China Mathematical Competition (First Round) 2021

Arithmetic sequence with two linear conditions; find first term.

[Test Paper A, Problem 1] Suppose that arithmetic sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1$. Then the first term $a_1$ is ______.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $a_1=\frac{1981}{4001}$ Fonte: apri libro PDF

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Sequenza aritmetica con due condizioni lineari; trovare il primo termine.

[Test paper A, problema 1] Supponiamo che la sequenza aritmetica $\{a_n\}$ soddisfi $a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1$. Quindi il primo termine $a_1$ è ______.

Risposta: a_1=\dfrac{1981}{4001} src_cn_cmc-first-round_2021__Q01

Set A={1,2,m}, B={a^2}, C=A∪B with sum 6; find product of elements of C.

[Test Paper A, Problem 2] Given set $A=\{1,2,m\}$, $m$ is real. Let $B=\{a^2\mid a\in A\}$, $C=A\cup B$. If the sum of all the elements of $C$ is $6$, then the product of all the elements of $C$ is ______.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: -8 Fonte: apri libro PDF

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Set A={1,2,m}, B={a^2}, C=A∪B con la somma 6; trovare il prodotto degli elementi di C.

[Test paper A, problema 2] Data l’insieme $A=\{1,2,m\}$, $m$ è reale. Il modulo di calcolo deve essere il seguente: Se la somma di tutti gli elementi di $C$ è $6$, il prodotto di tutti gli elementi di $C$ è ______.

Risposta: -8 src_cn_cmc-first-round_2021__Q02

Functional relation f(x)=f(1)x+f(2)/x-1; minimum on (0,∞).

[Test Paper A, Problem 3] Suppose function $f(x)$ satisfies: for any non-zero real number $x$, there is $f(x)=f(1)\cdot x+\frac{f(2)}{x}-1.$ Then the minimum of $f(x)$ on $(0,+\infty )$ is ______.

Topic: Equazioni funzionali, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}-1$ Fonte: apri libro PDF

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Relazione funzionale f(x)=f(1)x+f(2)/x-1; minimo su (0,∞).

[Test Paper A, Problem 3] Supponiamo che la funzione $f(x)$ soddisfi: per qualsiasi numero reale non zero $x$, c’è $f(x)=f(1)\cdot x+\frac{f(2)}{x}-1.$ Quindi il minimo di $f(x)$ su $(0,+\infty )$ è ______.

Risposta: \sqrt{3}-1 src_cn_cmc-first-round_2021__Q03

f(x)=cos x+log_2 x with f(a)=f(2a); find f(2a)-f(4a).

[Test Paper A, Problem 4] Suppose $f(x)=\cos x+{\log }_{2}x(x>0)$. If positive real number $a$ satisfies $f(a)=f(2a)$, then the value of $f(2a)-f(4a)$ is ______.

Topic: Equazioni funzionali, Trigonometria Metodo: Casework, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $-3\text{ or }-1$ Fonte: apri libro PDF

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f(x)=cos x+log_2 x con f(a)=f(2a); trovare f(2a)-f(4a).

[Test paper A, problema 4] Supponiamo $f(x)=\cos x+{\log }_{2}x(x>0)$. Se un numero reale positivo $a$ soddisfa $f(a)=f(2a)$, il valore di $f(2a)-f(4a)$ è ______.

Risposta: -3 \text{ or } -1 src_cn_cmc-first-round_2021__Q04

Triangle with AB=1, AC=2, B-C=2π/3; find area.

[Test Paper A, Problem 5] In $△ABC$, $AB=1$, $AC=2$, $B-C=\frac{2\pi }{3}$. Then the area of $△ABC$ is ______.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{5\sqrt{3}}{14}$ Fonte: apri libro PDF

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Triangolo con AB=1, AC=2, B-C=2π/3; area di ricerca.

[Test paper A, problema 5] In $△ABC$, $AB=1$, $AC=2$, $B-C=\frac{2\pi }{3}$. Quindi la superficie di $△ABC$ è ______.

Risposta: \dfrac{5\sqrt{3}}{14} src_cn_cmc-first-round_2021__Q05

Parabola y^2=2px, tangent through P meets y-axis at Q; given |FP|=2,|FQ|=1 find OP·OQ.

[Test Paper A, Problem 6] In a plane rectangular coordinate system $xOy$, the focus of parabola $\Gamma :y^2=2px(p>0)$ is $F$. Make a tangent line to $\Gamma$ passing through point $P$ (different from $O$) on $\Gamma$ and it intersects the $y$-axis at point $Q$. If $|FP|=2$, $|FQ|=1$, then the dot product of vectors $\overrightarrow{OP}$ and $\overrightarrow{OQ}$ is ______.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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*Parabola y^2=2px, tangente attraverso P incontra l’asse y a Q; dato che \\displaystyle \\mathbb {\displaystyle \mathbb {\mathbb {\mathbb {\mathbb {\mathbb {\mathbb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {\mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb {mathb}}}} }

[Paper di prova A, problema 6] In un sistema di coordinate rettangolare piatto $xOy$, il focus della parabola $\Gamma :y^2=2px(p>0)$ è $F$. Fare una linea tangente a $\Gamma$ che attraversa il punto $P$ (diverso da $O$) su $\Gamma$ e che incroci l’asse $y$ al punto $Q$. Se $|FP|=2$, $|FQ|=1$, allora il prodotto di punti dei vettori $\overrightarrow{OP}$ e $\overrightarrow{OQ}$ è ______.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q06

Cube die thrown three times; probability |a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6.

[Test Paper A, Problem 7] An even cube die is thrown three times, and the numbers facing up are $a_1,a_2,a_3$ in order. Then the probability of event $|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_1|=6$ is ______.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{1}{4}$ Fonte: apri libro PDF

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*Cube die lanciato tre volte; probabilità \a1-a2 del + del a2-a3 del + del a3-a1 del = 6. *

[Test Paper A, Problem 7] Un dado cubo pari viene lanciato tre volte, e i numeri rivolti verso l’alto sono $a_1,a_2,a_3$ in ordine. Quindi la probabilità di evento $|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_1|=6$ è ______.

Risposta: \dfrac{1}{4} src_cn_cmc-first-round_2021__Q07

Count reduced fractions r=p/q in (0,1) with pq dividing 3600.

[Test Paper A, Problem 8] Given rational number $r=\frac{p}{q}\in (0,1)$, $p,q$ are coprime positive integers, and $pq$ divides $3600$. The number of such rational numbers $r$ is ______.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

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Contare le frazioni ridotte r=p/q in (0,1) con pq diviso 3600.

[Test paper A, problema 8] Dato il numero razionale $r=\frac{p}{q}\in (0,1)$, $p,q$ sono integri positivi copriemi e $pq$ divide $3600$. Il numero di tali numeri razionali $r$ è ______.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q08

Complex recurrence z_{n+1}=conj(z_n)(1+z_n i), z_1=√3/2; find z_2021.

