1) $a_{n} > a_{n + 1} > 4$ , $n \in N$ ;

(2) C’è un $n_{0} \in N$ tale che per qualsiasi $n > n_{0}$ , $\frac{b _{2}}{b _{1}} + \frac{b _{3}}{b _{2}} + \dots + \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} < n - 2004,$ dove $b_{n}$ è la coordinata $y$ di $B_{n}$ , cioè $B_{n} = (b_{n}, 2 b_{n})$ con $b_{n} > 0$ .

src_cn_cmc-extra-test_2004__Q02

Find minimal f(n) so any m-element subset of n consecutive integers has 3 mutually prime elements

For integer $n \geq 4$ , find the minimal integer $f (n)$ , such that for any subset with $f (n)$ elements of the set ${m, m + 1, \dots, m + n - 1}$ ( $m \in N$ ), there are at least 3 mutually prime elements.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

Ricerca il minimo f(n) in modo che qualsiasi sottoinsieme di elementi m di n numeri interi consecutivi abbia 3 elementi reciprocamente primi

Per il numero intero $n \geq 4$ , trovare il numero intero minimo $f (n)$ , in modo che per qualsiasi sottoinsieme con $f (n)$ elementi del set ${m, m + 1, \dots, m + n - 1}$ ( $m \in N$ ), ci siano almeno 3 elementi reciprocamente primi.

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