China Mathematical Competition (Second Round) 2020

Isosceles triangle with incentre; prove BH perpendicular QH

(40 marks) As shown in Fig. 1.1, in isosceles $△ABC$, $AB=BC$, and $I$ is its incentre. $M$ is the midpoint of $BI$. $P$ lies on side $AC$, satisfying $AP=3PC$. Point $H$ on the extension of $PI$ satisfy $MH\perp PH$. $Q$ is the midpoint of the minor arc of the circumcircle of $△ABC$. Prove that $BH\perp QH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Triangolo isosceles con incentro; prova BH perpendicolare QH

40 punti) Come mostrato alla figura 1.1, nelle isosceles $△ABC$, $AB=BC$ e $I$ è il suo incentro. $M$ è il punto medio di $BI$. $P$ si trova sul lato $AC$, soddisfacendo $AP=3PC$. Il punto $H$ sull’estensione di $PI$ soddisfa $MH\perp PH$. $Q$ è il punto medio dell’arco minore del circoncircolo di $△ABC$. Prove che $BH\perp QH$.

src_cn_cmc-second-round_2020__Q01

Cyclic 2n-term nonnegative reals with product-dominates-sum constraints; find minimum of total sum

(40 marks) Given integer $n\ge 3$, let $a_1,a_2,\dots ,a_{2n},b_1,b_2,\dots ,b_{2n}$ be non-negative real numbers, satisfying $a_1+a_2+\cdots +a_{2n}=b_1+b_2+\cdots +b_{2n}>0$. And for any $i=1,2,\dots ,2n$, there is $a_i{a}_{i+2}\ge b_i+b_{i+1}$, where $a_{2n+1}=a_1$, $a_{2n+2}=a_2$, $b_{2n+1}=b_1$. Find the minimum of $a_1+a_2+\cdots +a_{2n}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri libro PDF

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Reali non negativi a termine ciclico 2n con vincoli di prodotto-dominato-somma; trovare il minimo della somma totale

(40 marchi) Dato il numero intero $n\ge 3$, $a_1,a_2,\dots ,a_{2n},b_1,b_2,\dots ,b_{2n}$ sia un numero reale non negativo, soddisfacente $a_1+a_2+\cdots +a_{2n}=b_1+b_2+\cdots +b_{2n}>0$. E per qualsiasi $i=1,2,\dots ,2n$, c’è $a_i{a}_{i+2}\ge b_i+b_{i+1}$, dove $a_{2n+1}=a_1$, $a_{2n+2}=a_2$, $b_{2n+1}=b_1$. Trova il minimo di $a_1+a_2+\cdots +a_{2n}$.

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Pell-like sequence; prove a_n has a prime factor congruent to 1 mod 4

(50 marks) Let $a_1=1$, $a_2=2$, $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$, $n=3,4,\dots$. Prove that for integer $n\ge 5$, $a_n$ must have a prime factor that is congruent to 1 modulo 4.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri libro PDF

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Sequenza simile a Pell; dimostrare che a_n ha un fattore primo congruente a 1 mod 4

(50 punti) Let $a_1=1$, $a_2=2$, $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$, $n=3,4,\dots$. Prova che per un intero $n\ge 5$, $a_n$ deve avere un fattore primo congruente a 1 modulo 4.

src_cn_cmc-second-round_2020__Q03

Triangulation graphs of a convex 20-gon; find the maximum number of perfect matchings

(50 marks) Given a convex 20-sided polygon $P$. Dividing $P$ into 18 triangles by its 17 non-intersecting diagonals in the interior, the resulting graph is called a triangulation graph of $P$. For any triangulation graph $T$ of $P$, the 20 edges of $P$ and the added 17 diagonals are both called the edges of $T$. The set of any 10 edges of $T$ without common endpoints between any two edges is called a perfect matching of $T$. When $T$ takes all the triangulation graphs of $P$, find the maximum number of perfect matchings of $T$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 89 Fonte: apri libro PDF

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Grafici di triangolazione di un 20-gon converso; trovare il numero massimo di abbinamenti perfetti

(50 marchi) Con un poligono convexo a 20 lati $P$. Dividendo $P$ in 18 triangoli per le sue 17 diagonali non intersezionate all’interno, il grafico risultante è chiamato grafico di triangolazione di $P$. Per qualsiasi grafico di triangolazione $T$ di $P$, i 20 bordi di $P$ e le 17 diagonali aggiunte sono entrambi chiamati bordi di $T$. L’insieme di qualsiasi 10 bordi di $T$ senza punti di fine comuni tra due bordi è chiamato una corrispondenza perfetta di $T$. Quando $T$ prende tutti i grafici di triangolazione di $P$, trova il numero massimo di abbinamenti perfetti di $T$.