[Test Paper A, Problem 9] (16 marks) Let complex sequence $\{z_n\}$ satisfy $z_1=\frac{\sqrt{3}}{2},z_{n+1}=\overline{z_n}(1+z_n\mathrm{i})(n=1,2,\dots ),$ where $\mathrm{i}$ is the imaginary unit. Find the value of $z_{2021}$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $z_{2021}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2^{2020}}}\right)\mathrm{i}$ Fonte: apri libro PDF

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Ricorrenza complessa z_{n+1}=conj(z_n)(1+z_n i), z_1=√3/2; trovare z_2021.

[Test Paper A, Problem 9] (16 punti) Lasciate che la sequenza complessa $\{z_n\}$ soddisfi $z_1=\frac{\sqrt{3}}{2},z_{n+1}=\overline{z_n}(1+z_n\mathrm{i})(n=1,2,\dots ),$ dove $\mathrm{i}$ è l’unità immaginaria. Trova il valore di $z_{2021}$.

Risposta: z_{2021}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2^{2020}}}\right)\mathrm{i} src_cn_cmc-first-round_2021__Q09

Graph y=(x+1)/(|x|+1) has three collinear points with abscissa sum 0; range of slope.

[Test Paper A, Problem 10] (20 marks) In the plane rectangular coordinate system, the graph of function $y=\frac{x+1}{|x|+1}$ has three different points lying on line $l$, and the sum of the abscissas of these three points is $0$. Find the range of values of the slope of $l$.

Topic: Geometria analitica, Equazioni funzionali Metodo: Casework, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Grafica y=(x+1)/(DagaxDagax+1) ha tre punti collineari con abcissa sum 0; intervallo di pendenza.

[Test Paper A, Problem 10] (20 punti) Nel sistema di coordinate rettangolari a piano, il grafico della funzione $y=\frac{x+1}{|x|+1}$ ha tre punti diversi sulla linea $l$, e la somma delle abscisse di questi tre punti è $0$. Trova l’intervallo dei valori della pendenza di $l$.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q10

Cube edge 2; P1,P2,P3 on incircles of three faces; min and max of |P1P2|+|P2P3|+|P3P1|.

[Test Paper A, Problem 11] (20 marks) The edge length of cube $ABCD-EFGH$ is $2$. Take any point $P_1$ on the incircle of square $ABFE$, take any point $P_2$ on the incircle of square $BCGF$, and take any point $P_3$ on the incircle of square $EFGH$. Find the minimum and maximum of $|P_1{P}_2|+|P_2{P}_3|+|P_3{P}_1|$.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Coordinate, Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\text{min }3\sqrt{2}-3,\text{max }3\sqrt{6}$ Fonte: apri libro PDF

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Cube edge 2; P1, P2, P3 su incircoli di tre facce; min e max di P1P2 π+ P2P3 π+ P3P1 π.

[Test Paper A, Problem 11] (20 punti) La lunghezza del bordo del cubo $ABCD-EFGH$ è $2$. Prendere qualsiasi punto $P_1$ sull’incircolo di quadrato $ABFE$, prendere qualsiasi punto $P_2$ sull’incircolo di quadrato $BCGF$ e prendere qualsiasi punto $P_3$ sull’incircolo di quadrato $EFGH$. Trova il minimo e il massimo di $|P_1{P}_2|+|P_2{P}_3|+|P_3{P}_1|$.

Risposta: \text{min } 3\sqrt{2}-3,\ \text{max } 3\sqrt{6} src_cn_cmc-first-round_2021__Q11

A1-1: A={1,2,3}, B and C defined via 2x+y; sum of elements of B∩C.

[Test Paper A1, Problem 1] Suppose that $A=\{1,2,3\}$, $B=\{2x+y\mid x,y\in A,x<y\}$, $C=\{2x+y\mid x,y\in A,x>y\}$. Then the sum of all the elements of $B\cap C$ is ______.

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Risposta: 12 Fonte: apri libro PDF

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A1-1: A={1,2,3}, B e C definiti con 2x+y; somma degli elementi di B∩C.

[Test Paper A1, Problema 1] Supponiamo che $A=\{1,2,3\}$, $B=\{2x+y\mid x,y\in A,x<y\}$, $C=\{2x+y\mid x,y\in A,x>y\}$. Quindi la somma di tutti gli elementi di $B\cap C$ è ______.

Risposta: 12 src_cn_cmc-first-round_2021__Q12

A1-2: vectors a=(1+2^m,1-2^m), b=(4^m-3,4^m+5); minimum of a·b.

[Test Paper A1, Problem 2] Given vectors $\vec{a}=(1+2^m,1-2^m)$, $\vec{b}=(4^m-3,4^m+5)$, suppose $m$ is real. Then the minimum of the dot product $\vec{a}\cdot \vec{b}$ is ______.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: -6 Fonte: apri libro PDF

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A1-2: vettori a=(1+2^m,1-2^m), b=(4^m-3,4^m+5); minimo di a·b.

[Test Paper A1, Problema 2] Dato che i vettori $\vec{a}=(1+2^m,1-2^m)$, $\vec{b}=(4^m-3,4^m+5)$, supponiamo che $m$ sia reale. In questo caso il minimo del prodotto dotto $\vec{a}\cdot \vec{b}$ è ______.

Risposta: -6 src_cn_cmc-first-round_2021__Q13

A1-3: tan A, tan B roots of x^2-10x+6=0; find cos C.

[Test Paper A1, Problem 3] In $△ABC$, $\tan A$ and $\tan B$ are the two roots of equation $x^2-10x+6=0$. Then the value of $\cos C$ is ______.

Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{5}}{5}$ Fonte: apri libro PDF

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A1-3: radici di A, B di x^2-10x+6=0; trovare cos C.

[Test Paper A1, Problem 3] In $△ABC$, $\tan A$ e $\tan B$ sono le due radici dell’equazione $x^2-10x+6=0$. Il valore di $\cos C$ è quindi ______.

Risposta: \dfrac{\sqrt{5}}{5} src_cn_cmc-first-round_2021__Q14

A1-4: hyperbola x^2/a^2 - y^2/b^2=1, line of inclination π/4 through a vertex and (2,3); eccentricity.

[Test Paper A1, Problem 4] In the plane rectangular coordinate system, given hyperbola $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$, a line with inclination angle $\frac{\pi }{4}$ passes through a vertex of $\Gamma$ and another point $(2,3)$ on it. Then the eccentricity of $\Gamma$ is ______.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

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A1-4: iperbola x^2/a^2 - y^2/b^2=1, linea di inclinazione π/4 attraverso un vertice e (2,3); eccentricità.

[Test Paper A1, Problem 4] Nel sistema di coordinate rettangolari a piano, data l’iperbola $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$, una linea con angolo di inclinazione $\frac{\pi }{4}$ passa attraverso un vertice di $\Gamma$ e un altro punto $(2,3)$ su di essa. Quindi l’escentricità di $\Gamma$ è ______.

