China Mathematical Competition (First Round) 2020

Geometric sequence with given terms, find log value

(Paper A, Part I Q1) Given geometric sequence $\{a_n\}$, $a_8=13$, $a_{12}=1$, then the value of ${\log }_{a_{13}}13$ is $\underline{}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: -4 Fonte: apri libro PDF

Sequenza geometrica con termini dati, trovare il valore di registro

(Pagina A, Parte I Q1) Se si considera la sequenza geometrica $\{a_n\}$, $a_8=13$, $a_{12}=1$, il valore di ${\log }_{a_{13}}13$ è $\underline{}$.

Risposta: -4 src_cn_cmc-first-round_2020__Q01

Ellipse endpoints and foci dot-product condition, find ratio

(Paper A, Part I Q2) In ellipse $\Gamma$, $A$ is an endpoint of the major axis, $B$ is an endpoint of the minor axis, and $F_1$, $F_2$ are the foci. If $\overrightarrow{A{F}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_2}+\overrightarrow{B{F}_1}\cdot \overrightarrow{B{F}_2}=0$, then the value of $\frac{|AB|}{|F_1{F}_2|}$ is $\underline{}$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Punti finali dell’ellisse e punto foci condizione del prodotto, rapporto di ricerca

(Paper A, parte I Q2) Nell’ellisse $\Gamma$, $A$ è un punto di fine dell’asse maggiore, $B$ è un punto di fine dell’asse minore e $F_1$, $F_2$ sono i foci. Se $\overrightarrow{A{F}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_2}+\overrightarrow{B{F}_1}\cdot \overrightarrow{B{F}_2}=0$, il valore di $\frac{|AB|}{|F_1{F}_2|}$ è $\underline{}$.

Risposta: \frac{\sqrt{2}}{2} src_cn_cmc-first-round_2020__Q02

Count subsets of {1,…,20} with at least 2 consecutive integers

(Paper B, Part I Q3) Suppose $X=\{1,2,\dots ,20\}$. $A$ is a subset of $X$. The number of elements of $A$ is at least $2$ and all elements of $A$ can be arranged as consecutive positive integers. Then the number of such sets $A$ is $\underline{}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 190 Fonte: apri libro PDF

Conteggio di sottoinsiemi di {1,…,20} con almeno 2 integri consecutivi

(Paper B, parte I Q3) Supponiamo $X=\{1,2,\dots ,20\}$. $A$ è un sottoinsieme di $X$. Il numero di elementi di $A$ è almeno $2$ e tutti gli elementi di $A$ possono essere organizzati come integri positivi consecutivi. Poi il numero di tali set $A$ è $\underline{}$.

Risposta: 190 src_cn_cmc-first-round_2020__Q03

Complex number ratio real, find minimum modulus shifted

(Paper A, Part I Q4) Let $z$ be a complex number. If $\frac{z-2}{z-\mathrm{i}}$ is a real number ($\mathrm{i}$ is the imaginary unit), then the minimum of $|z+3|$ is $\underline{}$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{5}$ Fonte: apri libro PDF

ratio numero complesso reale, ritrovare il modulo minimo spostato

(Paper A, parte I Q4) Il $z$ deve essere un numero complesso. Se $\frac{z-2}{z-\mathrm{i}}$ è un numero reale ($\mathrm{i}$ è l’unità immaginaria), allora il minimo di $|z+3|$ è $\underline{}$.

Risposta: \sqrt{5} src_cn_cmc-first-round_2020__Q04

Count permutations of 9-element Gaussian integer set with non-decreasing moduli

(Paper B, Part I Q5) Let the $9$-element set $X=\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \{1,2,3\}\}$, with $\mathrm{i}$ being the imaginary unit. $\pi =(z_1,z_2,\dots ,z_9)$ is a permutation of all the elements in $X$, satisfying $|z_1|\le |z_2|\le \cdots \le |z_9|$. The number of such permutations $\pi$ is $\underline{}$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 8 Fonte: apri libro PDF

Conteggi permutazioni di un insieme di integri gaussiani di 9 elementi con moduli non in diminuzione

(Paper B, Parte I Q5) Lasciate che l’elemento $9$ sia composto da $X=\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \{1,2,3\}\}$, con $\mathrm{i}$ l’unità immaginaria. $\pi =(z_1,z_2,\dots ,z_9)$ è una permutazione di tutti gli elementi di $X$, che soddisfa $|z_1|\le |z_2|\le \cdots \le |z_9|$. Il numero di tali permutazioni $\pi$ è $\underline{}$.

Risposta: 8 src_cn_cmc-first-round_2020__Q05

Regular tetrahedron, sphere cross-section area through edge midpoints

(Paper A, Part I Q6) Suppose all the edges of regular triangular pyramid $P$-$ABC$ have length $1$ and $L$, $M$, $N$ are the midpoints of edges $PA$, $PB$ and $PC$, respectively. The area of the cross-section of the circumscribed sphere of this regular triangular pyramid intercepted by plane $LMN$ is $\underline{}$.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\pi }{3}$ Fonte: apri libro PDF

Tetraedro regolare, area di sezione trasversale di sfera attraverso i punti di mezzo del bordo

(Paper A, parte I Q6) Supponiamo che tutti i bordi della piramide triangolare regolare $P$-$ABC$ abbiano lunghezza $1$ e $L$, $M$, $N$ siano i punti medi dei bordi $PA$, $PB$ e $PC$, rispettivamente. L’area della sezione trasversale della sfera circoscritta di questa piramide triangolare regolare intercettata dal piano $LMN$ è $\underline{}$.

