China Mathematical Competition (Extra Test) 2005

Triangle tangent circle, incenter and excenter via DE DF

In $△ABC$, $AB>AC$, $l$ is a tangent line of the circumscribed circle of $△ABC$. The circle, centered at $A$ with radius $AC$, intersects $AB$ at $D$, and $l$ at $E$, $F$ (see the diagram). Prove that lines $DE$, $DF$ pass through the incenter and excenter of $△ABC$ respectively.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

Circolo tangente triangolare, incentro ed eccentro via DE DF

In $△ABC$, $AB>AC$, $l$ è una linea tangente del cerchio circoscritto di $△ABC$. Il cerchio, incentrato a $A$ con raggio $AC$, si interseca con $AB$ a $D$ e $l$ a $E$, $F$ (vedere il diagramma). Provare che le linee $DE$ e $DF$ passano rispettivamente attraverso l’incentro e l’eccentro di $△ABC$.

src_cn_cmc-extra-test_2005__Q01

Minimum of symmetric function given linear constraints on positive reals

Assume that positive numbers $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ satisfy $cy+bz=a$, $az+cx=b$, $bx+ay=c$. Find the minimum value of the function $f(x,y,z)=\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Minimum di funzione simmetrica data la limitazione lineare sui reali positivi

Supponiamo che i numeri positivi $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ soddisfino $cy+bz=a$, $az+cx=b$, $bx+ay=c$. Trova il valore minimo della funzione $f(x,y,z)=\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z}.$

Risposta: \frac{1}{2} src_cn_cmc-extra-test_2005__Q02

Sum of floor function involving fractional part of square root

For each positive integer $n$, define a function $f(n)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }n\text{ is the square of an integer,}\\ \left[\frac{1}{\{\sqrt{n}\}}\right],& \text{if }n\text{ is not the square of an integer.}\end{array}$ (Here $[x]$ denotes the maximum integer not exceeding $x$, and $\{x\}=x-[x]$.) Find the value of $\sum _{k=1}^{200}f(k)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Telescoping Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 768 Fonte: apri libro PDF

Summa della funzione del pavimento che comprende una parte frazionaria della radice quadrata

Per ogni intero positivo $n$, definire una funzione $f(n)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }n\text{ is the square of an integer,}\\ \left[\frac{1}{\{\sqrt{n}\}}\right],& \text{if }n\text{ is not the square of an integer.}\end{array}$ (qui $[x]$ indica il numero intero massimo non superiore a $x$, e $\{x\}=x-[x]$.) Trova il valore di $\sum _{k=1}^{200}f(k)$.

Risposta: 768 src_cn_cmc-extra-test_2005__Q03