Risposta: 2 src_cn_cmc-first-round_2021__Q15

A1-5: sequence a_1=1, a_n=1/(4a_{n-1})+1/n; find a_100.

[Test Paper A1, Problem 5] Let sequence $\{a_n\}$ satisfy $a_1=1$, $a_n=\frac{1}{4a_{n-1}}+\frac{1}{n}(n\ge 2)$. Then the value of $a_{100}$ is ______.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{101}{200}$ Fonte: apri libro PDF

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A1-5: sequenza a_1=1, a_n=1/(4a_{n-1}) +1/n; trovare a_100.

[Paper di prova A1, problema 5] Lasciate che la sequenza $\{a_n\}$ soddisfi $a_1=1$, $a_n=\frac{1}{4a_{n-1}}+\frac{1}{n}(n\ge 2)$. Quindi il valore di $a_{100}$ è ______.

Risposta: \dfrac{101}{200} src_cn_cmc-first-round_2021__Q16

A1-6: regular pyramid P-ABCD with base side=height, G centroid of face PBC; sine of angle between AG and base.

[Test Paper A1, Problem 6] Let the side length of the base and height of regular pyramid $P-ABCD$ be equal. Point $G$ is the centroid of face $△PBC$. Then the sine of the angle between line $AG$ and base $ABCD$ is ______.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{38}}{19}$ Fonte: apri libro PDF

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A1-6: piramide regolare P-ABCD con lato base=altezza, G centroide del viso PBC; seno di angolo tra AG e base.

[Paper di prova A1, problema 6] La lunghezza laterale della base e l’altezza della piramide regolare $P-ABCD$ siano uguali. Il punto $G$ è il centroide del viso $△PBC$. Quindi il seno dell’angolo tra la linea $AG$ e la base $ABCD$ è ______.

Risposta: \dfrac{\sqrt{38}}{19} src_cn_cmc-first-round_2021__Q17

A1-7: count permutations of 1..21 with |a_i-a_21| nondecreasing condition.

[Test Paper A1, Problem 7] Let $a_1,a_2,\dots ,a_{21}$ be a permutation of $1,2,\dots ,21$, satisfying $|a_{20}-a_{21}|\ge |a_{19}-a_{21}|\ge |a_{18}-a_{21}|\ge \cdots \ge |a_1-a_{21}|.$ The number of such permutations is ______.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3070 Fonte: apri libro PDF

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A1-7: conteggi permutazioni di 1.21 con a_i_a_21 con condizione non diminuente.

[Test Paper A1, Problem 7] Si può dire che $a_1,a_2,\dots ,a_{21}$ sia una permutazione di $1,2,\dots ,21$, soddisfacendo $|a_{20}-a_{21}|\ge |a_{19}-a_{21}|\ge |a_{18}-a_{21}|\ge \cdots \ge |a_1-a_{21}|.$ Il numero di tali permutazioni è ______.

Risposta: 3070 src_cn_cmc-first-round_2021__Q18

A1-8: positive reals x,y with a∈[0,x],b∈[0,y], a^2+y^2=2, b^2+x^2=1, ax+by=1; max of x+y.

[Test Paper A1, Problem 8] Positive real numbers $x,y$ satisfy the following condition: there exist $a\in [0,x]$, $b\in [0,y]$ such that $a^2+y^2=2,b^2+x^2=1,ax+by=1.$ Then the maximum of $x+y$ is ______.

Topic: Geometria analitica, Disuguaglianze, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{5}$ Fonte: apri libro PDF

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A1-8: valori reali positivi x,y con a∈[0,x],b∈[0,y], a^2+y^2=2, b^2+x^2=1, ax+by=1; max di x+y.

[Paper di prova A1, problema 8] I numeri reali positivi $x,y$ soddisfano la seguente condizione: esistono $a\in [0,x]$, $b\in [0,y]$ in modo tale che $a^2+y^2=2,b^2+x^2=1,ax+by=1.$ Quindi il massimo di $x+y$ è ______.

Risposta: \sqrt{5} src_cn_cmc-first-round_2021__Q19

A1-9: f(x)=|2-log_3 x|, a<b<c with f(a)=2f(b)=2f(c); find ac/b.

[Test Paper A1, Problem 9] (16 marks) Given function $f(x)=|2-{\log }_{3}x|$, positive real numbers $a,b,c$ satisfy $a<b<c$ and $f(a)=2f(b)=2f(c)$. Find the value of $\frac{ac}{b}$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 9 Fonte: apri libro PDF

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A1-9: f(x) = 9:12-log_3 <c_11, a<b<c con f(a) 2f(b) = 2f(c); trovare ac/b.

[Paper di prova A1, problema 9] (16 punti) Data la funzione $f(x)=|2-{\log }_{3}x|$, i numeri reali positivi $a,b,c$ soddisfano $a<b<c$ e $f(a)=2f(b)=2f(c)$. Trova il valore di $\frac{ac}{b}$.

Risposta: 9 src_cn_cmc-first-round_2021__Q20

A1-10: (z^2+az+b)(z^2+az+2b)=0 has four roots forming a unit square; find sum of moduli.

[Test Paper A1, Problem 10] (20 marks) Suppose $a,b\in \mathbb{R}$. If equation $(z^2+az+b)(z^2+az+2b)=0$ about $z$ has four mutually different complex roots $z_1,z_2,z_3,z_4$ and their corresponding points in the complex plane are exactly four vertices of a square with side length $1$, then find the value of $|z_1|+|z_2|+|z_3|+|z_4|$.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: $\sqrt{6}+2\sqrt{2}$ Fonte: apri libro PDF

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A1-10: (z^2+az+b) ((z^2+az+2b)=0 ha quattro radici che formano un quadrato unitario; trova la somma dei moduli.

[Test paper A1, problema 10] (20 punti) Supponiamo $a,b\in \mathbb{R}$. Se l’equazione $(z^2+az+b)(z^2+az+2b)=0$ circa $z$ ha quattro radici complesse reciprocamente diverse $z_1,z_2,z_3,z_4$ e i loro punti corrispondenti nel piano complesso sono esattamente quattro vertici di un quadrato con lunghezza laterale $1$, allora trovare il valore di $|z_1|+|z_2|+|z_3|+|z_4|$.

Risposta: \sqrt{6}+2\sqrt{2} src_cn_cmc-first-round_2021__Q21

A1-11: ellipse x^2/2+y^2=1, foci F1,F2, P in first quadrant, extensions of PF1,PF2 meet ellipse at Q1,Q2; max of r1-r2 (incircle radii).