Risposta: 89 src_cn_cmc-second-round_2020__Q04

Five points on a circle with three equal arcs; prove angle PAQ equals angle PEQ

(40 marks) As shown in Fig. 1.1, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ are five points in order on circle $\Omega$, satisfying $\stackrel{⌢}{\mathrm{ABC}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BCD}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CDE}}$. Points $P$, $Q$ are on segments $AD$, $BE$, respectively, and $P$ lies on segment $CQ$. Prove that $\angle PAQ=\angle PEQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri libro PDF

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Cinque punti su un cerchio con tre archi uguali; dimostrare che l’angolo PAQ è uguale all’angolo PEQ

40 punti) Come mostrato alla figura 1.1, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ sono cinque punti in ordine sul cerchio $\Omega$, soddisfacendo $\stackrel{⌢}{\mathrm{ABC}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BCD}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CDE}}$. I punti $P$ e $Q$ si trovano rispettivamente sui segmenti $AD$ e $BE$ e $P$ si trovano sul segmento $CQ$. Prove che $\angle PAQ=\angle PEQ$.

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Partition {1,…,19} into two subsets so the sum of one equals the product of the other

(40 marks) Given set $A=\{1,2,\dots ,19\}$, does there exist non-empty subsets $S_1$, $S_2$ of set $A$ satisfying the following conditions? (1) $S_1\cap S_2=\varnothing$, $S_1\cup S_2=A$; (2) $S_1$ and $S_2$ both have at least four elements; (3) the sum of all elements of $S_1$ is equal to the product of all elements of $S_2$. Prove your conclusion.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Yes Fonte: apri libro PDF

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Partire {1,…,19} in due sottoinsiemi in modo che la somma di uno sia uguale al prodotto dell’altro

(40 punti) Dato che il set $A=\{1,2,\dots ,19\}$ non è vuoto, esistono sottosette $S_1$, $S_2$ del set $A$ che soddisfano le seguenti condizioni? (1) $S_1\cap S_2=\varnothing$, $S_1\cup S_2=A$; (2) $S_1$ e $S_2$ hanno entrambi almeno quattro elementi; (3) la somma di tutti gli elementi di $S_1$ è pari al prodotto di tutti gli elementi di $S_2$. Prova la tua conclusione.

Risposta: Yes src_cn_cmc-second-round_2020__Q06

Two positive n-term sequences with equal sums and pairwise product-dominates-sum; find minimum total sum

(50 marks) Given integer $n\ge 2$, let $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n>0$, satisfying $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ and there is always $a_i{a}_j\ge b_i+b_j$ for any $i,j$ $(1\le i<j\le n)$. Find the minimum value of $a_1+a_2+\cdots +a_n$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $2n$ Fonte: apri libro PDF

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Due sequenze positive di n termini con somme uguali e coppia di prodotto-dominati-somma; trovare somma totale minima

(50 marchi) Con un numero intero $n\ge 2$, $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n>0$, soddisfacente $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ e c’è sempre $a_i{a}_j\ge b_i+b_j$ per qualsiasi $i,j$ $(1\le i<j\le n)$. Trova il valore minimo di $a_1+a_2+\cdots +a_n$.

Risposta: $2n$ src_cn_cmc-second-round_2020__Q07

Find all ordered pairs (a,b) with a^n+b^{n+9} constant mod 13 for all n

(50 marks) Let $a,b$ be positive integers not greater than 12 satisfying that there exists constant $C$ such that $a^n+b^{n+9}\equiv C(\mathrm{mod}13)$ holds for any positive integer $n$. Find all ordered pairs $(a,b)$ that satisfy the conditions.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(1,1),(4,4),(10,10),(12,12)$ Fonte: apri libro PDF

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Ricerca tutte le coppie ordinate (a,b) con a^n+b^{n+9} costante mod 13 per tutte le n

(50 marchi) $a,b$ siano integri positivi non superiori a 12 che soddisfino l’esistenza di una costante $C$ tale che $a^n+b^{n+9}\equiv C(\mathrm{mod}13)$ sia valida per qualsiasi integro positivo $n$. Trova tutte le coppie ordinate $(a,b)$ che soddisfano le condizioni.

Risposta: $(1,1),(4,4),(10,10),(12,12)$ src_cn_cmc-second-round_2020__Q08