Risposta: \frac{\pi}{3} src_cn_cmc-first-round_2020__Q06

Convex quadrilateral with vector condition on point P, find area ratio

(Paper B, Part I Q7) In convex quadrilateral $ABCD$, $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$. Point $P$ is on the plane of quadrilateral $ABCD$, satisfying $\overrightarrow{PA}+2020\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+2020\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$. Let $s$ and $t$ be the areas of quadrilateral $ABCD$ and $△PAB$, respectively. Then the value of $\frac{t}{s}$ is $\underline{}$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{2021}$ Fonte: apri libro PDF

Quadrilatore convex con condizione vettoriale sul punto P, trovare rapporto di superficie

(Paper B, parte I Q7) In quadrilaterale convex $ABCD$, $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$. Il punto $P$ si trova sul piano quadrilaterale $ABCD$, soddisfacendo $\overrightarrow{PA}+2020\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+2020\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$. Le aree $s$ e $t$ siano rispettivamente quadrilaterali $ABCD$ e $△PAB$. Il valore di $\frac{t}{s}$ è $\underline{}$.

Risposta: \frac{1}{2021} src_cn_cmc-first-round_2020__Q07

Count good placements of cards labeled with pairs in boxes

(Paper A, Part I Q8) There are $10$ cards, each of which has two numbers, numbered $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, written on it, and the numbers on any two cards are not exactly identical. The cards contain all the ones labelled $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, and a card with $i$ and $j$ written on it can only be placed in box $i$ or box $j$. One placement is called “good” if there are more cards in box $1$ than in each of the other boxes. Then the total number of the “good” placements is $\underline{}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 56 Fonte: apri libro PDF

Contare le buone posizioni delle carte etichettate con coppie in scatole

(Paper A, Parte I Q8) Ci sono carte $10$, ognuna delle quali ha due numeri, numerati $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, scritte su di essa, e i numeri su due carte non sono esattamente identici. Le schede contengono tutte quelle etichettate $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, e una scheda con $i$ e $j$ scritte su di essa può essere inserita solo nella casella $i$ o nella casella $j$. Un posizionamento è chiamato “buono” se nella casella $1$ ci sono più carte di ciascuna delle altre caselle. Il numero totale dei posti di lavoro “buoni” è $\underline{}$.

Risposta: 56 src_cn_cmc-first-round_2020__Q08

Ellipse with perpendicularity condition, find product of tangents of angles

(Paper B, Part II Q9, 16 marks) In ellipse $\Gamma$, $A$ is an endpoint of the major axis, $B$ is an endpoint of the minor axis, and $F_1$, $F_2$ are the foci. If $\overrightarrow{A{F}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_2}+\overrightarrow{B{F}_1}\cdot \overrightarrow{B{F}_2}=0$, find the value of $\tan \angle AB{F}_1\cdot \tan \angle AB{F}_2$.

Topic: Geometria analitica, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $-\frac{1}{5}$ Fonte: apri libro PDF

Elisse con condizione di perpendicularità, trovare il prodotto di tangenti di angoli

(Paper B, Parte II Q9, 16 marchi) Nell’ellisse $\Gamma$, $A$ è un punto terminale dell’asse maggiore, $B$ è un punto terminale dell’asse minore e $F_1$, $F_2$ sono i foci. Se $\overrightarrow{A{F}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_2}+\overrightarrow{B{F}_1}\cdot \overrightarrow{B{F}_2}=0$, trovare il valore di $\tan \angle AB{F}_1\cdot \tan \angle AB{F}_2$.

Risposta: -\frac{1}{5} src_cn_cmc-first-round_2020__Q09

Positive reals on ellipsoidal surface, minimize weighted sum of reciprocals

(Paper B, Part II Q10, 20 marks) Suppose positive real numbers $a$, $b$, and $c$ satisfy $a^2+4b^2+9c^2=4b+12c-2$. Find the minimum of $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 6 Fonte: apri libro PDF

*Reali positivi su superficie ellipsoidale, riducendo al minimo la somma ponderata delle reciprocità *

(Paper B, parte II Q10, 20 punti) Supponiamo che i numeri reali positivi $a$, $b$ e $c$ soddisfino $a^2+4b^2+9c^2=4b+12c-2$. Trova il minimo di $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$.

Risposta: 6 src_cn_cmc-first-round_2020__Q10

Three points on hyperbola xy=1 forming isosceles right triangle, min area

(Paper A, Part II Q11, 20 marks) In a plane rectangular coordinate system $xOy$, points $A$, $B$ and $C$ are on hyperbola $xy=1$ satisfying $△ABC$ is an isosceles right triangle. Find the minimum of the area of $△ABC$.

Topic: Geometria analitica, Disuguaglianze Metodo: Coordinate, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $3\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Tre punti sull’iperbola xy=1 che formano triangolo rettangolo, area min

(Pagina A, Parte II Q11, 20 punti) In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, i punti $A$, $B$ e $C$ sono sull’iperbola $xy=1$ che soddisfa $△ABC$ è un triangolo rettangolare a pari pietra. Trova il minimo della superficie di $△ABC$.

Risposta: 3\sqrt{3} src_cn_cmc-first-round_2020__Q11