[Test Paper A1, Problem 11] (20 marks) In a plane rectangular coordinate system $xOy$, the left and right foci of the ellipse $\Gamma :\frac{x^2}{2}+y^2=1$ are $F_1,F_2$, respectively. Let $P$ be a point on $\Gamma$ in the first quadrant, and the extensions of $P{F}_1$, $P{F}_2$ intersect $\Gamma$ at points $Q_1,Q_2$, respectively. Let $r_1,r_2$ be the radii of the incircles of $△P{F}_1{Q}_2$, $△P{F}_2{Q}_1$, respectively. Find the maximum of $r_1-r_2$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{1}{3}$ Fonte: apri libro PDF

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A1-11: ellisse x^2/2+y^2=1, foci F1, F2, P nel primo quadrante, estensioni di PF1,PF2 incontrano l’ellisse a Q1,Q2; massimo di r1-r2 (radi di cerchio).

[Paper di prova A1, problema 11] (20 punti) In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, i foci sinistro e destro dell’ellisse $\Gamma :\frac{x^2}{2}+y^2=1$ sono rispettivamente $F_1,F_2$. Il $P$ deve essere un punto del $\Gamma$ nel primo quadrante e le estensioni di $P{F}_1$ e $P{F}_2$ si intersecano rispettivamente con $\Gamma$ nei punti $Q_1,Q_2$. Il $r_1,r_2$ deve essere il raggio di radii degli incircoli di $△P{F}_1{Q}_2$ e $△P{F}_2{Q}_1$, rispettivamente. Trova il massimo di $r_1-r_2$.

Risposta: \dfrac{1}{3} src_cn_cmc-first-round_2021__Q22

A2-1: geometric sequence with a1-a2=3, a1-a3=2; common ratio.

[Test Paper A2, Problem 1] Suppose that geometric sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_1-a_2=3$, $a_1-a_3=2$. Then the common ratio of $\{a_n\}$ is ______.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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A2-1: sequenza geometrica con a1-a2=3, a1-a3=2; rapporto comune.

[Test Paper A2, Problema 1] Supponiamo che la sequenza geometrica $\{a_n\}$ soddisfi $a_1-a_2=3$, $a_1-a_3=2$. Quindi il rapporto comune di $\{a_n\}$ è ______.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q23

A2-2: maximum of f(x)=2sin^2 x - tan^2 x.

[Test Paper A2, Problem 2] The maximum of $f(x)=2{\sin }^{2}x-{\tan }^{2}x$ is ______.

Topic: Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $3-2\sqrt{2}$ Fonte: apri libro PDF

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A2-2: massimo di f(x)=2sin^2 x - tan^2 x.

[Papero di prova A2, problema 2] Il massimo di $f(x)=2{\sin }^{2}x-{\tan }^{2}x$ è ______.

Risposta: 3-2\sqrt{2} src_cn_cmc-first-round_2021__Q24

A2-3: complex z_n recurrence z_{n+1}=conj(z_n)·i^n, z_1=3+2i; find z_99+z_100.

[Test Paper A2, Problem 3] Complex numbers $z_1,z_2,\dots ,z_{100}$ satisfy $z_1=3+2\mathrm{i}$, $z_{n+1}=\overline{z_n}\cdot {\mathrm{i}}^n(n=1,2,\dots ,99)$, with $\mathrm{i}$ as the imaginary unit. Then the value of $z_{99}+z_{100}$ is ______.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $-5+5\mathrm{i}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

A2-3: complesso z_n ricorrenza z_{n+1}=conj(z_n)·i^n, z_1=3+2i; trovare z_99+z_100.

[Paper di prova A2, problema 3] I numeri complessi $z_1,z_2,\dots ,z_{100}$ soddisfano $z_1=3+2\mathrm{i}$, $z_{n+1}=\overline{z_n}\cdot {\mathrm{i}}^n(n=1,2,\dots ,99)$, con $\mathrm{i}$ come unità immaginaria. Il valore di $z_{99}+z_{100}$ è quindi ______.

Risposta: -5+5\mathrm{i} src_cn_cmc-first-round_2021__Q25

A2-4: choose 3 of 6 vertices of a regular hexagon; probability two are at distance √3.

[Test Paper A2, Problem 4] Randomly select three vertices from the six vertices of a regular hexagon with side length $1$. Then the probability that two of the three vertices are at a distance of $\sqrt{3}$ is ______.

Topic: Probabilità, Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 1 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

A2-4: scegli 3 dei 6 vertici di un esagono regolare; probabilità due sono a distanza √3.

[Paper di prova A2, problema 4] Selezionare a caso tre vertici tra i sei vertici di un esagono regolare con lunghezza laterale $1$. Quindi la probabilità che due dei tre vertici siano a una distanza di $\sqrt{3}$ è ______.

Risposta: 1 src_cn_cmc-first-round_2021__Q26

A2-5: complex z1=3+2i, z_{n+1}=conj(z_n)·i^n; find z99+z100.

[Test Paper A2, Problem 5] Complex numbers $z_1,z_2,\dots ,z_{100}$ satisfy $z_1=3+2\mathrm{i}$, $z_{n+1}=\overline{z_n}\cdot {\mathrm{i}}^n(n=1,2,\dots ,99)$, with $\mathrm{i}$ as the imaginary unit. Then the value of $z_{99}+z_{100}$ is ______.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $-5+5\mathrm{i}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

A2-5: complesso z1=3+2i, z_{n+1}=conj(z_n)·i^n; trovare z99+z100.

[Paper di prova A2, problema 5] I numeri complessi $z_1,z_2,\dots ,z_{100}$ soddisfano $z_1=3+2\mathrm{i}$, $z_{n+1}=\overline{z_n}\cdot {\mathrm{i}}^n(n=1,2,\dots ,99)$, con $\mathrm{i}$ come unità immaginaria. Il valore di $z_{99}+z_{100}$ è quindi ______.

Risposta: -5+5\mathrm{i} src_cn_cmc-first-round_2021__Q27

A2-6: f(x) on R, f(x)=2^x-x on [0,1), f(x)+f(x+1)=1, a=log_2 3; find f(a)+f(2a)+f(3a).

[Test Paper A2, Problem 6] Function $f(x)$ with domain $\mathbb{R}$ satisfies: when $x\in [0,1)$, $f(x)=2^x-x$, and for any real number $x$, there is $f(x)+f(x+1)=1$. Denote $a={\log }_{2}3$, and then the value of expression $f(a)+f(2a)+f(3a)$ is ______.

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{17}{16}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

A2-6: f(x) su R, f(x)=2^x-x su [0,1), f(x)+f(x+1)=1, a=log_2 3; trovare f(a)+f(2a)+f(3a).

La funzione $f(x)$ con dominio $\mathbb{R}$ soddisfa: quando $x\in [0,1)$, $f(x)=2^x-x$, e per qualsiasi numero reale $x$, c’è $f(x)+f(x+1)=1$. Denotare $a={\log }_{2}3$, e quindi il valore dell’espressione $f(a)+f(2a)+f(3a)$ è ______.

Risposta: \dfrac{17}{16} src_cn_cmc-first-round_2021__Q28

A2-7: subsets A of S={1..10} with A∩{1,2,3}≠∅ and A∪{4,5,6}≠S; count.

[Test Paper A2, Problem 7] Suppose set $S=\{1,2,3,\dots ,10\}$ and the subset $A$ of $S$ satisfies $A\cap \{1,2,3\}\ne \varnothing ,A\cup \{4,5,6\}\ne S.$ The number of such subsets is ______.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 888 Fonte: apri libro PDF

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A2-7: sottoinsiemi A di S={1..10} con A∩{1,2,3}≠ e A∪{4,5,6}≠S; conteggio.

[Test Paper A2, Problema 7] Supponiamo che l’insieme $S=\{1,2,3,\dots ,10\}$ e il sottogruppo $A$ di $S$ soddisfi $A\cap \{1,2,3\}\ne \varnothing ,A\cup \{4,5,6\}\ne S.$ Il numero di tali sottogruppi è di ______.

Risposta: 888 src_cn_cmc-first-round_2021__Q29

A2-8: two unit circles centred at (2,1) and (10,11); line through O cutting equal arcs; sum of slopes.

[Test Paper A2, Problem 8] In a plane rectangular coordinate system $xOy$, ${\Gamma }_1$ is a unit circle centred at $(2,1)$ and ${\Gamma }_2$ is a unit circle centred at $(10,11)$. Make a line $l$ through the origin $O$ such that $l$ has two intersections with each of ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$, dividing ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ into four arcs, and two of these four arcs are of equal length. The sum of the slopes of all the lines $l$ satisfying the conditions is ______.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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A2-8: due cerchi unitari centrati a (2,1) e (10,11); linea attraverso O che taglia archi uguali; somma delle pendici.

[Paper di prova A2, problema 8] In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, ${\Gamma }_1$ è un cerchio unitario centrato a $(2,1)$ e ${\Gamma }_2$ è un cerchio unitario centrato a $(10,11)$. Fare una linea $l$ attraverso l’origine $O$ in modo che $l$ abbia due intersezioni con ciascuna delle ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$, dividendo ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ in quattro archi, e due di questi quattro archi sono di uguale lunghezza. La somma delle pendenti di tutte le linee $l$ che soddisfano le condizioni è di ______.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q30

A2-9: triangle ABC with AB=1, AC=2, cos B + sin C = 1; find length of BC.

[Test Paper A2, Problem 9] (16 marks) It is known that $△ABC$ satisfies $AB=1$, $AC=2$ and $\cos B+\sin C=1$. Find the length of side $BC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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A2-9: triangolo ABC con AB=1, AC=2, cos B + sin C = 1; trovare lunghezza di BC.

[Paper di prova A2, problema 9] (16 punti) È noto che $△ABC$ soddisfa $AB=1$, $AC=2$ e $\cos B+\sin C=1$. Trova la lunghezza del lato $BC$.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q31

A2-10: ellipse, A major-axis vertex, B minor-axis vertex, F focus; symmetric P,Q with FP·FQ+FA·FB=|AB|^2; prove F on extension of AO and find eccentricity range.

[Test Paper A2, Problem 10] (20 marks) In a plane rectangular coordinate system $xOy$, given ellipse $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),$ let $A$ be one of the vertices of its major axis, $B$ be one of the vertices of its minor axis, and $F$ be one of its foci. It is known that there exist two points $P$ and $Q$ on $\Gamma$ that are symmetric about $O$ such that $\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}+\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=|AB{|}^2.$ (1) Prove that the focal point $F$ lies on the extension of $AO$; (2) find the range of the eccentricity of $\Gamma$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $e\in \left[\frac{3}{4},\frac{-1+\sqrt{37}}{6}\right]$ Fonte: apri libro PDF

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A2-10: ellisse, Vertice A-asse maggiore, Vertice B-asse minore, Foco F; P,Q simmetrico con FP·FQ+FA·FB=EAS AB-EAS^2; prova F sull’estensione di AO e trova intervallo di eccentricità.

[Test Paper A2, Problem 10] (20 marks) In un sistema di coordinate retangolare piano $xOy$, data l’ellisse $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),$, $A$ sia uno dei vertici del suo asse maggiore, $B$ sia uno dei vertici del suo asse minore e $F$ sia uno dei suoi foci. È noto che esistono due punti $P$ e $Q$ su $\Gamma$ che sono simmetrici circa $O$ in modo tale che $\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}+\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=|AB{|}^2.$ (1) Prove che il punto focale $F$ si trova sull’estensione di $AO$; (2) trova l’intervallo di eccentricità di $\Gamma$.

Risposta: e\in\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6}\right] src_cn_cmc-first-round_2021__Q32

A2-11: f(x)=x^3+ax^2+bx, three reals x1≤x2≤x3 with x1+1≤x2≤x3-1 and equal values; min of |a|+2|b|.

[Test Paper A2, Problem 11] (20 marks) Let $a,b$ be real numbers and function $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$. If there exist three real numbers $x_1,x_2,x_3$ satisfying $x_1+1\le x_2\le x_3-1$ and $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$. Find the minimum of $|a|+2|b|$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{3}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

A2-11: f(x)=x^3+ax^2+bx, three reals x1≤x2≤x3 with x1+1≤x2≤x3-1 and equal values; min of |a|+2|b|.

[Test Paper A2, Problem 11] (20 marks) Let $a,b$ be real numbers and function $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$. If there exist three real numbers $x_1,x_2,x_3$ satisfying $x_1+1\le x_2\le x_3-1$ and $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$. Find the minimum of $|a|+2|b|$.

Risposta: \sqrt{3} src_cn_cmc-first-round_2021__Q33

B-1: arithmetic sequence d≠0, a_2021=a_20+a_21; find a_1/d.

[Test Paper B, Problem 1] Given arithmetic sequence $\{a_n\}$ with common difference $d\ne 0$ and $a_{2021}=a_{20}+a_{21}$, then the value of $\frac{a_1}{d}$ is ______.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1981 Fonte: apri libro PDF

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B-1: sequenza aritmetica d≠0, a_2021=a_20+a_21; trovare a_1/d.

[Paper di prova B, problema 1] Data la sequenza aritmetica $\{a_n\}$ con differenza comune $d\ne 0$ e $a_{2021}=a_{20}+a_{21}$, il valore di $\frac{a_1}{d}$ è ______.

Risposta: 1981 src_cn_cmc-first-round_2021__Q34

B-2: z1=1+2i, z2=m+3i, z1·conj(z2) purely imaginary; find |z1+z2|.

[Test Paper B, Problem 2] Suppose $m$ is a real number, and complex numbers $z_1=1+2\mathrm{i}$, $z_2=m+3\mathrm{i}$, where $\mathrm{i}$ is the imaginary unit. If $z_1\cdot \overline{z_2}$ is purely imaginary, then the value of $|z_1+z_2|$ is ______.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $5\sqrt{2}$ Fonte: apri libro PDF

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B-2: z1=1+2i, z2=m+3i, z1·conj(z2) puramente immaginario; trovare z1+z2 in tempo.

[Test Paper B, Problem 2] Supponiamo che $m$ sia un numero reale, e numeri complessi $z_1=1+2\mathrm{i}$, $z_2=m+3\mathrm{i}$, dove $\mathrm{i}$ è l’unità immaginaria. Se $z_1\cdot \overline{z_2}$ è puramente immaginario, il valore di $|z_1+z_2|$ è ______.

Risposta: 5\sqrt{2} src_cn_cmc-first-round_2021__Q35

B-3: range of y=sin^2 x+√3 sinx cosx on [π/4,π/2].

[Test Paper B, Problem 3] The range of $y={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ when $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}$ is ______.

Topic: Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\left[1,\frac{3}{2}\right]$ Fonte: apri libro PDF

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B-3: intervallo di y=sin^2 x+√3 sinx cosx su [π/4,π/2].

[Test paper B, problema 3] L’intervallo di $y={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ quando $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}$ è ______.

Risposta: \left[1,\dfrac{3}{2}\right] src_cn_cmc-first-round_2021__Q36

B-4: domain (-∞,0)∪(0,∞), f(x)=(f(1)x^2+f(2)x-1)/x; sum of zeros.

[Test Paper B, Problem 4] Suppose the domain of function $f(x)$ is $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ and there is $f(x)=\frac{f(1)\cdot x^2+f(2)\cdot x-1}{x}$ for any $x\in D$. Then the sum of all the zeros of $f(x)$ is ______.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: -4 Fonte: apri libro PDF

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B-4: dominio (-∞,0)∪,∞), f(x) = f(1)x^2+f(2)x-1)/x; somma di zeri.

[Test Paper B, Problema 4] Supponiamo che il dominio della funzione $f(x)$ sia $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ e che ci sia $f(x)=\frac{f(1)\cdot x^2+f(2)\cdot x-1}{x}$ per qualsiasi $x\in D$. Quindi la somma di tutti gli zero di $f(x)$ è ______.

Risposta: -4 src_cn_cmc-first-round_2021__Q37

B-5: a,b,c>1 with (a^2 b)^{log_a c}=a·(ac)^{log_a b}; find log_c(ab).

[Test Paper B, Problem 5] Suppose $a,b,c>1$ and $(a^{2}b{)}^{{\log }_{a}c}=a\cdot (ac{)}^{{\log }_{a}b}$ is satisfied. Then the value of ${\log }_c(ab)$ is ______.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B-5: a,b,c>1 con (a^2 b)^{log_a c}=a·(ac)^{log_a b}; trovare log_c(ab).

[Test paper B, problema 5] Supponiamo che $a,b,c>1$ e $(a^{2}b{)}^{{\log }_{a}c}=a\cdot (ac{)}^{{\log }_{a}b}$ siano soddisfatti. Il valore di ${\log }_c(ab)$ è quindi ______.

Risposta: 2 src_cn_cmc-first-round_2021__Q38

B-6: triangle ABC, AB=1, AC=2, cosB=2sinC; length of BC.

[Test Paper B, Problem 6] In $△ABC$, $AB=1$, $AC=2$ and $\cos B=2\sin C$. Then the length of side $BC$ is ______.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B-6: triangolo ABC, AB=1, AC=2, cosB=2sinC; lunghezza di BC.

[Test paper B, problema 6] In $△ABC$, $AB=1$, $AC=2$ e $\cos B=2\sin C$. Quindi la lunghezza del lato $BC$ è ______.

Risposta: \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2} src_cn_cmc-first-round_2021__Q39

B-7: parabola y=ax^2-3x+3 and y^2=2px symmetric about y=x+m; find product apm.

[Test Paper B, Problem 7] In a plane rectangular coordinate system $xOy$, the graph of parabola $y=a{x}^2-3x+3(a\ne 0)$ and that of parabola $y^2=2px(p>0)$ are symmetric with respect to line $y=x+m$. Then the product of real numbers $a,p,m$ is ______.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: -3 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B-7: parabola y=ax^2-3x+3 e y^2=2px simmetrica circa y=x+m; trovare il prodotto apm.

[Test Paper B, Problem 7] In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, il grafico della parabola $y=a{x}^2-3x+3(a\ne 0)$ e quello della parabola $y^2=2px(p>0)$ sono simmetrici rispetto alla linea $y=x+m$. Quindi il prodotto dei numeri reali $a,p,m$ è ______.

Risposta: -3 src_cn_cmc-first-round_2021__Q40

B-8: random permutation of 1..10; probability both 9 and 12 appear among products a_i a_{i+1}.

[Test Paper B, Problem 8] Let $a_1,a_2,\dots ,a_{10}$ be a random permutation of $1,2,\dots ,10$. Then the probability of both $9$ and $12$ appearing in the $9$ numbers $a_1{a}_2,a_2{a}_3,\dots ,a_9{a}_{10}$ is ______.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B-8: permutazione casuale di 1,10; probabilità che sia 9 che 12 appariscano tra i prodotti a_i a_{i+1}.

[Test Paper B, Problema 8] $a_1,a_2,\dots ,a_{10}$ sia una permutazione casuale di $1,2,\dots ,10$. Quindi la probabilità che sia $9$ che $12$ appaiano nei numeri $9$ $a_1{a}_2,a_2{a}_3,\dots ,a_9{a}_{10}$ è ______.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q41

B-9: sequence a1=a2=a3, b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2} geometric ratio 3; find a_100.

[Test Paper B, Problem 9] (16 marks) Sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_1=a_2=a_3$. Let $b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}(n\in {\mathbb{N}}_{+}).$ If $\{b_n\}$ is a geometric sequence with common ratio $3$, find the value of $a_{100}$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $a_{100}=\frac{3^{100}+10}{13}$ Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B-9: sequenza a1=a2=a3, b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2} rapporto geometrico 3; trovare a_100.

[Test paper B, problema 9] (16 punti) La sequenza $\{a_n\}$ soddisfa $a_1=a_2=a_3$. Se $\{b_n\}$ è una sequenza geometrica con rapporto comune $3$, trovare il valore di $a_{100}$.

Risposta: a_{100}=\dfrac{3^{100}+10}{13} src_cn_cmc-first-round_2021__Q42

B-10: Γ graph of y=1/|x|; P in first quadrant, Q in second quadrant, PQ tangent to part of Γ in second quadrant at Q; min of |PQ|.

[Test Paper B, Problem 10] (20 marks) In a plane rectangular coordinate system $xOy$, the graph of function $y=\frac{1}{|x|}$ is $\Gamma$. Let points $P,Q$ on $\Gamma$ satisfy: $P$ is in the first quadrant, $Q$ is in the second quadrant, and line $PQ$ is tangent to the part of $\Gamma$ in the second quadrant at point $Q$. Find the minimum of $|PQ|$.

Topic: Geometria analitica, Equazioni funzionali Metodo: Coordinate, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri libro PDF

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*B-10: Γ grafico di y = 1/ da fare; P nel primo quadrante, Q nel secondo quadrante, PQ tangente a parte di Γ nel secondo quadrante a Q; min di \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

[Test Paper B, Problem 10] (20 marks) In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, il grafico della funzione $y=\frac{1}{|x|}$ è $\Gamma$. I punti $P,Q$ su $\Gamma$ devono soddisfare: $P$ è nel primo quadrante, $Q$ è nel secondo quadrante e la linea $PQ$ è tangente alla parte di $\Gamma$ nel secondo quadrante al punto $Q$. Trova il minimo di $|PQ|$.

Risposta: 2 src_cn_cmc-first-round_2021__Q43

B-11: regular pyramid P-A1A2…An, O center of base, B midpoint of A1An; prove a relation and compare (1/n)Σcos∠AiPB with sinα sinβ.

[Test Paper B, Problem 11] (20 marks) In regular pyramid $P-A_1{A}_2\cdots A_n(n\ge 3)$, $O$ is the centre of the regular $n$-sided polygon $A_1{A}_2\cdots A_n$ base and $B$ is the midpoint of edge $A_1{A}_n$. (1) Prove that $P{O}^2\sin \frac{\pi }{n}+P{A}_1^2{\cos }^2\frac{\pi }{n}=P{B}^2$; (2) For regular pyramid $P-A_1{A}_2\cdots A_n$, let the angle formed by the lateral edge and the base be $\alpha$ and the angle formed by the lateral face and the base be $\beta$. Try to determine the magnitude relation between $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\cos \angle A_{i}PB$ and $\sin \alpha \sin \beta$, and then prove it.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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B-11: piramide regolare P-A1A2…An, centro di base O, punto medio di A1An B; dimostrare una relazione e confrontare (1/n)ΣcosAiPB con sinα sinβ.

[Test Paper B, Problem 11] (20 marks) Nella piramide regolare $P-A_1{A}_2\cdots A_n(n\ge 3)$, $O$ è il centro della base del poligono laterale $n$ e $B$ è il punto medio del bordo $A_1{A}_n$. (1) Prove che $P{O}^2\sin \frac{\pi }{n}+P{A}_1^2{\cos }^2\frac{\pi }{n}=P{B}^2$; (2) Per la piramide regolare $P-A_1{A}_2\cdots A_n$, l’angolo formato dal bordo laterale e dalla base sia $\alpha$ e l’angolo formato dalla faccia laterale e dalla base sia $\beta$. Provare a determinare la relazione di magnitudine tra $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\cos \angle A_{i}PB$ e $\sin \alpha \sin \beta$, e poi provarlo.

src_cn_cmc-first-round_2021__Q44

B1-1: f odd on R, f(1)=2, f(2)=3; find f(f(-1)).

[Test Paper B1, Problem 1] Suppose $f(x)$ is an odd function with domain $\mathbb{R}$. If $f(1)=2$, $f(2)=3$, then the value of $f(f(-1))$ is ______.

Topic: Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: -3 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B1-1: f pari su R, f(1)=2, f(2)=3; trovare f(f(-1)).

[Test Paper B1, Problema 1] Supponiamo che $f(x)$ sia una funzione strana con dominio $\mathbb{R}$. Se $f(1)=2$, $f(2)=3$, allora il valore di $f(f(-1))$ è ______.

Risposta: -3 src_cn_cmc-first-round_2021__Q45

B1-2: z=1+i+m/(1+i) with real and imaginary parts positive; range of m.

[Test Paper B1, Problem 2] Let $m$ be a real number. If the real and imaginary parts of complex $z=1+\mathrm{i}+\frac{m}{1+\mathrm{i}}$, with $\mathrm{i}$ being the imaginary unit, are greater than zero, then the range of $m$ is ______.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: -2<m<2 Fonte: apri libro PDF

Estratto da verificare con la fonte.

B1-2: z=1+i+m/(1+i) con parti reali e immaginarie positive; gamma di m.

[Test Paper B1, Problema 2] $m$ sia un numero reale. Se le parti reali e immaginarie del complesso $z=1+\mathrm{i}+\frac{m}{1+\mathrm{i}}$, con $\mathrm{i}$ l’unità immaginaria, sono superiori a zero, allora l’intervallo di $m$ è ______.

Risposta: -2<m<2 src_cn_cmc-first-round_2021__Q46

B1-3: A={1,2,3}, B={4x-y}, C={4x+y}; sum of elements of B∩C.

[Test Paper B1, Problem 3] Suppose $A=\{1,2,3\}$, $B=\{4x-y\mid x,y\in A\}$, $C=\{4x+y\mid x,y\in A\}$. Then the sum of all the elements of $B\cap C$ is ______.

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Risposta: 18 Fonte: apri libro PDF

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B1-3: A={1,2,3}, B={4x-y}, C={4x+y}; somma degli elementi di B∩C.

[Paper di prova B1, problema 3] Supponiamo $A=\{1,2,3\}$, $B=\{4x-y\mid x,y\in A\}$, $C=\{4x+y\mid x,y\in A\}$. Quindi la somma di tutti gli elementi di $B\cap C$ è ______.

Risposta: 18 src_cn_cmc-first-round_2021__Q47

B1-4: parabola y^2=2px, line of inclination π/4 meets Γ at P(3,2) and Q; area of triangle OPQ.

[Test Paper B1, Problem 4] In a plane rectangular coordinate system $xOy$, given parabola $\Gamma :y^2=2px(p>0)$, a line with inclination angle $\frac{\pi }{4}$ intersects $\Gamma$ at point $P(3,2)$ and another point $Q$. Then the area of $△OPQ$ is ______.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{4}{3}$ Fonte: apri libro PDF

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B1-4: parabola y^2=2px, linea di inclinazione π/4 incontra Γ a P(3,2) e Q; area del triangolo OPQ.

[Paper di prova B1, problema 4] In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, data la parabola $\Gamma :y^2=2px(p>0)$, una linea con angolo di inclinazione $\frac{\pi }{4}$ si interseca con $\Gamma$ al punto $P(3,2)$ e con un altro punto $Q$. Quindi la superficie di $△OPQ$ è ______.

Risposta: \dfrac{4}{3} src_cn_cmc-first-round_2021__Q48

B1-5: sequence a1=2, a_{n+1}=(n+1)a_n-n; general term formula.

[Test Paper B1, Problem 5] Sequence $\{a_n\}$ satisfies $a_1=2$ and $a_{n+1}=(n+1)a_n-n$, $n=1,2,\dots$. Then the general term formula of $\{a_n\}$ is ______.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $a_n=n!+1$ Fonte: apri libro PDF

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B1-5: sequenza a1=2, a_{n+1}=(n+1) a_n-n; formula del termine generale.

La sequenza $\{a_n\}$ soddisfa $a_1=2$ e $a_{n+1}=(n+1)a_n-n$, $n=1,2,\dots$. Quindi la formula del termine generale di $\{a_n\}$ è ______.

Risposta: a_n=n!+1 src_cn_cmc-first-round_2021__Q49

B1-6: right square pyramid P-ABCD, G centroid of lateral face PBC; V1=vol PABG, V2=vol PADG; find V1/V2.

[Test Paper B1, Problem 6] In right square pyramid $P-ABCD$, point $G$ is the centroid of the lateral face $△PBC$. Let $V_1,V_2$ be the volumes of tetrahedrons $PABG$, $PADG$, respectively. Then the value of $\frac{V_1}{V_2}$ is ______.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $\frac{1}{2}$ Fonte: apri libro PDF

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B1-6: piramide quadrata destra P-ABCD, centroide G di facciata laterale PBC; V1=volume PABG, V2=volume PADG; trovare V1/V2.

[Paper di prova B1, problema 6] Nella piramide quadrata destra $P-ABCD$, il punto $G$ è il centroide della faccia laterale $△PBC$. $V_1,V_2$ siano rispettivamente i volumi dei tetraedri $PABG$ e $PADG$. In questo caso il valore di $\frac{V_1}{V_2}$ è ______.

Risposta: \dfrac{1}{2} src_cn_cmc-first-round_2021__Q50

B1-7: α,β≥0, α+β≤2π; minimum of sinα+2cosβ.

[Test Paper B1, Problem 7] Suppose $\alpha ,\beta \ge 0$, $\alpha +\beta \le 2\pi$. Then the minimum of $\sin \alpha +2\cos \beta$ is ______.

Topic: Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\sqrt{5}$ Fonte: apri libro PDF

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B1-7: α,β≥0, α+β≤2π; minimo di sinα+2cosβ.

[Test Paper B1, problema 7] Supponiamo $\alpha ,\beta \ge 0$, $\alpha +\beta \le 2\pi$. Il minimo di $\sin \alpha +2\cos \beta$ è quindi ______.

Risposta: \sqrt{5} src_cn_cmc-first-round_2021__Q51

B1-8: count permutations of 1..21 with |a_i-a_21| nondecreasing condition.

[Test Paper B1, Problem 8] Let $a_1,a_2,\dots ,a_{21}$ be a permutation of $1,2,\dots ,21$, satisfying $|a_{20}-a_{21}|\ge |a_{19}-a_{21}|\ge |a_{18}-a_{21}|\ge \cdots \ge |a_1-a_{21}|.$ The number of such permutations is ______.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3070 Fonte: apri libro PDF

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B1-8: contare le permutazioni di 1.21 con a_i_a_21 non diminuendo condizione.

[Test Paper B1, Problema 8] Che $a_1,a_2,\dots ,a_{21}$ sia una permutazione di $1,2,\dots ,21$, soddisfacendo $|a_{20}-a_{21}|\ge |a_{19}-a_{21}|\ge |a_{18}-a_{21}|\ge \cdots \ge |a_1-a_{21}|.$ Il numero di tali permutazioni è ______.

Risposta: 3070 src_cn_cmc-first-round_2021__Q52

B1-9: angle between a,b is π/3, |a|,|b|,|a+b| arithmetic sequence; find |a|:|b|:|a+b|.

[Test Paper B1, Problem 9] (16 marks) Suppose the included angle between non-zero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ in the plane is $\frac{\pi }{3}$. If $|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{a}+\vec{b}|$ form arithmetic sequence in order, find the value of $|\vec{a}|:|\vec{b}|:|\vec{a}+\vec{b}|$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 3:5:7 Fonte: apri libro PDF

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B1-9: angolo tra a,b è π/3, \aquoquoquoquoquoquo, \bquoquo, \aquo, \aquo, \bquo sequenza aritmetica; trovare \aquo: \bquo: \bquo.

[Test Paper B1, Problem 9] (16 marks) Supponiamo che l’angolo incluso tra i vettori non zero $\vec{a}$ e $\vec{b}$ nel piano sia $\frac{\pi }{3}$. Se $|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{a}+\vec{b}|$ forma una sequenza aritmetica in ordine, trova il valore di $|\vec{a}|:|\vec{b}|:|\vec{a}+\vec{b}|$.

Risposta: 3:5:7 src_cn_cmc-first-round_2021__Q53

B1-10: f(x)=|2-log_3 x|, a<b<c with f(a)=2f(b)=2f(c); minimum of ac/b.

[Test Paper B1, Problem 10] (20 marks) Given function $f(x)=|2-{\log }_{3}x|$, positive real numbers $a,b,c$ satisfy $a<b<c$ and $f(a)=2f(b)=2f(c)$. Find the minimum of $\frac{ac}{b}$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 9 Fonte: apri libro PDF

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B1-10: f(x) = lain2-log_3 < c) con f(a) 2f(b) = 2f(c); minimo di ac/b.

[Paper di prova B1, problema 10] (20 punti) Data la funzione $f(x)=|2-{\log }_{3}x|$, i numeri reali positivi $a,b,c$ soddisfano $a<b<c$ e $f(a)=2f(b)=2f(c)$. Trova il minimo di $\frac{ac}{b}$.

Risposta: 9 src_cn_cmc-first-round_2021__Q54

B1-11: ellipse x^2/2+y^2=1, foci F1,F2, P in first quadrant, extensions of PF1,PF2 meet ellipse at Q1,Q2; max of y1-y2.

[Test Paper B1, Problem 11] (20 marks) In a plane rectangular coordinate system $xOy$, the left and right foci of ellipse $\Gamma :\frac{x^2}{2}+y^2=1$ are $F_1,F_2$, respectively. Let $P$ be a point on $\Gamma$ in the first quadrant and the extensions of $P{F}_1$, $P{F}_2$ intersect $\Gamma$ at points $Q_1(x_1,y_1)$, $Q_2(x_2,y_2)$, respectively. Find the maximum of $y_1-y_2$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ Fonte: apri libro PDF

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B1-11: ellisse x^2/2+y^2=1, foci F1, F2, P nel primo quadrante, estensioni di PF1,PF2 incontrano l’ellisse a Q1,Q2; massimo di y1-y2.

[Paper di prova B1, problema 11] (20 punti) In un sistema di coordinate rettangolare piano $xOy$, i foci sinistro e destro dell’ellisse $\Gamma :\frac{x^2}{2}+y^2=1$ sono rispettivamente $F_1,F_2$. Il $P$ deve essere un punto sul $\Gamma$ nel primo quadrante e le estensioni di $P{F}_1$, $P{F}_2$ si intersecano $\Gamma$ rispettivamente nei punti $Q_1(x_1,y_1)$ e $Q_2(x_2,y_2)$. Trova il massimo di $y_1-y_2$.

Risposta: \dfrac{2\sqrt{2}}{3} src_cn_cmc-first-round_2021__Q55